12.10 指标定理的超对称证明

本节将利用上一节所发展的超对称量子力学，在最简单的情形下给出指标定理的证明。

12.10.1 指标

考虑向量丛 $E_{\pm }\stackrel{\pi }{\to }M$ 与 $E=E_{+}\oplus E_{-}$，并设 $\mathcal{D}$ 为椭圆微分算子(elliptic differential operator)，其作用为

$$\mathcal{D}:\Gamma (M,E^{+})\to \Gamma (M,E^{-}).$$

利用纤维范数，可以定义 $\mathcal{D}$ 的伴随为

$${\mathcal{D}}^{†}:\Gamma (M,E^{-})\to \Gamma (M,E^{+}).$$

假定 $\mathcal{D}$ 是弗雷德霍姆的，则指标

$$\mathrm{Ind}\mathcal{D}=\dim \ker \mathcal{D}-\dim \ker {\mathcal{D}}^{†}\text{\hspace{1em}(12.161)}$$

是良定义的。

定理 12.4

数 ind $\mathcal{D}$ 在 $\mathcal{D}$ 的“小”形变下是不变的。

证明

首先注意，${\mathcal{DD}}^{†}$ 与 ${\mathcal{D}}^{†}\mathcal{D}$ 都是非负的，因此可得

$$\ker \mathcal{D}=\ker {\mathcal{D}}^{†}\mathcal{D}\ker {\mathcal{D}}^{†}=\ker \mathcal{D}{\mathcal{D}}^{†}.$$

设 $\{{\varphi }_n\}$ 为 ${\mathcal{D}}^{†}\mathcal{D}:\Gamma (M,E^{+})\to$ $\Gamma (M,E^{+})$ 的一组正交归一特征截面，即

$$({\mathcal{D}}^{†}\mathcal{D}){\varphi }_n={\lambda }_n{\varphi }_n.$$

对 ${\lambda }_n>0$ 的 ${\varphi }_n\in (\ker \mathcal{D}{)}^{\perp }$，定义 ${\psi }_n\equiv \mathcal{D}{\varphi }_n/\sqrt{{\lambda }_n}$。于是我们发现 ${\psi }_n$ 是具有相同特征值 ${\lambda }_n$ 的特征截面，即 ${\psi }_n\in (\ker {\mathcal{D}}^{†}{)}^{\perp }$，这是因为

$$(\mathcal{D}{\mathcal{D}}^{†}){\psi }_n=\mathcal{D}({\mathcal{D}}^{†}\mathcal{D}{\varphi }_n)/\sqrt{{\lambda }_n}={\lambda }_n\mathcal{D}{\varphi }_n/\sqrt{{\lambda }_n}={\lambda }_n{\psi }_n.$$

还要注意，$\{{\psi }_n\}$ 是正交归一的特征截面，

$$⟨{\psi }_n|{\psi }_m⟩=\frac{1}{\sqrt{{\lambda }_n{\lambda }_m}}⟨{\varphi }_n|{\mathcal{D}}^{†}\mathcal{D}|{\varphi }_m⟩=\frac{{\lambda }_m}{\sqrt{{\lambda }_n{\lambda }_m}}{\delta }_{nm}={\delta }_{nm}.$$

由此可见，$(\ker \mathcal{D}{)}^{\perp }$ 与 $(\ker {\mathcal{D}}^{†}{)}^{\perp }$ 之间存在自然的同构。然而要注意，$\ker \mathcal{D}$ 与 $\ker {\mathcal{D}}^{†}$ 之间并不存在这样的同构。假设 $N$ 个位于 $\ker \mathcal{D}$ 中的态由于算子 $\mathcal{D}$ 的小扰动而获得非零特征值，并且 $\dim \ker \mathcal{D}$ 减少了 $N$。那么由这一观察可知，同样数目的态也必定离开 $\ker {\mathcal{D}}^{†}$。否则 $(\ker \mathcal{D}{)}^{\perp }$ 就不再同构于 $(\ker {\mathcal{D}}^{†}{)}^{\perp }$。类似地，若 $\dim \ker \mathcal{D}$ 增加了 $N$，则 $\dim \ker {\mathcal{D}}^{†}$ 也必定增加 $N$，以保持 $(\ker \mathcal{D}{)}^{\perp }$ 与 $(\ker {\mathcal{D}}^{†}{)}^{\perp }$ 的配对性质。因此，$\mathrm{ind}\mathcal{D}$ 在 $\mathcal{D}$ 的小扰动下是不变的。

定理 12.5

设 $\mathcal{D}$ 为弗雷德霍姆微分算子，则其指标由下式给出

$$\mathrm{ind}\mathcal{D}=\mathrm{Tr}{\mathrm{e}}^{-\beta {\mathcal{D}}^{†}\mathcal{D}}-\mathrm{Tr}{\mathrm{e}}^{-\beta {\mathcal{DD}}^{†}}\text{\hspace{1em}(12.162)}$$

其中 $\beta >0$ 为实常数。事实上，该指标与 $\beta$ 无关。

证明

(12.162) 中的迹分别是对 $\{{\varphi }_n\}$ 与 $\{{\psi }_n\}$ 求的。设 $\{{\varphi }_i^0\}$ 与 $\{{\psi }_i^0\}$ 分别为 $\ker \mathcal{D}$ 与 $\ker {\mathcal{D}}^{†}$ 的正交归一特征截面，其中 $1\le i\le \dim \ker \mathcal{D}$，$1\le j\le \dim \ker {\mathcal{D}}^{†}$。于是可得

$$\begin{array}{rl}& {\mathrm{Tre}}^{-\beta {\mathcal{D}}^{†}\mathcal{D}}-{\mathrm{Tre}}^{-\beta {\mathcal{DD}}^{†}}\\ & =\sum _{{\lambda }_n\ne 0}⟨{\varphi }_n|e^{-\beta {\mathcal{D}}^{†}\mathcal{D}}|{\varphi }_n⟩-\sum _{{\lambda }_n\ne 0}⟨{\psi }_n|e^{-\beta \mathcal{D}{\mathcal{D}}^{†}}|{\psi }_n⟩\\ & +\sum _i⟨{\varphi }_i^0|{\varphi }_i^0⟩-\sum _j⟨{\psi }_j^0|{\psi }_j^0⟩\\ & =\sum _{{\lambda }_n\ne 0}{\mathrm{e}}^{-\beta {\lambda }_n}\left(⟨{\varphi }_n|{\varphi }_n⟩-⟨{\psi }_n|{\psi }_n⟩\right)+\sum _{i}1-\sum _{j}1\\ & =\dim \ker \mathcal{D}-\dim \ker {\mathcal{D}}^{†}\\ & =\mathrm{ind}\mathcal{D}.\end{array}$$

由于对 $i$ 与 $j$ 的求和与 $\beta$ 无关，如此定义的 $\mathrm{ind}\mathcal{D}$ 便与 $\beta$ 无关。

定理 12.5 中出现的迹可以等同于热核。设 $E=E_{+}\oplus E_{-}$，并定义作用在 $E$ 上的一个微分算子（参见 式 (12.79)）

$$\mathrm{i}Q\equiv \left(\begin{array}{cc}0& {\mathcal{D}}^{†}\\ \mathcal{D}& 0\end{array}\right):E\to E.\text{\hspace{1em}(12.163)}$$

此外，定义“哈密顿量”与矩阵 $\Gamma$ 为

$$H=(\mathrm{i}Q{)}^2=\left(\begin{array}{cc}{\mathcal{D}}^{†}\mathcal{D}& 0\\ 0& \mathcal{D}{\mathcal{D}}^{†}\end{array}\right)\Gamma =\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& -1\end{array}\right).\text{\hspace{1em}(12.164)}$$

由于如此定义的 $Q$ 是反厄米的，故算符 $H$ 是厄米的且非负。利用 $\Gamma$，$\mathcal{D}$ 的指标可以写成如下紧凑形式

$$\mathrm{ind}\mathcal{D}=\mathrm{Tr}\Gamma {\mathrm{e}}^{-\beta H}.\text{\hspace{1em}(12.165)}$$

设 $M$ 为自旋流形，其第二施蒂费尔-惠特尼类 $w_2(M)$ 是平凡的。相应地，$M$ 上的 $\mathrm{SO}(k)$ 主丛可以提升为 $\mathrm{SPIN}(k)$ 主丛，即

$$\begin{array}{rl}& \\ & \begin{array}{ccc}\mathrm{SO}(k)& \to & \mathrm{SPIN}(k).\end{array}\\ & \downarrow \pi \\ & M\end{array}$$

设 $E=\Delta (M)$ 为此自旋丛。则与 $\Delta (M)$ 相伴的是一个克利福德代数 $\{{\gamma }^{\mu },{\gamma }^{\nu }\}=2{\delta }^{\mu \nu }$。下面定义手性算符

$${\gamma }_{2n+1}\equiv {\mathrm{i}}^n{\gamma }_1{\gamma }_2\dots {\gamma }_{2n}.\text{\hspace{1em}(12.166)}$$

5 算符 $Q$ 将在后面被等同于超荷。

由 ${\gamma }_{2n+1}^2=1$ 可知，${\gamma }_{2n+1}$ 的特征值只能取 $\pm 1$，我们称之为手性(chirality)。

练习 12.10

利用克利福德代数证明

$${\gamma }_{2n+1}^2=1\{{\gamma }_{\mu },{\gamma }_{2n+1}\}=0.$$

当 $k$ 为偶数时，截面的集合 $\Gamma (M,\Delta )$ 并不是 $\mathrm{Spin}(k)$ 的不可约表示，但可以按手性分解为两个子空间：

$$\Gamma (M,\Delta )=\Gamma (M,{\Delta }^{+})\oplus \Gamma (M,{\Delta }^{-})\text{\hspace{1em}(12.167)}$$

其中 ${\psi }_{\pm }\in \Gamma (M,{\Delta }^{\pm })$ 满足 ${\gamma }_{2n+1}{\psi }_{\pm }=\pm {\psi }_{\pm }$。我们给 $\Gamma (M,{\Delta }^{+})$ 中的截面赋予费米子数 $F=0$，而给 $\Gamma (M,{\Delta }^{-})$ 中的截面赋予 $F=1$。于是，(12.164) 中定义的 $\Gamma$ 可以写成

$$\Gamma =(-1{)}^F.\text{\hspace{1em}(12.168)}$$

显然，算符 $Q$ 会翻转手性，因此 $\{Q,\Gamma \}=0$。

设 $Q$ 为 $M$ 上的狄拉克算符，并设 $\Gamma ={\gamma }_{2n+1}$。事实上，由 练习 12.11 可知 $\{Q,{\gamma }_{2n+1}\}=0$，且 ${\gamma }_{2n+1}$ 等同于 $(-1{)}^F$。当按 (12.164) 将 $\Gamma$ 对角化时，手性特征截面可表示为¹

$${\psi }_{+}=\left(\begin{array}{c}{\psi }_{+}\\ 0\end{array}\right){\psi }_{-}=\left(\begin{array}{c}0\\ {\psi }_{-}\end{array}\right).\text{\hspace{1em}(12.169)}$$

于是显然，$\mathcal{D}:\Gamma (M,{\Delta }^{+})\to \Gamma (M,{\Delta }^{-})$ 与 ${\mathcal{D}}^{†}:\Gamma (M,{\Delta }^{-})\to$ $\Gamma (M,{\Delta }^{+})$ 分别等同于 (12.79) 中的 $D$ 与 $D^{†}$。据此，狄拉克算符的指标定义为

$$\mathrm{ind}Q=\dim \ker D-\dim \ker D^{†}.\text{\hspace{1em}(12.170)}$$

物理学家常把 $\ker D$ 与 $\ker D^{†}$ 中的截面称为零模(zero mode)。于是，狄拉克算符的指标就是正手性与负手性零模数目之差。正如我们在下一小节将要看到的，这个指标具有路径积分表达式。

12.10.2 路径积分与指标定理

我们来考虑 $2n$ 维自旋流形 $M$ 上的一个狄拉克算符 $Q$。此后我们采用欧氏时间 $(t\to -\mathrm{i}t)$。

设 $H=(\mathrm{i}Q{)}^2=\frac{1}{2}{g}_{\mu \nu }{p}^{\mu }{p}^{\nu }$ 为对应于 $Q$ 的哈密顿量。于是，狄拉克算符的指标具有如下路径积分表达式

$$\begin{array}{rl}\mathrm{ind}Q& =\mathrm{Tr}\Gamma {\mathrm{e}}^{-\beta H}=\mathrm{Tr}(-1{)}^F{\mathrm{e}}^{-\beta H}\\ & ={\int }_{\mathrm{PBC}}\mathcal{D}x\mathcal{D}\psi {\mathrm{e}}^{-{\int }_0^{\beta }\mathrm{d}tL}\end{array}\text{\hspace{1em}(12.171)}$$

其中拉格朗日量 $L$ 已在 (12.154) 中引入，

$$L=\frac{1}{2}{g}_{\mu v}(x){\dot{x}}^{\mu }{\dot{x}}^v+\frac{1}{2}{g}_{\mu v}(x){\psi }^{\mu }\frac{\mathrm{D}{\psi }^v}{\mathrm{D}t}\text{\hspace{1em}(12.172)}$$

而 PBC 表示这样一种边界条件：路径积分是对在 $[0,\beta ]$ 上满足周期性边界条件的函数进行的。如果把费米子变量的反周期边界条件改为周期边界条件，因子 $(-1{)}^F$ 就会消失。这一点可以从下面的观察看出。在路径积分形式中，带有 $(-1{)}^F$ 的迹为（见 1.5 节）

$$\begin{array}{rl}\mathrm{tr}(-1{)}^F{\mathrm{e}}^{-\beta H}& =\sum _n⟨n|(-1{)}^F{\mathrm{e}}^{-\beta H}|n⟩\\ & =\int \mathrm{d}{\theta }^{\ast }\mathrm{d}\theta ⟨-\theta |(-1{)}^F{\mathrm{e}}^{-\beta H}|\theta ⟩{\mathrm{e}}^{-{\theta }^{\ast }\theta }\end{array}\text{\hspace{1em}(12.173)}$$

其中 $F=c^{†}c$ 是费米子数算符。注意到

$$|\theta ⟩=|0⟩+|1⟩\theta (-1{)}^F|\theta ⟩=|0⟩-|1⟩\theta =|-\theta ⟩$$

该积分便可化为如下形式

$$\int \mathrm{d}{\theta }^{\ast }\mathrm{d}\theta ⟨\theta |{\mathrm{e}}^{-\beta H}|\theta ⟩{\mathrm{e}}^{-{\theta }^{\ast }\theta }.\text{\hspace{1em}(12.174)}$$

因此，消去 $(-1{)}^F$ 之后，我们必须把边界条件改为周期性边界条件。

本节余下的部分将计算这个路径积分，以说明它归结为由狄拉克 $\hat{A}$-亏格给出的拓扑指标。

在欧几里得时间下的超对称变换可由在 (12.140) 中作替换 $t\to -\mathrm{i}t$ 得到，即

$$\delta x^{\mu }=\mathrm{i}ϵ{\psi }^{\mu }\delta {\psi }^{\mu }=-\mathrm{i}ϵ{\dot{x}}^{\mu }.$$

正如上一小节所示，指标与 $\beta$ 无关，因此在计算迹时我们可以考虑极限 $\beta \downarrow 0$。将时间参数重新标度为 $t=\beta s$，我们便把作用量化为如下形式

$$\begin{array}{rl}& {\int }_0^{\beta }\mathrm{d}t\left[\frac{1}{2}{g}_{\mu \nu }(x){\dot{x}}^{\mu }{\dot{x}}^{\nu }+\frac{1}{2}{g}_{\mu \nu }(x){\psi }^{\mu }\frac{\mathrm{D}{\psi }^{\nu }}{\mathrm{D}t}\right]\\ & ={\int }_0^1\mathrm{d}s\left[\frac{1}{\beta }\frac{1}{2}{g}_{\mu v}(x)\frac{\mathrm{d}{x}^{\mu }}{\mathrm{d}s}\frac{\mathrm{d}{x}^v}{\mathrm{d}s}+\frac{1}{2}{g}_{\mu v}(x){\psi }^{\mu }\frac{\mathrm{D}{\psi }^v}{\mathrm{D}s}\right].\end{array}\text{\hspace{1em}(12.175)}$$

因此，在极限 $\beta \downarrow 0$ 下，任何满足 $\dot{x}\ne 0$ 的路径对路径积分的贡献都是指数级小的。相应地，在此极限下，路径积分的贡献只来自满足 $x(t)=\text{constant}$ 的路径。显然，这些路径满足周期性边界条件。

周期性边界条件迫使我们把 $M$ 中的环路之集取作玻色坐标的位形空间，并记之为 $L(M)$。为了用鞍点法计算路径积分，我们必须求出作用量的极值之集 $\mathcal{M}$，即经典欧拉–拉格朗日方程的解

$$-g_{\lambda \mu }(x)\frac{\mathrm{D}{\dot{x}}^{\mu }}{\mathrm{D}t}+\frac{1}{2}{R}_{\mu \nu \lambda \rho }{\psi }^{\mu }{\psi }^{\nu }{\dot{x}}^{\rho }=0\text{\hspace{1em}(12.176)}$$

$$\frac{\mathrm{D}{\psi }^{\mu }}{\mathrm{D}t}=\frac{\mathrm{d}{\psi }^{\mu }}{\mathrm{d}t}+{\dot{x}}^{\lambda }{\Gamma }_{\lambda v}^{\mu }{\psi }^v=0.\text{\hspace{1em}(12.177)}$$

由于这里充分用到了格拉斯曼数的反对易性以及黎曼曲率张量的对称性，因此概述一下这些方程的推导是有启发意义的。关于 ${\psi }^{\mu }$ 的欧拉–拉格朗日方程为

$$\begin{array}{rl}0& =\frac{\partial L}{\partial {\psi }^{\rho }}-\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left(\frac{\partial L}{\partial {\dot{\psi }}^{\rho }}\right)\\ & =\frac{1}{2}{g}_{\rho v}\frac{\mathrm{D}{\psi }^v}{\mathrm{D}t}-\frac{1}{2}{g}_{\kappa v}{\psi }^{\kappa }{\dot{x}}^{\lambda }{\Gamma }_{\lambda \rho }^v+\frac{1}{2}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left(g_{\rho v}{\psi }^v\right)\\ & =\frac{1}{2}\left[g_{\rho \nu }\frac{\mathrm{D}{\psi }^{\nu }}{\mathrm{D}t}-g_{\kappa \nu }{\dot{x}}^{\lambda }{\Gamma }_{\lambda \rho }^{\nu }{\psi }^{\kappa }+\left({\partial }_{\lambda }{g}_{\rho \nu }\right){\dot{x}}^{\lambda }{\psi }^{\nu }+g_{\rho \nu }{\dot{\psi }}^{\nu }\right].\end{array}$$

将两边同乘 $g^{\mu \rho }$ 并对 $\rho$ 求和，便得到

$$\begin{array}{rl}0& =\frac{\mathrm{D}{\psi }^{\mu }}{\mathrm{D}t}-g^{\mu \rho }{g}_{\kappa \nu }{\dot{x}}^{\lambda }{\Gamma }_{\lambda \rho }^{\nu }{\psi }^{\kappa }+g^{\mu \rho }\left({\partial }_{\lambda }{g}_{\rho \nu }\right){\dot{x}}^{\lambda }{\psi }^{\nu }+{\dot{\psi }}^{\mu }\\ & =\frac{\mathrm{D}{\psi }^{\mu }}{\mathrm{D}t}+{\dot{\psi }}^{\mu }+{\dot{x}}^{\lambda }\left[g^{\mu \rho }\left({\partial }_{\lambda }{g}_{\rho v}\right)-g^{\mu \rho }{g}_{v\kappa }{\Gamma }_{\lambda \rho }^{\kappa }\right]{\psi }^v=2\frac{\mathrm{D}{\psi }^{\mu }}{\mathrm{D}t}\end{array}$$

这就证明了(12.177)。这里用到了恒等式

$$\begin{array}{rl}& g^{\mu \rho }\left[\left({\partial }_{\lambda }{g}_{\rho v}\right)-\frac{1}{2}\left({\partial }_{\lambda }{g}_{v\rho }+{\partial }_{\rho }{g}_{v\lambda }-{\partial }_v{g}_{\lambda \rho }\right)\right]\\ & =g^{\mu \rho }\frac{1}{2}\left({\partial }_{\lambda }{g}_{\rho \nu }+{\partial }_{\nu }{g}_{\lambda \rho }-{\partial }_{\rho }{g}_{\nu \lambda }\right)={\Gamma }_{\nu \lambda }^{\mu }\end{array}$$

即上式第二行方括号中的式子。

下面我们来证明$x^{\mu }$的运动方程。我们得到

$$\begin{array}{rl}& \frac{\partial L}{\partial x^{\mu }}-\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left(\frac{\partial L}{\partial {\dot{x}}^{\mu }}\right)\\ & =\frac{1}{2}\left({\partial }_{\mu }{g}_{\alpha \beta }\right){\dot{x}}^{\alpha }{\dot{x}}^{\beta }+\frac{1}{2}\left({\partial }_{\mu }{g}_{\alpha \beta }\right){\psi }^{\alpha }\frac{\mathrm{D}{\psi }^{\beta }}{\mathrm{D}t}+\frac{1}{2}{g}_{\alpha \beta }{\psi }^{\alpha }{\dot{x}}^{\lambda }{\partial }_{\mu }{\Gamma }_{\lambda \kappa }^{\beta }{\psi }^{\kappa }\\ & -\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left(g_{\mu \nu }{\dot{x}}^{\nu }+\frac{1}{2}{g}_{\alpha \beta }{\psi }^{\alpha }{\Gamma }_{\mu \kappa }^{\beta }{\psi }^{\kappa }\right)\\ & =-\left[g_{\mu \nu }{\ddot{x}}^{\nu }+\frac{1}{2}\left({\partial }_{\lambda }{g}_{\mu \nu }+{\partial }_{\nu }{g}_{\mu \lambda }-{\partial }_{\mu }{g}_{\nu \lambda }\right){\dot{x}}^{\nu }{\dot{x}}^{\lambda }\right]\end{array}$$

$$\begin{array}{rl}& +\frac{1}{2}\left[g_{\alpha \beta }{\partial }_{\mu }{\Gamma }_{\lambda \kappa }^{\beta }-{\partial }_{\lambda }{g}_{\alpha \beta }{\Gamma }_{\mu \kappa }^{\beta }-g_{\alpha \beta }{\partial }_{\lambda }{\Gamma }_{\mu \kappa }^{\beta }\right]{\psi }^{\alpha }{\psi }^{\kappa }{\dot{x}}^{\lambda }\\ & +\frac{1}{2}{g}_{\alpha \beta }{\dot{x}}^{\lambda }{\Gamma }_{\lambda \gamma }^{\alpha }{\psi }^{\gamma }{\Gamma }_{\mu \kappa }^{\beta }{\psi }^{\kappa }+\frac{1}{2}{g}_{\alpha \beta }{\psi }^{\alpha }{\Gamma }_{\mu \kappa }^{\beta }{\dot{x}}^{\lambda }{\Gamma }_{\lambda \nu }^{\kappa }{\psi }^{\nu }\\ & =-g_{\mu \nu }\frac{\mathrm{D}{\dot{x}}^{\nu }}{\mathrm{D}t}+\frac{1}{2}[g_{\alpha \beta }{\partial }_{\mu }{\Gamma }_{\lambda \kappa }^{\beta }-g_{\alpha \beta }{\partial }_{\lambda }{\Gamma }_{\mu \kappa }^{\beta }-{\partial }_{\lambda }{g}_{\alpha \beta }{\Gamma }_{\mu \kappa }^{\beta }\\ & +g_{\gamma \beta }{\Gamma }_{\lambda \alpha }^{\gamma }{\Gamma }_{\mu \kappa }^{\beta }+g_{\alpha \beta }{\Gamma }_{\mu \gamma }^{\beta }{\Gamma }_{\lambda \kappa }^{\gamma }]{\psi }^{\alpha }{\psi }^{\kappa }{\dot{x}}^{\lambda }\\ & =-g_{\mu \nu }\frac{\mathrm{D}{\dot{x}}^{\nu }}{\mathrm{D}t}+\frac{1}{2}\left({\partial }_{\mu }{\Gamma }_{\lambda \kappa }^{\beta }-{\partial }_{\lambda }{\Gamma }_{\mu \kappa }^{\beta }+{\Gamma }_{\mu \kappa }^{\beta }{\Gamma }_{\lambda \kappa }^{\gamma }\right){\psi }^{\alpha }{\psi }^{\kappa }{\dot{x}}^{\lambda }\\ & +\frac{1}{2}\left(g_{\gamma \beta }{\Gamma }_{\lambda \alpha }^{\gamma }-{\partial }_{\lambda }{g}_{\alpha \beta }\right){\Gamma }_{\mu \kappa }^{\beta }{\psi }^{\alpha }{\psi }^{\kappa }{\dot{x}}^{\lambda }.\\ & +\frac{1}{2}\left[g_{\alpha \beta }{\partial }_{\mu }{\Gamma }_{\lambda \kappa }^{\beta }-{\partial }_{\lambda }{g}_{\alpha \beta }{\Gamma }_{\mu \kappa }^{\beta }-g_{\alpha \beta }{\partial }_{\lambda }{\Gamma }_{\mu \kappa }^{\beta }\right]{\psi }^{\alpha }{\psi }^{\kappa }{\dot{x}}^{\lambda }\end{array}$$

该式最后一行的最后一项可写为

$$\begin{array}{rl}& [g_{\gamma \beta }\frac{1}{2}{g}^{\gamma \nu }({\partial }_{\lambda }{g}_{\nu \alpha }+{\partial }_{\alpha }{g}_{\nu \lambda }-{\partial }_{\nu }{g}_{\lambda \alpha })-{\partial }_{\lambda }{g}_{\alpha \beta }]{\Gamma }_{\mu \nu }^{\beta }{\psi }^{\alpha }{\psi }^{\kappa }{\dot{x}}^{\lambda }\\ & =-\frac{1}{2}\left({\partial }_{\lambda }{g}_{\alpha \beta }+{\partial }_{\beta }{g}_{\lambda \alpha }-{\partial }_{\alpha }{g}_{\lambda \beta }\right){\Gamma }_{\mu \nu }^{\beta }{\psi }^{\alpha }{\psi }^{\kappa }{\dot{x}}^{\lambda }\\ & =-{\Gamma }_{\alpha \lambda \beta }{\Gamma }_{\mu \kappa }^{\beta }{\psi }^{\alpha }{\psi }^{\kappa }{\dot{x}}^{\lambda }\\ & =-g_{\alpha \beta }{\Gamma }_{\lambda \beta }^{\beta }{\Gamma }_{\mu \kappa }^{\beta }{\psi }^{\alpha }{\psi }^{\kappa }{\dot{x}}^{\lambda }\end{array}$$

由此得到

$$\begin{array}{rl}0& =-g_{\mu \nu }\frac{\mathrm{D}{\dot{x}}^{\nu }}{\mathrm{D}t}+\frac{1}{2}\left({\partial }_{\mu }{\Gamma }_{\lambda \kappa }^{\beta }-{\partial }_{\lambda }{\Gamma }_{\mu \kappa }^{\beta }+{\Gamma }_{\mu \gamma }^{\beta }{\Gamma }_{\lambda \kappa }^{\gamma }-{\Gamma }_{\lambda \gamma }^{\beta }{\Gamma }_{\mu \kappa }^{\gamma }\right){\psi }^{\alpha }{\psi }^{\kappa }{\dot{x}}^{\lambda }\\ & =-g_{\mu \nu }\frac{\mathrm{D}{\dot{x}}^{\nu }}{\mathrm{D}t}+\frac{1}{2}{R}_{\alpha \kappa \mu \lambda }{\psi }^{\alpha }{\psi }^{\kappa }{\dot{x}}^{\lambda }.\end{array}$$

式 (12.176) 可由重命名哑指标得到。

让我们回到对运动方程(12.176)与(12.177)的解的研究。显然，$x=$ 为常数、$\psi =$ 为常数这一对就是其中一个解。因此，$x_p:t\mapsto p\in M$ 总是包含在解之中，这些解可以写成 $M\subset \mathcal{M}$。当 $\psi =0$ 时，式 (12.176) 化为测地线方程，但一般而言未必如此。当基本群 ${\pi }_1(M)$ 非平凡时，一般存在不可收缩测地线。然而，它们对路径积分的贡献在 $\beta \downarrow 0$ 时按 $\exp (-c/\beta )$ 指数式地消失，因而可以忽略。

在着手证明指标定理之前，我们需要说明鞍点法。让我们从一个简单的例子开始。考虑积分

$$Z={\int }_{-\infty }^{\infty }\frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{2\pi \hslash }}{\mathrm{e}}^{-f(x)/\hslash }.$$

假定函数 $f(x)$ 只有一个极小值点 $x=x_0$，并且当 $x\to \pm \infty$ 时 $f(x)\to \infty$。让我们考虑在取极限 $\hslash \to 0$ 时积分 $Z$ 的渐近展开。令 $x=x_0+\sqrt{\hslash }y$，并在 $x_0$ 处展开 $f(x)$。考虑到 $f^{\prime }(x_0)=0$，我们得到展开式

$$f(x)=f(x_0)+\frac{1}{2!}\hslash y^2{f}^{\prime \prime }(x_0)+\frac{1}{3!}{\hslash }^{3/2}{y}^3{f}^{(3)}(x_0)+\frac{1}{4!}{\hslash }^2{y}^4{f}^{(4)}(x_0)+\dots .$$

若将此展开式代入 $Z$，便得到

$$\begin{array}{rl}& Z={\mathrm{e}}^{-f(x_0)/\hslash }{\int }_{-\infty }^{\infty }\frac{\mathrm{d}y}{\sqrt{2\pi }}\\ & \times \exp \left[-\frac{1}{2}{y}^2{f}^{\prime \prime }(x_0)-\left(\frac{1}{3!}{\hslash }^{1/2}{y}^3{f}^{(3)}(x_0)+\frac{1}{4!}\hslash y^4{f}^{(4)}(x_0)+\dots \right)\right].\end{array}$$

我们把 $y$ 的矩定义为

$$⟨y^n⟩=\frac{\int \frac{\mathrm{d}y}{\sqrt{2\pi }}{y}^n{\mathrm{e}}^{-y^2{f}^{\prime \prime }(x_0)/2}}{\int \frac{\mathrm{d}y}{\sqrt{2\pi }}{\mathrm{e}}^{-y^2{f}^{\prime \prime }(x_0)/2}}.$$

于是我们最终得到 $Z$ 的展开式

$$Z=\frac{{\mathrm{e}}^{-f(x_0)/\hslash }}{\sqrt{f^{\prime \prime }(x_0)}}⟨\exp \left[-\frac{1}{3!}{\hslash }^{1/2}{y}^3{f}^{(3)}(x_0)-\frac{1}{4!}\hslash y^4{f}^{(4)}(x_0)\dots \right]⟩.$$

人们也许会以为，展开 $⟨\dots ⟩$ 就会得到 $\mathrm{O}({\hslash }^{1/2})$ 阶的项。然而事实并非如此，因为 $⟨y^3⟩=0$，实际上有 $⟨\dots ⟩=1+O(\hslash )$。在下面指标定理的证明中，参数 $\hslash$ 被替换为 $\beta$。但指标与 $\beta$ 无关，由此我们断定 $\mathrm{O}(\beta )$ 阶的项都消失，因此只需考虑作用量的极值点及其二阶涨落。

练习 12.11

利用前面的展开式证明斯特林公式

$$n!\simeq \sqrt{2\pi n}{\mathrm{e}}^{-n}{n}^n\text{\hspace{1em}(12.178)}$$

其中 $n\gg 1$。

现在回到超对称量子力学。在计算 $Z$ 时，我们取经典运动方程解附近的二阶涨落。对路径积分的主要贡献来自解 $x=x_0$ 与 $\psi ={\psi }_0$。为使计算简便，我们采用以 $x=x_0$ 为基点的黎曼法坐标，也就是取一个使度量张量满足下列条件的坐标系：

$$g_{\mu \nu }(x_0)={\delta }_{\mu \nu }\frac{\partial }{\partial x^{\lambda }}{g}_{\mu \nu }(x_0)=0.$$

于是有 $g\equiv \det g=1$。我们在这个坐标系中把涨落定义为

$$x^{\mu }(t)=x_0^{\mu }+{\xi }^{\mu }(t)$$

$${\psi }^{\mu }(t)={\psi }_0^{\mu }+{\eta }^{\mu }(t).$$

7 当然，这一选择并不意味着黎曼张量一般会消失。

注意此处 $\mathrm{d}{x}^{\mu }=\mathrm{d}{\xi }^{\mu }$，$\mathrm{d}{\psi }^{\mu }=\mathrm{d}{\eta }^{\mu }$。作用量的二阶展开现在可写成

$$S_2={\int }_0^{\beta }\mathrm{d}t\left[\frac{1}{2}\frac{\mathrm{d}{\xi }^{\mu }}{\mathrm{d}t}\frac{\mathrm{d}{\xi }^{\mu }}{\mathrm{d}t}+\frac{1}{2}{\eta }^{\mu }\frac{\mathrm{d}{\eta }^{\mu }}{\mathrm{d}t}+\frac{1}{2}{\tilde{\mathcal{R}}}_{\mu v}(x_0){\xi }^{\mu }\frac{\mathrm{d}{\xi }^v}{\mathrm{d}t}\right]\text{\hspace{1em}(12.179)}$$

其中我们令

$${\tilde{\mathcal{R}}}_{\mu \nu }(x_0)=\frac{1}{2}{R}_{\mu \nu \rho \sigma }(x_0){\psi }_0^{\rho }{\psi }_0^{\sigma }.$$

不用说，零阶作用量 $S_0=S(x_0,{\psi }_0)$ 恒为零。

下面我们来计算指标

$$\mathrm{ind}Q=\int \mathcal{D}\xi \mathcal{D}\eta {\mathrm{e}}^{-S_2}\text{\hspace{1em}(12.180)}$$

这里用到的是二阶作用量 $S_2$。此处我们利用了路径积分测度的平移不变性 $\mathcal{D}x\mathcal{D}\psi =\mathcal{D}\xi \mathcal{D}\eta$。考虑到 $\xi$、$\eta$ 满足周期性边界条件，它们的傅里叶展开为

$${\xi }^{\mu }=\frac{1}{\sqrt{\beta }}\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\xi }_n^{\mu }{\mathrm{e}}^{2\pi int/\beta }$$

$${\eta }^{\mu }=\frac{1}{\sqrt{\beta }}\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\eta }_n^{\mu }{\mathrm{e}}^{2\pi int/\beta }.$$

$\xi$ 在 $S_2$ 中的涨落算符为

$$-{\delta }_{\mu \nu }\frac{{\mathrm{d}}^2}{\mathrm{d}{t}^2}+{\tilde{\mathcal{R}}}_{\mu \nu }\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}$$

而 $\eta$ 的涨落算符为

$${\delta }_{\mu \nu }\frac{d}{dt}.$$

在下面的高斯积分中，我们必须把 ${\xi }_0^{\mu }$ 与 ${\eta }_0^{\mu }$ 这两个零模（即 $n=0$ 的情形）单独处理。考虑到这一点，我们写出

$$\begin{array}{rl}& \mathrm{ind}Q=\mathcal{N}\int \prod _{\mu =1}^d\frac{\mathrm{d}{\xi }_0^{\mu }}{\sqrt{2\pi }}\mathrm{d}{\eta }_0^{\mu }{\left[{\mathrm{Det}}_{\mathrm{PBC}}^{\prime }\left({\delta }_{\mu \nu }\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\right)\right]}^{1/2}\\ & \times {\left[{\mathrm{Det}}_{\mathrm{PBC}}^{\prime }\left(-{\delta }_{\mu \nu }\frac{{\mathrm{d}}^2}{\mathrm{d}{t}^2}+{\tilde{\mathcal{R}}}_{\mu \nu }(x_0)\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\right)\right]}^{-1/2}\\ & =\mathcal{N}\int \prod _{\mu =1}^d\frac{\mathrm{d}{\xi }_0^{\mu }}{\sqrt{2\pi }}\mathrm{d}{\eta }_0^{\mu }{\left[{\mathrm{Det}}_{\mathrm{PBC}}^{\prime }\left(-{\delta }_{\mu v}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}+{\tilde{\mathcal{R}}}_{\mu v}(x_0)\right)\right]}^{-1/2}(12.181)\end{array}$$

其中 $\prime$ 表示略去零模，而 $\mathcal{N}$ 是归一化因子，它负责处理与格拉斯曼数排序有关的各种不确定性。下面就来计算这个因子。

由于 $\mathrm{ind}Q$ 与 $\beta$ 无关，为简单起见我们取 $\beta =1$。我们还选取度规为 $g_{\mu \nu }={\delta }_{\mu \nu }$ 以简化计算。这样费米子部分与玻色子部分就完全分离。注意到 $H_{\mathrm{fermion}}=0$，费米子部分可算出为

$$\begin{array}{rl}\mathrm{Tr}{\gamma }_{2n+1}& ={\int }_{\mathrm{PBC}}\mathcal{D}\psi {\mathrm{e}}^{-\frac{1}{2}{\int }_0^1\psi \cdot \dot{\psi }\mathrm{d}t}\\ & ={\mathcal{N}}_f{\mathrm{Det}}_{\mathrm{PBC}}^{\prime }({\delta }_{\mu \nu }{\partial }_t{)}^{1/2}\int \mathrm{d}{\psi }_0^1\dots \mathrm{d}{\psi }_0^{2n},\end{array}$$

其中 ${\psi }_0^{\mu }$ 是零模。该行列式可如下计算。首先注意，如1.5 节所示，这个行列式实际上是

$${\mathrm{Det}}_{\mathrm{PBC}}^{\prime }\left({\partial }_t+\omega \right)=\underset{\epsilon \to 0}{\lim }{\mathrm{Det}}^{\prime }\left(\left(1-\epsilon \omega \right){\partial }_t+\omega \right)$$

其中我们引入了谐振子频率 $\omega$，它将在计算结束时取为零。“配分函数”为

$$\begin{array}{rl}\mathrm{tr}(-1{)}^F{\mathrm{e}}^{-\beta H}& =2\sinh (\beta \omega /2)\\ & ={\mathrm{e}}^{\beta \omega /2}{\mathrm{Det}}_{\mathrm{PBC}}^{\prime }((1-\epsilon \omega ){\partial }_t+\omega ).\end{array}\text{\hspace{1em}(12.182)}$$

因此，在 $\omega \to 0$ 的极限下行列式为

$${\mathrm{Det}}_{\mathrm{PBC}}^{\prime }\left({\partial }_t\right)=\underset{\omega \to 0}{\lim }{\mathrm{e}}^{-\beta \omega /2}2\sinh (\beta \omega /2)=1.\text{\hspace{1em}(12.183)}$$

于是我们最终得到

$$\mathrm{Tr}{\gamma }_{2n+1}={\mathcal{N}}_f\int \mathrm{d}{\psi }_0^1\dots \mathrm{d}{\psi }_0^{2n}.\text{\hspace{1em}(12.184)}$$

我们把

$${\gamma }_{2n+1}={\mathrm{i}}^n{\gamma }_0^1\dots {\gamma }_0^{2n}=(2\mathrm{i}{)}^n{\psi }_0^1\dots {\psi }_0^{2n}$$

进一步代入迹中。由于 $\mathrm{Tr}{\gamma }_{2n+1}^2=\mathrm{Tr}I=2^n$，我们得到

$$\mathrm{Tr}{\gamma }_{2n+1}^2=2^n={\mathcal{N}}_f\int \mathrm{d}{\psi }_0^1\dots \mathrm{d}{\psi }_0^{2n}(2\mathrm{i}{)}^n{\psi }_0^1\dots {\psi }_0^{2n}={\mathcal{N}}_f(-2\mathrm{i}{)}^n$$

由此可得

$${\mathcal{N}}_f={\mathrm{i}}^n.$$

接下来我们计算玻色子部分的归一化因子 ${\mathcal{N}}_b$。若在(1.101)中采用虚时间，从而得到 $⟨x,1|x,0⟩=(2\pi {)}^{-1/2}$，则有

$$\int \mathcal{D}{x}^{\mu }{\mathrm{e}}^{-\frac{1}{2}{\int }_0^1{\dot{x}}^{\mu }{}^2}={\mathcal{N}}_b\frac{1}{{\mathrm{Det}}^{1/2}(-{\delta }_{\mu \nu }{\partial }_t^2)}\int \prod _{\mu =1}^{2n}\frac{\mathrm{d}{x}^{\mu }}{\sqrt{2\pi }}=(2\pi {)}^{-n}\int \prod _{\mu =1}^{2n}\mathrm{d}{x}^{\mu }.$$

该行列式用 $\zeta$ 函数正则化来计算，做法与1.4 节相同。在周期性边界条件下，$-{\mathrm{d}}^2/\mathrm{d}{t}^2$ 的特征值为 ${\lambda }_n=(2n\pi /\beta {)}^2$，于是

$${\mathrm{Det}}_{\mathrm{PBC}}^{\prime }\left(-\frac{{\mathrm{d}}^2}{\mathrm{d}{t}^2}\right)=\prod _{n\in \mathbb{Z},n\ne 0}{\left(\frac{2\pi n}{\beta }\right)}^2.$$

其谱 $\zeta$ 函数为

$${\zeta }_{-{\mathrm{d}}^2/\mathrm{d}{t}^2}(s)=\sum _{n\in \mathbb{Z},n\ne 0}^{\infty }{\left[{\left(\frac{2n\pi }{\beta }\right)}^2\right]}^{-s}=2{\left(\frac{\beta }{2\pi }\right)}^{2s}\zeta (2s)$$

由此得到

$$\begin{array}{rl}{\zeta }_{-{\mathrm{d}}^2/\mathrm{d}{t}^2}^{\prime }(0)& =4\log (\beta /2\pi ){\mathrm{e}}^{2s\log (\beta /2\pi )}\zeta (2s)+4{\mathrm{e}}^{2s\log (\beta /2\pi )}{\zeta }^{\prime }(2s){|}_{s=0}\\ & =4\left[\log \left(\beta /2\pi \right)\zeta (0)+{\zeta }^{\prime }(0)\right]=-2\log \beta .\end{array}$$

因此，行列式为

$${\mathrm{Det}}_{\mathrm{PBC}}^{\prime }\left(-\frac{{\mathrm{d}}^2}{\mathrm{d}{t}^2}\right)=\exp \left[-{\zeta }_{-{\mathrm{d}}^2/\mathrm{d}{t}^2}^{\prime }(0)\right]={\beta }^2.\text{\hspace{1em}(12.185)}$$

代入 $\beta =1$，可得 ${\mathrm{Det}}_{\mathrm{PBC}}^{\prime }(-{\mathrm{d}}^2/\mathrm{d}{t}^2)=1$。这样我们就求得了归一化因子

$${\mathcal{N}}_b=1.$$

综合以上结果，我们证明了 $\mathcal{N}={\mathcal{N}}_f{\mathcal{N}}_b={\mathrm{i}}^n$。于是指标可表示为

$$\mathrm{ind}Q={\mathrm{i}}^n\int \prod _{\mu =1}^d\frac{\mathrm{d}{\xi }_0^{\mu }}{\sqrt{2\pi }}\mathrm{d}{\eta }_0^{\mu }{\left[{\mathrm{Det}}_{\mathrm{PBC}}^{\prime }\left(-{\delta }_{\mu v}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}+{\tilde{\mathcal{R}}}_{\mu v}(x_0)\right)\right]}^{-1/2}.\text{\hspace{1em}(12.186)}$$

下面我们来计算(12.186)中的泛函行列式。由于费米变量只出现在 ${\tilde{\mathcal{R}}}_{\mu \nu }(x_0)$ 中，而这一部分是格拉斯曼偶的，我们暂且把它当作一个对易的数来处理。黎曼张量的反对称性意味着 ${\tilde{\mathcal{R}}}_{\mu \nu }(x_0)$ 满足 ${\tilde{\mathcal{R}}}_{\mu \nu }=-{\tilde{\mathcal{R}}}_{\nu \mu }$。因此，在偶数维流形 $M$ 上，可以把 ${\tilde{\mathcal{R}}}_{\mu \nu }$ 分块对角化为如下形式

$${\tilde{\mathcal{R}}}_{\mu v}=\left(\begin{array}{ccccc}0& y_1& & & \\ -y_1& 0& & & \\ & & \ddots & & \\ & & & 0& y_n\\ & & & -y_n& 0\end{array}\right).\text{\hspace{1em}(12.187)}$$

我们先集中考察第一个分块。算符

$$-{\delta }_{\mu \nu }\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}+{\tilde{\mathcal{R}}}_{\mu \nu }(x_0)$$

是实的，因此其特征值由复共轭对构成。下面我们用这些复特征值的乘积来表示该分块的行列式。可得

$$\begin{array}{rl}\stackrel{\prime }{\det }\left(\begin{array}{cc}-\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}& y_1\\ -y_1& -\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\end{array}\right)& ={\mathrm{Det}}^{\prime }\left(\frac{{\mathrm{d}}^2}{\mathrm{d}{t}^2}+y_1^2\right)=\prod _{n\ne 0}\left(y_1^2-(2\pi n/\beta {)}^2\right)\\ & ={\left[\prod _{n\ge 1}{\left(\frac{2\pi n}{\beta }\right)}^2\prod _{n\ge 1}\left[1-{\left(\frac{y_1\beta }{2\pi n}\right)}^2\right]\right]}^2\\ & ={\left(\frac{\sin \beta y_1/2}{y_1/2}\right)}^2.\end{array}\text{\hspace{1em}(12.188)}$$

现在指标可表示为

$$\mathrm{ind}Q={\mathrm{i}}^n\int \prod _{\mu =1}^{2n}\frac{\mathrm{d}{\xi }_0^{\mu }}{\sqrt{2\pi }}\mathrm{d}{\eta }_0^{\mu }\prod _{j=1}^n\frac{y_j/2}{\sin \beta y_j/2}.\text{\hspace{1em}(12.189)}$$

关于 $j$ 的乘积可写成

$$\frac{1}{{\beta }^{d/2}}\det {\left(\frac{\beta \tilde{\mathcal{R}}/2}{\sin \beta \tilde{\mathcal{R}}/2}\right)}^{1/2}.$$

注意，关于 $\tilde{\mathcal{R}}$ 的任何泰勒展开都在有限阶处终止，因为当 $p>d/2$ 时 ${\tilde{\mathcal{R}}}^p=0$。

至此我们计算的是围绕某一对特定 $x_0,{\psi }_0$ 的二阶涨落的贡献。现在还需要把来自经典运动方程所有解的贡献都考虑进来。前面已经指出，运动方程的解集 $\mathcal{M}$ 以常解 $(x_0,{\psi }_0)$ 为其子集，并且当 $\beta \downarrow 0$ 时非寻常解的贡献呈指数级小。因此，除常解之外，我们忽略所有周期解。若注意到展开式

$$x^{\mu }=x_0^{\mu }+\frac{1}{\sqrt{\beta }}{\xi }_0^{\mu }+\dots$$

就会发现对 $x_0$ 的积分等价于对 ${\xi }_0/\sqrt{\beta }$ 的积分，即 $\mathrm{d}{x}_0^{\mu }=\mathrm{d}{\xi }_0^{\mu }/\sqrt{\beta }$。这一论证同样适用于格拉斯曼零模

由此得到 $\mathrm{d}{\psi }_0^{\mu }=\sqrt{\beta }\mathrm{d}{\eta }_0^{\mu }$。总之，指标现在可写成

$$\mathrm{ind}Q={\mathrm{i}}^n\int \prod _{\mu =1}^{2n}\frac{\mathrm{d}{x}_0^{\mu }}{\sqrt{2\pi }}\mathrm{d}{\psi }_0^{\mu }\frac{1}{{\beta }^{d/2}}\det {\left(\frac{\beta \tilde{\mathcal{R}}/2}{\sin \beta \tilde{\mathcal{R}}/2}\right)}^{1/2}.\text{\hspace{1em}(12.190)}$$

我们作如下变量代换，以消去指标中表面上的 $\beta$ 依赖性，

$${\psi }_0^{\mu }=\frac{{\chi }_0^{\mu }}{\sqrt{2\pi \beta }},\mathrm{d}{\psi }_0^{\mu }=\sqrt{2\pi \beta }\mathrm{d}{\chi }_0^{\mu }.$$

将其代入

$$\beta {\tilde{\mathcal{R}}}_{\mu \nu }=\frac{1}{2\pi }\frac{1}{2}{\mathcal{R}}_{\mu \nu \rho \sigma }{\chi }_0^{\rho }{\chi }_0^{\sigma }$$

被积式，便得到

$$\mathrm{ind}Q={\mathrm{i}}^n\int \prod _{\mu =1}^{2n}\mathrm{d}{x}_0^{\mu }\mathrm{d}{\chi }_0^{\mu }\det {\left(\frac{\frac{1}{2}\frac{1}{2\pi }\frac{1}{2}{\mathcal{R}}_{\mu \nu \rho \sigma }(x_0){\chi }_0^{\rho }{\chi }_0^{\sigma }}{\sin \frac{1}{2}\frac{1}{2\pi }\frac{1}{2}{\mathcal{R}}_{\mu \nu \rho \sigma }(x_0){\chi }_0^{\rho }{\chi }_0^{\sigma }}\right)}^{1/2}.\text{\hspace{1em}(12.191)}$$

这就是狄拉克算符的阿蒂亚-辛格指标定理。

下面我们把前述定理改写成更熟悉的形式。注意，被积式中只有关于 $\chi$ 的 $2n$ 阶项在对 $\prod \mathrm{d}{\chi }_0^{\mu }$ 积分后才给出非零贡献。还要注意，$\prod \mathrm{d}{x}_0^{\mu }$ 不过是普通的体积元。于是定义曲率二形式

$${\mathcal{R}}_{\mu v}=\frac{1}{2}{R}_{\mu v\rho \sigma }\mathrm{d}{x}^{\rho }\wedge \mathrm{d}{x}^{\sigma }.\text{\hspace{1em}(12.192)}$$

接着注意，$\mathcal{R}/\sin \mathcal{R}$ 关于 $\mathcal{R}$ 是偶的，因此只有当 $n$ 为偶数，即只有当 $d$ 是四的倍数时，积分才不为零。若确实如此，因子 ${\mathrm{i}}^n$ 只取 $\pm 1$，于是我们可以形式地把被积式替换为

$${\mathrm{i}}^n\frac{\mathcal{R}}{\sin \mathcal{R}}\to \frac{\mathcal{R}}{\sinh \mathcal{R}}.$$

读者应验证前几项。这样，指标现在可写成众所周知的形式

$$\mathrm{ind}Q={\int }_M\det {\left(\frac{\frac{1}{2}\frac{1}{2\pi }\mathcal{R}}{\sinh \frac{1}{2}\frac{1}{2\pi }\mathcal{R}}\right)}^{1/2}.$$

此外，我们定义 $\hat{A}$ 亏格。由于 $\mathcal{R}$ 是反对称的，它可以分块

对角化为

$$\frac{1}{2\pi }{\mathcal{R}}_{\mu \nu }=\left(\begin{array}{ccccc}0& x_1& & & \\ -x_1& 0& & & \\ & & \ddots & & \\ & & & 0& x_n\\ & & & -x_n& 0\end{array}\right).$$

然后定义 $M$ 的 $\hat{A}$ 亏格为

$$\hat{A}(M)=\prod _{j=1}^n\frac{x_j/2}{\sinh x_j/2}\text{\hspace{1em}(12.193)}$$

其中右端由关于 $x_j$ 的形式展开式定义。

总之，我们在最简单的框架（自旋复形）下证明了阿蒂亚-辛格指标定理。

定理 12.6 · 自旋复形的指标定理

定义在 $M$ 上的狄拉克算符的指标为

$$\mathrm{ind}Q={\int }_M\hat{A}(M).\text{\hspace{1em}(12.194)}$$

12.1 正文中我们只讨论了紧流形。将AS 指标定理推广到非紧流形，得到的就是Callias-Bott-Seely 指标定理(Callias-Bott-Seely index theorem)（Callias 1978，Bott 与 Seely 1978）。这里我们考虑 Hirayama（1983）研究过的最简单情形。考虑一对算符

$$L\equiv \frac{1}{\mathrm{i}}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}-\mathrm{i}W(x)L^{†}\equiv \frac{1}{\mathrm{i}}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}+\mathrm{i}W(x)$$

其中 $W(+\infty )=\mu$，$W(-\infty )=\lambda$。

(a) 证明 ${\mathrm{Spec}}^{\prime }{L}^{†}L={\mathrm{Spec}}^{\prime }L{L}^{†}$，其中撇号表示略去零特征值。
(b) 证明

$$J(z)\equiv \mathrm{tr}\left(\frac{z}{L^{†}L+z}-\frac{z}{L{L}^{†}+z}\right)=\frac{1}{2}\left(\frac{\mu }{({\mu }^2+z{)}^{1/2}}-\frac{\lambda }{({\lambda }^2+z{)}^{1/2}}\right).$$

尾注

原书尾注 8：正文锚点待核

对 ${\xi }_0$ 与 ${\eta }_0$ 的积分，等价于对 $x_0$ 与 ${\psi }_0$ 的积分。

来源与版本

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译稿产物 SHA-256：856716ded0548937dd5c2dcb3cf280bbb38c12cbae3fbbc8282a52aa3dea6f6d

Footnotes

1. 注意这里存在轻微的记号滥用。符号 ${\psi }_{\pm }$ 既被用来表示 $\Gamma (M,S)$ 中的截面，也被用来表示 $\Gamma (M,{\Delta }^{\pm })$ 中的截面。 ↩