24.1 用 a 和 a ^ 表示的 d=1 的metaplectic表示

24.1 用 a 和 a ^ 表示的 d=1 的metaplectic表示

概念链接 · 机器稿中出现的术语；来源角色尚未核验: 李代数 · 李代数表示 · 群表示 · 酉表示 · 不可约表示 · 李群 · 复化

$z$ 与 $\overline{z}$ 的二阶组合的泊松括号，可以利用基本关系 $\{z,\overline{z}\}=i$ 和莱布尼茨法则轻松计算。$\mathrm{On}$ 基元素 $z^2,{\bar{z}}^2$、zz 的非零括号为

$$\{z\overline{z},z^2\}=-2i{z}^2,\{z\overline{z},{\overline{z}}^2\}=2i{\overline{z}}^2,\{{\overline{z}}^2,z^2\}=-4iz\overline{z}$$

回忆方程 16.8 中，$p$ 与 $q$ 的二次实组合可以等同于无迹 2 乘 $2$ 实矩阵的李代数 $\mathfrak{sl}(2,\mathbf{R})$，其基为

$$E=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 0& 0\end{array}\right),F=\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 1& 0\end{array}\right),G=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& -1\end{array}\right)$$

由于我们已经进行了复化，允许基元素的复线性组合，因此 $z$ 与 $z$ 的二次组合属于 $\mathfrak{sl}(2,\mathbf{R})$ 的复化。这就是无迹 $2$ 乘 $2$ 复矩阵构成的李代数 $\mathfrak{sl}(2,\mathbf{C})$。我们可以取 $\mathfrak{sl}(2,\mathbf{C})$ 在复数域上的一组基

$$Z=E-F,X_{\pm }=\frac{1}{2}(G\pm i(E+F))$$

其满足

$$[Z,X_{-}]=-2i{X}_{-},[Z,X_{+}]=2i{X}_{+},[X_{+},X_{-}]=-iZ$$

然后将其用作 $z,\overline{z}$ 中的二次式与 $\mathfrak{sl}(2,\mathbf{C})$ 之间的同构

$$\frac{{\overline{z}}^2}{2}\leftrightarrow X_{+},\frac{z^2}{2}\leftrightarrow X_{-},z\overline{z}\leftrightarrow Z$$

该元素

$$z\overline{z}=\frac{1}{2}(q^2+p^2)\leftrightarrow Z=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ -1& 0\end{array}\right)$$

指数化后给出 a 个 $SL(2,\mathbf{R})$ 的 $SO(2)=U(1)$ 子群，其元素形式为

$$e^{\theta Z}=\left(\begin{array}{cc}\cos \theta & \sin \theta \\ -\sin \theta & \cos \theta \end{array}\right)\text{\hspace{1em}(24.1)}$$

注意，$h=\frac{1}{2}(p^2+q^2)=z\overline{z}$ 是谐振子的经典哈密顿算子。

我们现在可以利用作用在福克空间 $\mathcal{F}.$ 上的湮灭算符和产生算符，对 $z$ 和 $\overline{z}$ 中的二次式进行量子化。对于

$$z^2\to (a^{†}{)}^2=z^2,{\overline{z}}^2\to a^2=\frac{d^2}{d{z}^2}$$

对于 $z\overline{z}(\mathrm{which}$ 为实数的情形，为了使 $\mathfrak{sl}(2,\mathbf{R})$ 对易关系正确得出（特别是泊松括号 $\{{\overline{z}}^2,z^2\}=-4iz\overline{z})$ 2），我们必须取对称组合

$$z\overline{z}\to \frac{1}{2}(a{a}^{†}+a^{†}a)=a^{†}a+\frac{1}{2}=z\frac{d}{dz}+\frac{1}{2}$$

（这当然是量子谐振子的标准哈密顿算子）。

按通常方式乘以−$i$（以得到实李代数$\mathfrak{sl}(2,\mathbf{R}))$的酉表示，即Bargmann-Fock表示${\Gamma }_{BF}^{\prime }$从$h_3$ $\otimes \mathbf{C}$（见第22.4节）到$\mathfrak{sl}(2,\mathbf{C})$表示的延拓），可以通过取

$${\Gamma }_{BF}^{\prime }(X_{+})=-\frac{i}{2}{a}^2,{\Gamma }_{BF}^{\prime }(X_{-})=-\frac{i}{2}(a^{†}{)}^2,{\Gamma }_{BF}^{\prime }(Z)=-i\frac{1}{2}(a^{†}a+a{a}^{†})$$

这是对${\Gamma }_{BF}^{\prime }(Z)$的正确选择，以获得一个$\mathfrak{sl}(2,\mathbf{C})$表示，因为

$$\begin{array}{rl}[{\Gamma }_{BF}^{\prime }(X_{+}),{\Gamma }_{BF}^{\prime }(X_{-})]& =\left[-\frac{i}{2}{a}^2,-\frac{i}{2}(a^{†}{)}^2\right]=-\frac{1}{2}(a{a}^{†}+a^{†}a)\\ & =-i{\Gamma }_{BF}^{\prime }(Z)={\Gamma }_{BF}^{\prime }([X_{+},X_{-}])\end{array}$$

作为$\mathfrak{sl}(2,\mathbf{C})$的实子李代数$\mathfrak{sl}(2,\mathbf{R})$的表示，有（利用$G,E+F,E-F$是$\mathfrak{sl}(2,\mathbf{R}))$的实基这一事实

定义（${ \mathfrak { s l } } ( 2 , \mathbf { R } )

)$的元辛表示。由下式给出的$\mathcal { F }$上的表示$\Gamma _ { B F } ^ { \prime }$

$${\Gamma }_{BF}^{\prime }(G)={\Gamma }_{BF}^{\prime }(X_{+}+X_{-})=-\frac{i}{2}((a^{†}{)}^2+a^2)$$

$${\Gamma }_{BF}^{\prime }(E+F)={\Gamma }_{BF}^{\prime }(-i(X_{+}-X_{-}))=-\frac{1}{2}((a^{†}{)}^2-a^2)\text{\hspace{1em}(24.2)}$$ $${\Gamma }_{BF}^{\prime }(E-F)={\Gamma }_{BF}^{\prime }(Z)=-i\frac{1}{2}(a^{†}a+a{a}^{†})$$

是 $\mathfrak{sl}(2,\mathbf{R})$ 的一个表示，称为辛表示。

注意，这显然是一个酉表示，因为所有算符都是斜伴随的（利用 a 和 $a^{†}$ 互为伴随这一事实）。

这个在 $\mathcal{F}$ 上的表示 ${\Gamma }_{BF}^{\prime }$ 将通过 Bargmann 变换（见 $23.5)$ 节）与先前在把 $q^2,p^2,pq$ 量子化为 $\mathcal{H}=L^2(\mathbf{R})$ 上的算符时得到的 Schr¨odinger 表示 ${\Gamma }_S^{\prime }$ 酉等价。然而，在许多用途中，使用它要容易得多，因为它可以作为量子谐振子的态空间来研究，而量子谐振子带有一组作为数算符 $a^{†}a$ 的特征向量的基。李代数通过湮灭算符和产生算符的二次表达式简单地作用在这样的特征向量上。

现在容易看出的一点是，这个表示 ${\Gamma }_{BF}^{\prime }$ 不能积分成群 $SL(2,\mathbf{R})$ 的一个表示。如果李代数表示 ${\Gamma }_{BF}^{\prime }$ 来自 $SL(2,\mathbf{R})$ 的一个李群表示 ${\Gamma }_{BF}$ ，那么我们有

$${\Gamma }_{BF}(e^{\theta Z})=e^{\theta {\Gamma }_{BF}^{\prime }(Z)}$$

其中

$${\Gamma }_{BF}^{\prime }(Z)=-i\left(a^{†}a+\frac{1}{2}\right)=-i\left(N+\frac{1}{2}\right)$$

因此

$${\Gamma }_{BF}(e^{\theta Z})|n⟩=e^{-i\theta (n+\frac{1}{2})}|n⟩$$

取 $\theta =2\pi$，这便产生了一个不一致。

$${\Gamma }_{BF}(1)|n⟩=-|n⟩$$

这是首次在 17.1 节的薛定谔表示语境中描述的同一现象。

正如那里所述，这与我们研究李代数 $\mathfrak{so}(3)$ 的旋量表示时遇到的问题属于同一类。正如那种情形一样，该问题表明我们需要考虑的不是群 $SL(2,\mathbf{R})$ ，而是一个双重覆盖，即辛群 $\mathcal{M}p(2,\mathbf{R})$ 。这里的行为比 $Spin(3)$ 双重覆盖的情形要微妙得多；在那种情形中，$Spin(3)$ 就是群 $SU(2)$ 2，并且从拓扑上看，$SO(3)$ 的唯一非平凡覆盖是 $Spin(3)$ 覆盖，因为 ${\pi }_1(SO(3))={\mathbf{Z}}_2$ 。这里 ${\pi }_1(SL(2,\mathbf{R}))=\mathbf{Z}.$ ，并且每当绕我们所考察的 $U(1)$ 子群多转一圈，就会在该群中得到一个拓扑上不同的不可收缩环路。因此，$SL(2,\mathbf{R})$ 有许多非平凡覆盖群，其中我们只对其中一个感兴趣，即双重覆盖 $\mathcal{M}p(2,\mathbf{R})$ 。特别地，存在一个无限叶的万有覆盖 $SL(2,\mathbf{R})$ ，但它在本文中不起作用。

题外话。这个群 $\mathcal{M}p(2,\mathbf{R})$ 相当不寻常，因为它是有限维李群，却没有任何作为有限维矩阵群的描述。这是由于它的所有有限维不可约表示都与 $SL(2,\mathbf{R})$ 的相同，而后者具有相同的李代数（这些是二元齐次多项式上的表示，即第 8 章中最早研究的那些，它们是 $SL(2,\mathbf{C})$ 表示，可限制到 $SL(2,\mathbf{R}))$ 。这些有限维表示通过 SL(2, $R$) 分解，因此它们的矩阵不区分 Mp(2, $R$) 中作为 $SL(2,\mathbf{R})$ 元素相对应的两个不同元素。

$\mathcal{M}p(2,\mathbf{R})$ 本身没有忠实的有限维表示，因而无法用矩阵群来识别 $M$ $p$(2, $R$)。唯一可用的忠实不可约表示正是我们正在研究的无限维表示。注意，缺少矩阵描述意味着，在这种情况下，我们以矩阵指数给出的李代数定义并不适用。以群在单位元处的切空间来给出群的李代数的更一般的几何定义则适用，尽管要做到这一点，实际上需要构造双覆盖 $\mathcal{M}p(2,\mathbf{R})$，而这相当不平凡，此处不做。对于纯

李代数计算，因为 $\mathcal{M}p(2,\mathbf{R})$ 和 $SL(2,\mathbf{R})$ 的李代数可以等同。

在Bargmann-Fock构造中相对容易看到的metaplectic表示的另一个方面是，状态空间$\mathcal{F}$不是不可约表示，而是两个不可约表示的和

$$\mathcal{F}={\mathcal{F}}_{even}\oplus {\mathcal{F}}_{odd}$$

其中 ${\mathcal{F}}_{even}$ 由 $z$ 的偶函数与 $z,{\mathcal{F}}_{odd}$ 的奇函数组成。在数本征态的有限和构成的子空间 ${\mathcal{F}}^{fin}\subset \mathcal{F}$ 上，这些分别是偶次和奇次多项式。由于李代数表示的生成元是湮灭算符与产生算符的二次组合，它们将偶函数映为偶函数，将奇函数映为奇函数。这两部分各自的不可约性源于以下事实：当 $n$ 与 $m$ 具有相同奇偶性时，通过反复应用李代数表示算符，可以从态 $|n⟩$ 得到任意另一个态 $|m⟩$。

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