20 半直积的表示

在本章中，我们将考察半直积表示的一些方面，特别是雅可比群及其李代数的情况，以及$N$ ⋊ $K$的情况，其中$N$为交换群。后一种情况包括欧氏群$E(d)$，以及在我们引入狭义相对论后将发挥作用的庞加莱e群。

薛定谔表示给出了海森堡群的一个酉表示，该表示带有额外结构，这源于辛群通过自同构作用于海森堡群这一事实。每个这样的自同构将薛定谔表示的给定构造变为酉等价的构造，从而在状态空间上给出一个称为“交织算符”的算符。这些交织算符将给出（在相差一个相位因子的意义下）辛群的一个表示。在相差相位因子这一问题的范围内，薛定谔表示以这种方式延拓为完整雅可比群的一个表示。为了明确求出相位因子，可以从李代数表示出发，其中 sp(2d, $R$) 作用由相空间上二次函数的量子化给出。结果表明，对于有限维相空间，将李代数表示指数化得到的是在相差一个符号的意义下的群表示，而通过取 Sp(2d, $R$) 的一个双覆盖（称为 $M$ p(2d, $R$)），可以将其变为真正的表示。

在后续章节中，我们将发现许多作用于量子系统的群可以理解为这个$M$ $p$(2d, $R$)的子群，相应的可观测量作为由矩映射确定的动量算符和位置算符的二次组合出现。

欧氏群$E(d)$是雅可比群的一个子群，我们在第19章中看到，通过将薛定谔表示限制到这个子群上，可以理解它的某些表示。更一般地，这是半直积$N$ ⋊ $K$的一个例子，其中$N$是交换的。在这类情形下，不可约表示可以用$K$在$N_{\ast }$的不可约表示上的作用以及$K$的某些子群的不可约表示来刻画。

读者应当注意，本章所包含的许多内容并非由其在非相对论量子力学中的应用所驱动，在这种语境下，如此抽象的观点并不特别有用。这些内容的动机来自相对论量子场论中更复杂的情形，但先看看这些想法在一个更简单的语境中如何运作似乎是值得的。特别地，关于$N\times K$在$N$为交换情形下的表示的讨论，是由Poincar´e群的情形所驱动的（见第42章）。对交织算符的处理，则是由对称群作用于量子场的方式所驱动的（这一主题将首次出现在第38章）。

English contents

本章目录

• 20.1 交织算符与辛表示
• 20.2 构造交织算符
• 20.3 显式计算
  • 20.3.1 平面旋转对 $SO(2)$ 作用量在 $d=2$ 情形下的作用
  • 20.3.2 $d=1$ 相空间上的一个 SO(2) 作用
  • 20.3.3 傅里叶变换作为交织算符
  • 20.3.4 $d=1$ 相空间上的一个 R 作用量
• 20.4 N × K 的表示，N 可交换
• 20.5 延伸阅读

上一章：19 量子自由粒子作为欧氏群的一个表示

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来源版本：2025-10-20

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