周期 (period)

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已登记出处中的最早位置：§17.4 · zh-CN。

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来源短摘录与定位

§17.4 · zh-CN · translation · unreviewed

有时被称为 $\alpha$ 的 周期(period)。由斯托克斯定理，若 $\alpha$ 是恰当形式，则 $\alpha$ 的所有周期都为零，而任何闭的 $r$-形式在边界 $r$-循环 $C=\partial C^{\prime }$ 上的周期为零。设 $C_1,\dots ,C_k$ 是 $Z_r(M)$ 中 $k=b_r$ 个线性无关的循环，使得当 $i\ne j$ 时 $[C_i]\ne [C_j]$。德拉姆定理蕴含，一个 $r$-形式 $\alpha$ 是恰当的，当且仅当所有周期 ${\int }_{C_i}\alpha =0$。若 $\alpha$ 是恰当的，则我们已经指出它的所有周期都为零。逆命题由以下事实推出：对每个 $[C]\in H_r(M)$ 都有 $⟨[C],[\alpha ]⟩=0$，因为 [$C$] 可以展开为 $[C]={\sum }_{i=1}^k[C_i]$。由乘积的非退化性，我们必须有 $[\alpha ]=0$，从而对某个 $(r-1)$-形式 $\beta .$ 有 $\alpha =\mathrm{d}\beta$。

§17.4 · en · original_transcription · unreviewed

is sometimes called a period of $\alpha$. By Stokes’ theorem all periods of $\alpha$ vanish if $\alpha$ is an exact form, and the period of any closed $r$-form vanishes over a boundary $r$-cycle $C=\partial C^{\prime }$ Let $C_1,\dots ,C_k$ be $k=b_r$ linearly independent cycles in $Z_r(M)$ , such that $[C_i]\ne [C_j]$ for $i\ne j$ . De Rham’s theorem implies that an $r$-form $\alpha$ is exact if and only if all the periods ${\int }_{C_i}\alpha =0$ . If $\alpha$ is exact then we have already remarked that all its periods vanish. The converse follows from the fact that $⟨[C],[\alpha ]⟩=0$ for every $[C]\in H_r(M)$ , since [$C$] can be expanded to $[C]={\sum }_{i=1}^k[C_i]$ . By non-degeneracy of the product , we must have $[\alpha ]=0$ so that $\alpha =\mathrm{d}\beta$ for some $(r-1)$-form $\beta .$

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