B.3 第5章至第7章

概念链接 · 机器稿中出现的术语；来源角色尚未核验: 线性映射 · 李代数 · 伴随表示

问题 1：

在李代数 $g = su (2)$ 和 $g = so (3)$ 上，可以通过下式定义Killing形式 $K (\cdot, \cdot)$ ：

(X, Y) \in g \times g \to K (X, Y) = t r (X Y)

对这两个李代数，证明这给出一个双线性、对称、负定的形式，并且在一种情形下基向量 $X_{j}$ 、在另一种情形下 $l_{j}$ 提供正交基，如果使用 $K (\cdot, \cdot)$ 作为内积。
定义基灵型的另一种可能方式是

K^{'} (X, Y) = t r (a d (X) \circ a d (Y))

这里，李代数伴随表示 $(a d, g)$ 对每个 $X \in g$ 给出一个线性映射

a d (X) : R^{3} \to R^{3}

因而是一个 3 乘 3 实矩阵。这个 $K^{'}$ 通过取两个此类矩阵乘积的迹来确定。 $K$ 与 $K^{'}$ 之间有何关系？

问题2：

在同态下

Φ : S p (1) \to S O (3)

在6.2.3节中，四元数 $i$ 、j、k（单位长度，因此是 $S p (1))$ 的元素）对应于 $S O (3)$ 的哪些元素？注意，这与在 $i$ 、 $j$ 、 $k$ 上求 $Φ^{'}$ 的值不是同一个问题。

问题3：

在狭义相对论中，我们将空间与时间一起视为 $R^{4}$ ，并赋予一个内积，使得 $(v, v) = - v_{0}^{2} + v_{1}^{2} + v_{2}^{2} + v_{3}^{2}$ ，其中 $v = (v_{0}, v_{1}, v_{2}, v_{3}) \in R^{4}$ 。保持该内积不变且行列式为 1 的线性变换群记作 $S O (3, 1)$ ，称为洛伦兹群。证明：正如 $S O (4)$ 有二重覆盖 $S p in (4) = S p (1) \times S p (1)$ ，洛伦兹群也有二重覆盖 $S L (2, C)$ ，其对向量的作用由将 $R^{4}$ 与 2 乘 2 厄米矩阵按如下方式等同给出

(v_{0}, v_{1}, v_{2}, v_{3}) \leftrightarrow (v_{0} + v_{3} v_{1} + i v_{2} v_{1} - i v_{2} v_{0} - v_{3}) = M

并利用 $g \in S L (2, C)$ 对这些矩阵的作用，通过

M \to g M g^{†}

（提示：使用行列式）。

注意，洛伦兹群有一个旋量表示，但它不是酉的。

问题 4：

考虑一个自旋为 $\frac{1}{2}$ 的粒子，其态 $∣ ψ (t)⟩$ 在沿 3 方向、强度为 $B = ∣ B ∣$ 的磁场影响下随时间演化。若该态在 $t = 0$ 时是 $S_{1}$ 的特征向量，则各期望值是什么

⟨ ψ (t) ∣ S_{j} ∣ ψ (t)⟩

在较晚时刻对于可观测量 $S_{j}$ （回忆 $S_{j} = \frac{σ _{j}}{2})?$

来源与版本

正文：中文 · 机器译稿 · 待校对

核对状态：机器译稿 · 待校对

原书 PDF · 印刷页 537、538、539、540、541、542、543、544、545、546、547、548、549、550、551、552、553、554、555、556

来源版本：2025-10-20

来源 PDF SHA-256：5a1941b2443b54d5db3d055f1e5ba390429b7a728475258017aaac87ee85a837

OCR 来源 SHA-256：7f317d1896fa748af4cb9570310ed7801a8bef7ef97dd5d1d2ea35f0099d5952

译稿产物 SHA-256：990cbfa689456f304078547957a949f29a27c8ecb8b9969826d93f3e363e800f

机翻模型：deepseek-v4.1-flash

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