24.4 SU(1, 1) 与 Bogoliubov 变换

概念链接 · 机器稿中出现的术语；来源角色尚未核验: 复内积 · 特征值 · 复化

在复化相空间中，将基从 $q, p$ 变为 $z$ 、z，会把保持泊松括号的线性变换群从行列式为1的实2乘2矩阵构成的群 $S L (2, R)$ 变为一个同构的复2乘2矩阵群。我们有

定理

群 $S L (2, R)$ 同构于复 $2 b y 2$ 矩阵的群 $S U (1, 1)$
$(α \overline{β} β \overline{α})$

使得

∣ α ∣^{2} - ∣ β ∣^{2} = 1

证明

用 $q, p$ 表示 $\overline{z}, z$ 的方程意味着这两个基之间的基变换是

(z z) = \frac{1}{2} (11 i - i) (p q)

该变换的矩阵具有逆

\frac{1}{2} (1 - i 1 i)

用这个基变换矩阵作共轭，可得

\frac{1}{2} (1 - i 1 i) (α \overline{β} β \overline{α}) \frac{1}{2} (11 i - i) = (Re (α + β) Im (α + β) - Im (α - β) Re (α - β)) (24.11)

右端是一个实矩阵，其行列式为1，因为共轭不改变行列式。□

注意，基变换24.11反映在方程24.3和24.8中，其中右端的矩阵分别是矩阵 $Z$ 和 $G$ ，但通过24.11变换到 $\overline{z}, z$ 基。

群 $S U (1, 1)$ 的另一个等价特征标是：作为 $C^{2}$ 的线性变换群，其行列式为 1，并保持不定厄米内积。

⟨ (c _{2} c _{1}), (c _{2}^{'} c _{1}^{'}) ⟩_{1, 1} = \overline{c}_{1} c_{1}^{'} - \overline{c}_{2} c_{2}^{'}

人们发现

⟨ (α γ β δ) (c _{2} c _{1}), (α γ β δ) (c _{2}^{'} c _{1}^{'}) ⟩_{1, 1} = ⟨ (c _{2} c _{1}), (c _{2}^{'} c _{1}^{'}) ⟩_{1, 1}

当 $γ = \overline{β}, δ = \overline{α}$ 且 $∣ α ∣^{2} - ∣ β ∣^{2} = 1$

不是应用于 $\overline{z}, z$ ，而是应用于它们的量子化 $a, a^{†}$ ，这种 $S U (1, 1)$ 变换被物理学家称为“Bogoliubov变换”。人们容易看出，将湮灭算符a替换为

a^{'} = α a + β a^{†}

当 $∣ α ∣^{2} - ∣ β ∣^{2} = 1$ 时，会导出具有相同对易关系的算符，因为

[a^{'}, (a^{'})^{†}] = [α a + β a^{†}, \overline{α} a^{†} + \overline{β} a] = (∣ α ∣^{2} - ∣ β ∣^{2}) 1

由方程24.11，方程24.1的 $S O (2) \subset S L (2, R)$ 子群在同构的 $S U (1, 1)$ 群中作为特例 $α = e^{i θ}, β = 0$ 出现，因此形如

(e^{i θ} 0 0 e^{- i θ})

该子群作用于湮灭算符和产生算符，只是将a改变一个相位（并将 $a^{†}$ 改变其共轭相位）。

子群 24.7 提供了更多非平凡的 Bogoliubov 变换，其中通过 $U_{g_{λ}}$ 的共轭给出（见方程 24.9）湮灭算符和产生算符

a_{r} = a cosh r + a^{†} sinh r, a_{r}^{†} = a sinh r + a^{†} cosh r

对于 $r \neq = 0.$ ，该状态

∣0 ⟩_{r} = e^{\frac{r}{2} (a^{2} - (a^{†})^{2})} ∣0 ⟩

既不是 $H$ 的本征态，也不是粒子数算符 $N$ 的本征态，并且描述了一个没有确定量子数的态。它将是具有哈密顿算符的量子系统的基态

H_{r} = a_{r}^{†} a_{r} + \frac{1}{2} = (cosh (2 r) a^{†} a + \frac{1}{2} sinh (2 r) (a^{2} + (a^{†})^{2}) + sinh^{2} r + \frac{1}{2}

这类与粒子数算符不对易的二次型哈密顿算符，其最低能量态 $∣0 ⟩_{⟨}$ 具有不定的粒子数特征值。这类例子例如出现在超流理论中。

来源与版本

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来源版本：2025-10-20

来源 PDF SHA-256：5a1941b2443b54d5db3d055f1e5ba390429b7a728475258017aaac87ee85a837

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机翻模型：deepseek-v4.1-flash

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