B.1 第1章和第2章

B.1 第1章和第2章

概念链接 · 机器稿中出现的术语；来源角色尚未核验: 向量空间 · 不可约表示 · 复化

问题 1：

考虑 3 个对象的置换群 $S_3$。该群作用于 3 个元素的集合。考虑它在 3 个元素集合上的复值函数向量空间 ${\mathbf{C}}^3$ 上给出的表示 $(\pi ,{\mathbf{C}}^3)$（如 1.3.2 节所定义）。选取这组函数的一个基，并求出每个元素 $g\in S_3$ 的矩阵 $\pi (g)$

这个表示是否不可约？如果不是，能否给出它分解为不可约表示的结果，并找到一个基，使得表示矩阵在该基下为分块对角？

问题2：

使用与定理 2.3 中针对 $G=U(1)$ 的论证类似的论证，对群 $R$ 在加法群律下的不可约可微表示进行分类。其中哪些是酉的？

问题3：

考虑由行列式为 1 的 2 乘 2 实正交矩阵构成的群 $SO(2)$。这个群的复不可约表示是什么？（提示：$SO(2)$ 与 $U(1)$ 有何关系？）

存在 $SO(2)$ 在 ${\mathbf{R}}^2$ 上的一个显然表示，由对实 2-向量作矩阵乘法给出。若把实 2-向量替换为复 2-向量，但使用相同的表示矩阵，就得到 a 个复 2 维表示（这称为“复化”）。它如何分解为不可约表示的直和？

问题 4：

考虑一个量子力学系统，其状态空间为$\mathcal{H}={\mathbf{C}}^3$，哈密顿算符为

$$H=\left(\begin{array}{ccc}0& 1& 0\\ 1& 0& 0\\ 0& 0& 2\end{array}\right)$$

求解该系统的薛定谔方程，以在任意时刻 $t>0$ 求出其态向量 $|\Psi (t)⟩$，已知在 $t=0$ 时刻的态向量为

$$\left(\begin{array}{c}{\psi }_1\\ {\psi }_2\\ {\psi }_3\end{array}\right)$$

其中 ${\psi }_i\in \mathbf{C}$

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来源版本：2025-10-20

来源 PDF SHA-256：5a1941b2443b54d5db3d055f1e5ba390429b7a728475258017aaac87ee85a837

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