不可约表示 (irreducible representation)

别名：Irreducible representation；irreducible representations

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Szekeres · source-snapshot-bc3404156f6e

已登记出处中的最早位置：§4.4 · zh-CN。

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§4.4	zh-CN · 英文上下文	术语出现

来源短摘录与定位

§4.4 · zh-CN · translation · unreviewed

对每个 $g\in G$，映射 $T(g)$ 是满射，$T(g)W=W$，因为对每个向量 $w\in W$ 都有 $w=T(g)(T(g^{-1}w))$。因此，$T(g)$ 在 $W$ 上的限制是 $W$ 的一个自同构，并给出 $G,$ 的另一个表示，称为 $G,$ 的一个 子表示(subrepresentation)，记作 $T_W$ $G\to GL(W)$。整个空间 $V$ 与平凡子空间 0 显然对 $V$ 上的任意表示 $T$ 都是 $G$-不变的。若这些是仅有的不变子空间，则称该表示是 不可约表示(irreducible representation)。

Woit · 2025-10-20

已登记出处中的最早位置：§2.1 · en。

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§16.1	zh-CN · 英文上下文	术语出现
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来源短摘录与定位

§2.1 · en · original_transcription · ai-transcription-compared

Definition · Irreducible representation

Definition (Irreducible representation). A representation $\pi$ is called irreducible if it has no subrepresentations, meaning non-zero proper subspaces $W\subset V$ such that $({\pi }_{|W},W)$ is a representation. A representation that does have such a subrepresentation is called reducible.

§2.1 · zh-CN · translation · unreviewed

要研究群 $G$ 的表示，可以先找出它的不可约表示(irreducible representation)：

§2.1 · zh-CN · translation · unreviewed

定义 · 不可约表示(irreducible representation)

定义（不可约表示）。一个表示 $\pi$ 称为不可约的，如果它没有子表示，即不存在非零真子空间 $W\subset V$ 使得 $({\pi }_{|W},W)$ 是一个表示。存在这种子表示的表示称为可约表示。

§5.4 · zh-CN · translation · unreviewed

对于 $U(1)$，我们在定理 2.3 中通过考察映射在单位元处的导数，分类了所有不可约表示(irreducible representations)（即同态 $U(1)\to GL(1,\mathbf{C})={\mathbf{C}}^{\ast }$）。对于一般李群 $G$，同样可以通过在单位元处求导，证明 $G$ 的表示 $\pi$ 会导出一个李代数表示，进而尝试对李代数表示进行分类。

§5.4 · en · original_transcription · ai-transcription-compared

For $U(1)$, we classified all irreducible representations (homomorphisms $U(1)\to GL(1,\mathbf{C})={\mathbf{C}}^{\ast }$) in theorem 2.3 by examining the derivative of the map at the identity. For a general Lie group $G$, the same idea shows that a representation $\pi$ of $G$ induces a representation of its Lie algebra by differentiation at the identity; one can then try to classify Lie algebra representations.

§6.3 · zh-CN · machine_draft · machine-draft-not-reviewed

这些构造给出了这两个群的两个有趣的不可约表示(irreducible representation)：

§6.3 · en · machine_draft · machine-draft-not-reviewed

These constructions give two interesting irreducible representations of these groups:

§7.2 · zh-CN · machine_draft · machine-draft-not-reviewed

在第3章中我们看到，一个具有$\mathcal{H}={\mathbf{C}}^2$的一般量子系统可以通过$U(2)$在${\mathbf{C}}^2$上的作用来理解。自伴算符所表示的可观测量(quantum observable)对应于相应的李代数表示(Lie algebra representation)（相差一个因子 $i$）。$U(1)\subset U(2)$子群与所有其他部分对易，可以单独分析，这里我们只考虑$SU(2)$子群。对于任意这样的系统，群$SU(2)$没有特别的几何意义。当它作为旋转群的双覆盖出现时，称该量子系统携带自旋(spin)；特别是，二维不可约表示(irreducible representation)对应自旋 $1/2$（在第8章中我们将讨论更高自旋值的态空间）。

§7.2 · en · machine_draft · machine-draft-not-reviewed

正文请在原位置阅读；长段落、数学边界或未定位引用不截断嵌入，精确范围与指纹保存在结构化索引。

§16.1 · zh-CN · machine_draft · machine-draft-not-reviewed

$\mathrm{SL}(2,\mathbf{R})$ 是非紧群，其表示论与 $\mathrm{SU}(2)$ 的情形很不相同。特别地，它的每个非平凡的不可约表示(irreducible representation)，只要是酉表示(unitary representation)，就都是无限维的。这是数学中的重要课题，但超出了本书的讨论范围。我们只研究其中一个表示，即量子力学态空间给出的表示；它是 $\mathrm{SL}(2,\mathbf{R})$ 的一个双覆盖群的表示，而不是 $\mathrm{SL}(2,\mathbf{R})$ 本身的表示。

§16.1 · en · machine_draft · machine-draft-not-reviewed

The group $\mathrm{SL}(2,\mathbf{R})$ is noncompact, and its representation theory differs greatly from that of $\mathrm{SU}(2)$. In particular, every nontrivial irreducible representation that is unitary is infinite-dimensional. This is an important topic in mathematics, but beyond our scope. We will study one such representation, arising from the quantum-mechanical state space; it is a representation of a double cover of $\mathrm{SL}(2,\mathbf{R})$, not of $\mathrm{SL}(2,\mathbf{R})$ itself.

§25 · zh-CN · machine_draft · machine-draft-not-reviewed

应用这些方法研究 $d$ 维量子谐振子时，我们将详细看到：当 $d=2$ 时，群 $U(2)\subset Sp(4,\mathbb{R})$ 与哈密顿算子(Hamiltonian)对易，并作为对称群保持谐振子的能量本征子空间不变。这重现了我们在第8章中研究过的 $SU(2)\subset U(2)$ 的全部不可约表示(irreducible representation)的构造。当 $d=3$ 时，对应的物理例子是三维各向同性二次中心势：旋转群以 $SO(3)$ 子群的形式作用于态空间，而 $SO(3)\subset U(3)\subset Sp(6,\mathbb{R})$，其中 $U(3)$ 是与哈密顿算子对易的对称子群。由此可用湮灭算符和产生算符构造角动量算符。

§25 · en · machine_draft · machine-draft-not-reviewed

For the $d$-dimensional quantum harmonic oscillator, we will see in detail that when $d=2$, the group $U(2)\subset Sp(4,\mathbb{R})$ commutes with the Hamiltonian and acts by symmetries preserving its energy eigenspaces. This recovers the construction of all irreducible representations of $SU(2)\subset U(2)$ that we studied in Chapter 8. The case $d=3$ is the physical example of an isotropic quadratic central potential in three dimensions: the rotation group acts on the state space as an $SO(3)$ subgroup of $U(3)\subset Sp(6,\mathbb{R})$, the subgroup of symmetries commuting with the Hamiltonian. This gives a construction of angular-momentum operators from annihilation and creation operators.

原文中已定位的引用（不自动视为依赖）

• [定理 2.3](../chapter-02/02-the-group-u-1-and-its-representations#theorem-2-3)
• [theorem 2.3](../chapter-02/02-the-group-u-1-and-its-representations#theorem-2-3)
• [第3](../chapter-03/index#section-3)
• [第8](../chapter-08/index#section-8)
• [chapter 3](../chapter-03/index#section-3)
• [chapter 8](../chapter-08/index#section-8)

编辑导读与作者比较

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Woit 把不可约表示刻画为没有非零真子表示；Szekeres 等价地要求表示空间的 $G$-不变子空间只有 $0$ 与整个 $V$。这里的“不可约”针对表示及其不变子空间，不是矩阵是否在当前基下呈块对角形。 Woit · §2.1；Szekeres · §4.4

Woit 的酉表示可分解为不可约直和，但其非酉例子说明不能把该分解结论推广到任意表示；Szekeres 也展示了可约而不能完全约化的例子。 Woit · §2.1；Szekeres · §4.4

Woit · 作者条件与约定

Woit 以没有非零真子表示定义不可约表示，并把不可约对象作为分类表示时首先识别的部分。

条件：在群 $G$ 对复向量空间 $V$ 的表示语境中；子表示来自非零真不变子空间。酉性是其直和分解定理的条件，不是不可约定义的一部分。

记号：$(\pi ,V)$、$W\subset V$。

Woit · §2.1

Szekeres · 作者条件与约定

Szekeres 以不变子空间只有平凡子空间与全空间来判定表示不可约，并提供可约但不完全约化的例子。

条件：该定义针对群 $G$ 在向量空间 $V$ 上的表示；完全约化需要额外条件，不能由可约性或不可约定义推出。

记号：$G$-不变子空间 $W\subseteq V$。

Szekeres · §4.4

来源覆盖、定位与记录

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