13.6 奇维空间中的宇称反常

迄今为止，我们一直在偶维空间中工作。原因之一是 $\mathrm{SO}(2l+1)$ 只有实或伪实旋量表示，而没有复表示，因此不会出现规范反常。然而，我们可以证明，奇维空间中的规范场论具有另一种反常，称为“宇称反常(parity anomaly)”，其中经典作用量的宇称对称性在量子化过程中不再保持。应当指出，正如 Alvarez-Gaume 等人（1985）所指出的，$2l+1$ 维的宇称反常与 $2l+2$ 维的阿贝尔反常相关。

13.6.1 宇称反常

设 $M$ 是一个 $(2l+1)$ 维的黎曼流形。我们把其中一个维度与其他维度区分开来，即假定 $M$ 具有 $\mathbb{R}\times \mathcal{M}$ 或 $S^1\times \mathcal{M}$ 的形式，其中 $\mathcal{M}$ 是一个 $2l$ 维的、无边界的紧流形。我们把 $\mathbb{R}$ 或 $S^1$ 的坐标记为 $t$，而把 $\mathcal{M}$ 的坐标记为 $x$。指标 0 表示 $t$ 空间中的分量，而 $\mu$ 表示 $x$ 空间中的分量。例如，$\gamma$ 矩阵的分量为 $\{{\gamma }^0,{\gamma }^{\mu }(1\le \mu \le 2l)\}$。

定义“奇偶性”运算 $\mathrm{P}$ 为

$${\mathcal{A}}_0(t,x)\to {\mathcal{A}}_0^{\mathrm{P}}(t,x)=-{\mathcal{A}}_0(-t,x)$$

$${\mathcal{A}}_{\mu }(t,x)\to {\mathcal{A}}_{\mu }^{\mathrm{P}}(t,x)={\mathcal{A}}_{\mu }(-t,x)$$

$$\psi (t,x)\to {\psi }^{\mathrm{P}}(t,x)=\mathrm{i}{\gamma }_0\psi (-t,x)$$

$$\bar{\psi }(t,x)\to {\bar{\psi }}^p(t,x)=i\bar{\psi }(-t,x){\gamma }_0.$$

经典作用量在该奇偶性运算下不变，

$$\begin{array}{rl}& \int \mathrm{d}t\mathrm{d}x\bar{\psi }\mathrm{i}\bar{\nabla }\psi \to -\int \mathrm{d}t\mathrm{d}x\bar{\psi }(-t,x){\gamma }^0\mathrm{i}[{\gamma }^0({\partial }_0-{\mathcal{A}}_0(-t,x))\\ & +{\gamma }^{\mu }\left({\partial }_{\mu }+{\mathcal{A}}_{\mu }(-t,x)\right)]{\gamma }^0\psi (-t,x)\\ & =\int \mathrm{d}t\mathrm{d}x\bar{\psi }(t,x)\mathrm{i}[{\gamma }^0\left({\partial }_0+{\mathcal{A}}_0(t,x)\right)\\ & +{\gamma }^{\mu }({\partial }_{\mu }+{\mathcal{A}}_{\mu }(t,x))]\psi (t,x)\end{array}$$

其中最后一行我们作了代换 $t\to -t$。下面来看有效作用是否也保持这一不变性。有效作用由 $\mathrm{i}\overline{\nabla }$ 的特征值之正规化乘积给出。我们用 Pauli-Villars 正规化来正规化这一乘积，即

$${\mathcal{L}}_{\text{r e g}}\equiv \bar{\chi }\mathrm{i}\bar{\nabla }\chi +\mathrm{i}M\bar{\chi }\chi \text{\hspace{1em}(13.106)}$$

将其加到原来的拉格朗日量上。Pauli-Villars 调节子 $\chi$ 是一个服从玻色统计的旋量，并取极限 $M\to \infty$。正规化行列式为

$${\mathrm{e}}^{-W[\mathcal{A}]}=\frac{\det \mathrm{i}\bar{\mathcal{V}}}{\det (\mathrm{i}\bar{\mathcal{V}}+\mathrm{i}M)}=\prod _i\frac{{\lambda }_i}{{\lambda }_i+\mathrm{i}M}\text{\hspace{1em}(13.107)}$$

这里我们注意到 $\chi$ 是玻色的。此处 ${\lambda }_i$ 是 $\mathrm{i}\vec{\mathbb{V}}$ 的第 $i$ 个特征值，即 $\mathrm{i}\vec{\mathbb{V}}{\psi }_i={\lambda }_i{\psi }_i$。在宇称操作下，特征值改变符号，

$$\begin{array}{rl}& \mathrm{i}\left[{\gamma }^0\left({\partial }_0-{\mathcal{A}}_0(-t,x)\right)+{\gamma }^i\left({\partial }_i+{\mathcal{A}}_i(-t,x)\right)\right]\mathrm{i}{\gamma }^0{\psi }_i(-t,x)\\ & =\mathrm{i}{\gamma }^0[{\gamma }^0(-{\partial }_{\tau }-{\mathcal{A}}_0(\tau ,x))-{\gamma }^i({\partial }_i+{\mathcal{A}}_i(\tau ,x))]\mathrm{i}\psi (\tau ,x)\\ & =-{\lambda }_i\mathrm{i}{\gamma }^0{\psi }_i(\tau ,x)\end{array}$$

其中 $\tau =-t$。这表明有效作用 $W[\mathcal{A}]$ 在宇称操作 $\mathrm{P}$ 下变换为

$$W[\mathcal{A}]\to W[{\mathcal{A}}^{\mathrm{P}}]=-\ln \prod \frac{-{\lambda }_i}{-{\lambda }_i+\mathrm{i}M}=\overline{W[\mathcal{A}]}\text{\hspace{1em}(13.108)}$$

其中横线表示复共轭。(13.108) 表明，$W$ 的虚部正是宇称破坏部分，

$$W[\mathcal{A}]-W[{\mathcal{A}}^{\mathrm{P}}]=2\mathrm{Im}W[\mathcal{A}].\text{\hspace{1em}(13.109)}$$

Im $W[\mathcal{A}]$ 由 12.8 节 中定义的 $\eta$ 不变量给出。事实上，

$$\begin{array}{rl}\mathrm{Im}W[\mathcal{A}]& =\underset{M\to \infty }{\lim }\mathrm{Im}\left(-\sum _i\ln \frac{{\lambda }_i}{{\lambda }_i+\mathrm{i}M}\right)=\underset{M\to \infty }{\lim }\sum _i{\tan }^{-1}(M/{\lambda }_i)\\ & =\frac{\pi }{2}\left(\sum _{\lambda >0}1-\sum _{\lambda <0}1\right)=\frac{\pi }{2}\eta .\end{array}\text{\hspace{1em}(13.110)}$$

因此，泡利-维拉斯正规化子给出了 $\eta$ 不变量的一种正规化形式。于是最终得到

$$\mathrm{Im}W[\mathcal{A}]=\frac{\pi }{2}\eta =\frac{\pi }{2}\underset{s\to 0}{\lim }\sum _i^{\prime }\mathrm{sgn}{\lambda }_i|{\lambda }_i{|}^{-2s}\text{\hspace{1em}(13.111)}$$

其中撇号表示略去零模。

13.6.2 维数阶梯：4-3-2

值得注意的是，(13.110)中的宇称反常与 $(2l+2)$ 维空间中的手征反常密切相关（Alvarez-Gaume 等 1985）。按照 Forte（1987）的做法，我们来看维数阶梯，

$$\begin{array}{c}\text{四维阿贝尔反常}\\ \downarrow \\ \text{三维宇称反常}\\ \downarrow \\ \text{二维非阿贝尔反常。}\end{array}\text{\hspace{1em}(13.112)}$$

我们取 $M_4=S^2\times S^2$ 为四维空间。此时阿贝尔反常由指标给出

$$\mathrm{ind}\mathrm{i}{\overline{\mathcal{V}}}_4={\mathcal{N}}_{+}-{\mathcal{N}}_{-}={\int }_{S^2\times S^2}{\partial }_{\mu }{j}_5^{\mu }={\int }_{S^2\times S^2}{\mathrm{ch}}_2(\mathbb{F}).\text{\hspace{1em}(13.113)}$$

与前面一样，${\mathcal{N}}_{+}$（$({\mathcal{N}}_{-})$）是正（负）手征零模的数目。设 $Q_3$ 为 ${\mathrm{ch}}_2(\mathbb{F})$ 的陈-西蒙斯形式，即 ${\mathrm{ch}}_2(\mathbb{F})=\mathrm{d}{Q}_3(\mathbb{A},\mathbb{F})$。于是

$\mathcal{N}\equiv {\mathcal{N}}_{+}-{\mathcal{N}}_{-}$ 由下式给出

$$\begin{array}{rl}\mathcal{N}& ={\int }_{S^2\times S^2}{\mathrm{ch}}_2(\mathbb{F})={\int }_{U_{\mathrm{N}}\times S^2}\mathrm{d}{Q}_3\left({\mathbb{A}}_{\mathrm{N}},{\mathbb{F}}_{\mathrm{N}}\right)+{\int }_{U_{\mathrm{S}}\times S^2}\mathrm{d}{Q}_3\left({\mathbb{A}}_{\mathrm{S}},{\mathbb{F}}_{\mathrm{S}}\right)\\ & ={\int }_{S^1\times S^2}\left[Q_3\left({\mathbb{A}}_{\mathrm{N}},{\mathbb{F}}_{\mathrm{N}}\right)-\mathrm{d}{Q}_3\left({\mathbb{A}}_{\mathrm{S}},{\mathbb{F}}_{\mathrm{S}}\right)\right]\\ & =\frac{1}{24{\pi }^2}{\int }_{S^1\times S^2}\mathrm{tr}{\left(g^{-1}\mathrm{d}g\right)}^3\end{array}\text{\hspace{1em}(13.114)}$$

其中 $g$ 是联系 ${\mathbb{A}}_{\mathrm{N}}$ 与 ${\mathbb{A}}_{\mathrm{S}}$ 的规范变换，即 ${\mathbb{A}}_{\mathrm{N}}=g^{-1}({\mathbb{A}}_{\mathrm{S}}+\mathrm{d}+{\mathrm{d}}_{\theta })g$。上一节中我们已经证明，$\mathcal{N}$ 同样表示非阿贝尔反常，

$$\mathcal{N}=\frac{1}{2\pi }{\int }_0^{2\pi }\mathrm{d}\theta \frac{\partial w(\mathcal{A},\theta )}{\partial \theta }\text{\hspace{1em}(13.115a)}$$

其中 $w$ 由下式定义：

$$\det \mathrm{i}\hat{D}({\mathcal{A}}^{g(\theta )})={\mathrm{e}}^{\mathrm{i}w(\mathcal{A},\theta )}\det \mathrm{i}\hat{D}(\mathcal{A}).\text{\hspace{1em}(13.115b)}$$

这里 $\mathcal{A}$ 是参考规范势，并且

$${\mathcal{A}}^{g(\theta )}=g^{-1}(x,\theta )(\mathcal{A}+\mathrm{d})g(x,\theta )\mathrm{i}\hat{D}=/\partial +{\mathcal{A}\mathcal{P}}_{+}.$$

接下来我们证明，$\mathcal{N}$ 也与三维空间中的宇称反常有关。设 $\mathrm{i}{\overline{\nabla }}_3$ 为一个三维狄拉克算符，并通过下式定义一个四维狄拉克算符：

$$\mathrm{i}/D_4[\mathcal{A}]\equiv \mathrm{i}{\sigma }_1\otimes I\frac{\partial }{\partial t}+{\sigma }_2\otimes \mathrm{i}/{\nabla }_3[{\mathcal{A}}_t]\text{\hspace{1em}(13.116)}$$

其中 ${\mathcal{A}}_t$ 是一族单参数规范势，它在 ${\mathcal{A}}_0={\mathcal{A}}_{t=0}$ 与 ${\mathcal{A}}_1={\mathcal{A}}_{t=1}$ 之间进行插值。阿蒂亚-帕托迪-辛格指标定理（12.8 节）为

$$\mathrm{ind}\mathrm{i}{D}_4=-{\int }_{S^2\times S^1\times I}{\mathrm{ch}}_2(\mathcal{F})+\frac{1}{2}[\eta (t=1)-\eta (t=0)]\text{\hspace{1em}(13.117)}$$

这里我们已注意到，狄拉克亏格 $\hat{A}$ 在 $S^2\times S^1\times I$ 上是平凡的。假设 ${\mathcal{A}}_0$ 与 ${\mathcal{A}}_1$ 由一个规范变换相联系，

$${\mathcal{A}}_1=g^{-1}\left({\mathcal{A}}_0+\mathrm{d}\right)g\text{\hspace{1em}(13.118a)}$$

并考虑插值势

$${\mathcal{A}}_t\equiv t{\mathcal{A}}_1+(1-t){\mathcal{A}}_0.\text{\hspace{1em}(13.118b)}$$

由于 $\mathrm{i}{\overline{\mathcal{V}}}_3$ 的谱是规范不变的，特别地有 $\mathrm{Spec}\mathrm{i}{\overline{\mathcal{V}}}_3({\mathcal{A}}_0)=\mathrm{Spec}\mathrm{i}{\overline{\mathcal{V}}}_3({\mathcal{A}}_1)$，因此 $\eta$ 不变量也是规范不变的。于是 $\eta (t=0)=\eta (t=1)$，而由定理 13.117给出的APS指标得到

$$\begin{array}{rl}\text{谱}& =\mathrm{ind}\mathrm{i}{D}_4({\mathcal{A}}_t)\\ & ={\int }_{S^2\times S^2}{\mathrm{ch}}_2(\mathcal{F})={\int }_{S^1\times S^2}\left[Q_3\left({\mathcal{A}}_1,{\mathcal{F}}_1\right)-Q_3\left({\mathcal{A}}_0,{\mathcal{F}}_0\right)\right]\\ & ={\int }_{S^1\times S^2}{Q}_3\left(g^{-1}dg,0\right)=\mathbb{N}.\end{array}\text{\hspace{1em}(13.119)}$$

因此，三维理论的谱流由指标 $\mathcal{N}$ 给出。总之，映射 $g:S^2\times S^1\to G$ 可以从三种不同的方式来理解：

(1) $g$ 是 $S^2\times S^2$ 上 $G$ 纤维丛 的两个坐标卡边界处的过渡函数，它给出四维阿贝尔反常的指标 $\mathcal{N}$。
(2) 设 ${\mathcal{A}}_0$ 与 ${\mathcal{A}}_1=g^{-1}({\mathcal{A}}_0+\mathrm{d})g$ 是 $S^2\times S^1$ 上的规范势，则规范变换函数 $g$ 度量了 $\mathrm{Spe}\mathrm{i}{\vec{\nabla }}_3({\mathcal{A}}_0)$ 与 $\mathrm{Spe}\mathrm{i}{\vec{\nabla }}_3({\mathcal{A}}_1)$ 之间的谱流 $\mathcal{N}$。
(3) $g:S^2\times S^1\to G$ 诱导出映射 $S^1\to \mathfrak{G}$，其绕数 $\mathcal{N}$ 等同于二维空间中的非阿贝尔反常。

这样，我们就得到了“维数阶梯(dimensional ladder)”4-3-2。向更高维的推广是显然的。

6 注意，奇数维空间中没有规范反常。

来源与版本

正文：中文 · 机器译稿 · 待校对

核对状态：机器译稿 · 待校对

原书 PDF

来源版本：second-edition-local

来源 PDF SHA-256：fcd24c3371d092a8c699ccf5cf0765462924b6c48412804231076e8084b1940d

OCR 来源 SHA-256：0b6324f01172a3548cd34382e82fd8bfae574602b6b2cfaa357ba96bc2c35478

译稿产物 SHA-256：0eb41c66e98c8733567f0ce8567faaa8e9cbfa5e1c7ea00236f7f950c4e40794