B.2 第3章和第4章

B.2 第3章和第4章

概念链接 · 机器稿中出现的术语；来源角色尚未核验: 复内积 · 特征值 · 李代数

问题 1：

计算 $e^{tM}$ 的指数，对于

$$\left(\begin{array}{ccc}0& \pi & 0\\ -\pi & 0& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right)$$

通过两种不同的方法：

• 将矩阵 $M$ 对角化（即写成 $PD{P}^{-1}$ 的形式，其中 $D$ 为对角矩阵），然后证明

$$e^{tPD{P}^{-1}}=P{e}^{tD}{P}^{-1}$$

并用此来计算 $e^{tM}$

• 利用指数函数的泰勒级数展开，以及正弦和余弦的级数展开，计算 $e^{tM}$。

问题2：

考虑一个两态量子系统，其哈密顿算子为

$$H=-B_x{\sigma }_1$$

（这是自旋 $\frac{1}{2}$ 系统在沿 $x$ 方向磁场中的哈密顿算子）。

• 求 $H$ 的特征向量和特征值。该量子系统中可能出现的能量有哪些？

• 如果系统在时刻 $t=0$ 从该状态开始

$$|\psi (0)⟩=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{0}\right)$$

$(i.e.,$ 自旋 ${{}^{\ast }\mathrm{up}}^{\mathfrak{V}})$ 求其后时刻的状态。

问题3：

利用任何酉矩阵都可通过酉矩阵共轭对角化这一事实，证明所有酉矩阵都可写成$e^X$，其中$X$是$\mathfrak{u}(n)$中的斜伴随矩阵。

相反，证明

$$A=\left(\begin{array}{cc}-1& 1\\ 0& -1\end{array}\right)$$

属于群 $SL(2,\mathbf{C})$，但不具有 $e^X$ 的形式，其中 $X\in \mathfrak{sl}(2,\mathbf{C})$ 任意（该李代数是所有迹为零的 2 乘 2 矩阵）。

提示：对于 2 乘 2 矩阵 $X$，可以证明（这是凯莱-哈密顿定理：矩阵 $X$ 满足其自身的特征方程 det $(\lambda 1-X)=0$，而对于 2 乘 2 矩阵，该方程为 ${\lambda }^2-tr(X)\lambda +\det (X)=0)$

$$X^2-tr(X)X+\det (X)1=0$$

对于 $X\in \mathfrak{sl}(2,\mathbf{C}),tr(X)=0$，因此这里 $X^2=-\det (X)1$。用这个来证明

$$e^X=\cos (\sqrt{\det (X)})1+\frac{\sin (\sqrt{\det (X)})}{\sqrt{\det (X)}}X$$

尝试对$e^X=A$使用这一方法，并推导出矛盾（取方程的迹，cos $(\sqrt{\det (X)})?)$是什么

问题 4：

• 证明：若 $M$ 的行对于标准内积是正交向量，则它是正交矩阵（这对于列也同样成立）。

• 证明 $M$ 一个矩阵是酉矩阵，如果它的列对于标准厄米内积是正交归一的向量（这对行也成立）。

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来源与版本

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来源版本：2025-10-20

来源 PDF SHA-256：5a1941b2443b54d5db3d055f1e5ba390429b7a728475258017aaac87ee85a837

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机翻模型：deepseek-v4.1-flash