24.2 用 a 和 a ^ 表示的交织算符

概念链接 · 机器稿中出现的术语；来源角色尚未核验: 李代数

回忆第20章中的讨论， $M p (2, R)$ 的元辛表示可以通过交织算符来理解，这些交织算符源于群 $S L (2, R)$ 作为海森堡群 $H_{3}$ 的自同构的作用。这样的交织算符可以通过对二次算符取指数来构造，这些二次算符与 $Q, P$ 算符具有反映交织关系的对易关系（见方程 20.3）。这些二次算符给出了元辛表示的李代数版本，第 24.1 节使用李代数 sl(2, $R$ ) 对此进行了讨论，该李代数与 $M p (2, R)$ 的李代数相同。在第20.3.2节和第20.3.4节中，这些表示已针对 $S L (2, R)$ 的 $S O (2)$ 和 $R$ 子群，利用 $Q$ 和 $P$ 算符的二次组合被显式构造出来。这里我们将使用湮灭算符和产生算符代替 $Q$ 和 $P$ 算符来做同样的事情。

对于方程 24.1 的 SO(2) 子群（这与第 20.3.2 节中讨论的是同一个），用 $z$ 和 $z$ 坐标表示，矩映射将为

μ_{Z} = z \overline{z}

并且有

{μ_{Z}, (z z)} = (i 0 0 - i) (z z) (24.3)

通过湮灭算符和产生算符进行的量子化给出（见24.2）

Γ_{B F}^{'} (z \overline{z}) = Γ_{B F}^{'} (Z) = - \frac{i}{2} (a a^{†} + a^{†} a)

而24.3的量子化类比是

[- \frac{i}{2} (a a^{†} + a^{†} a), (a ^{†} a)] = (i 0 0 - i) (a ^{†} a) (24.4)

对于群元素， $g_{θ} = e^{θ Z} \in S O (2) \subset S L (2, R)$ ），并且表示由酉算符给出

U_{g_{θ}} = Γ_{B F} (e^{θ Z}) = e^{- i \frac{θ}{2} (a a^{†} + a^{†} a)}

其满足

U_{g_{θ}} (a ^{†} a) U_{g_{θ}}^{- 1} = (e^{i θ} 0 0 e^{- i θ}) (a ^{†} a) (24.5)

注意，使用方程 5.1

\frac{d}{d θ} (U_{g_{θ}} (a ^{†} a) U_{g_{θ}}^{- 1})_{∣ θ = 0} = [- \frac{i}{2} (a a^{†} + a^{†} a), (a ^{†} a)]

因此，方程 24.4 是方程 24.5 在 $θ = 0$ 处的导数。我们看到，在算符上，这个 $S O (2)$ 子群通过 $S L (2, R)$ 的作用进行的共轭不会混合产生算符和湮灭算符。在 distinguished 态 $∣0 ⟩, U_{g_{θ}}$ 上，它作为相位变换作用。

U_{g_{θ}} ∣0 ⟩ = e^{- \frac{i}{2} θ} ∣0 ⟩

除24.3外，在 $z, \overline{z}$ 中阶二与阶一多项式之间还有以下其他泊松括号关系

{z^{2}, \overline{z}} = 2 i z, {z^{2}, z} = 0, {\overline{z}^{2}, z} = - 2 i \overline{z}, {\overline{z}^{2}, \overline{z}} = 0 (24.6)

该函数

μ = \frac{i}{2} (\overline{z}^{2} - z^{2})

将给出第20.3.4节所研究的 $R \subset S L (2, R)$ 子群的一个矩映射。这是由那些对 $r \in R$ 按如下方式作用于基元素 $q, p$ 的元素 $g_{r}$ 组成的子群：

(p q) \to (e^{r} 0 0 e^{- r}) (p q) = (e ^{- r} p e ^{r} q) (24.7)

或在基元素 $z, \overline{z}$ 上通过

(z z) \to (cosh r sinh r sinh r cosh r) (z z)

该矩映射满足这些关系

{μ, (z z)} = (0110) (z z) (24.8)

量子化 $gi$ 给出

Γ_{B F}^{'} (μ) = \frac{1}{2} (a^{2} - (a^{†})^{2})

其满足

[\frac{1}{2} (a^{2} - (a^{†})^{2}), (a ^{†} a)] = (0110) (a ^{†} a)

和交织算符

U_{g_{r}} = e^{Γ_{B F}^{'} (r μ)} = e^{\frac{r}{2} (a^{2} - (a^{†})^{2})}

其满足

U_{g_{r}} (a ^{†} a) U_{g_{r}}^{- 1} = e^{r (0110)} (a ^{†} a) = (cosh r sinh r sinh r cosh r) (a ^{†} a) (24.9)

算符 $\frac{1}{2} (a^{2} - (a^{†})^{2})$ 不与粒子数算符 $N_{☉}$ 或谐振子哈密顿算子 $H_{;}$ 对易，因此变换 $U_{g_{τ}}$ 不是“对称变换”，不保持能量特征子空间。特别地，它们非平凡地作用于态 |0⟩，将其变为另一个态

∣0 ⟩_{r} = e^{\frac{r}{2} (a^{2} - (a^{†})^{2})} ∣0 ⟩

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来源版本：2025-10-20

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