25.3 元辛表示与 U(d) Sp(2d, R)

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转向量子化问题，我们希望将相空间上复坐标二次组合的量子化讨论从第24章的 $d = 1$ 情形推广到一般情形。对于任意 $j, k$ ，可以取

\overline{z}_{j} \overline{z}_{k} \to - i a_{j} a_{k}, z_{j} z_{k} \to - i a_{j}^{†} a_{k}^{†}

由 $z_{j}$ 坐标对或 $\overline{z}_{j}$ 坐标对给出的两个子代数的量子化不存在歧义，因为产生算符彼此对易，湮灭算符也彼此对易。

若 $j \neq =$ $k$ ，则可以通过取

z_{j} \overline{z}_{k} \to - i a_{j}^{†} a_{k} = - i a_{k} a_{j}^{†}

并且再次不存在排序歧义。如果 $j = k$ ，如同 $d = 1$ 情形一样，需要做出一个选择。一种可能是取

z_{j} \overline{z}_{j} \to - i \frac{1}{2} (a_{j} a_{j}^{†} + a_{j}^{†} a_{j}) = - i (a_{j}^{†} a_{j} + \frac{1}{2})

它将具有适当的 sp $(2 d, R)$ 对易关系（特别是对于 $a_{j}^{2}$ 与 $(a_{j}^{†})^{2})$ 的对易子），但需要转到双覆盖才能得到该群的一个真实表示。因此，Bargmann-Fock 构造给出了 $u (d)$ 在 Fock 空间 $F_{d},$ 上的一个酉表示，但在取指数之后，这不是群 $U (d)$ 的表示，而是我们称为 $U (d)$ 的一个双覆盖的表示

人们也可以改用正规序算符进行量子化，取

z_{j} \overline{z}_{j} \to - i a_{j}^{†} a_{j}

24.3 节中正规序的定义可以简单地推广，因为具有不同 $j$ 值的湮灭算符和产生算符的次序无关紧要。使用这种正规序选择，Bargmann-Fock 表示的通常量子化算符对每个 $j,$ 都平移一个标量 $\frac{1}{2}$ ，并且在取指数之后，态空间 $H = F_{d}$ 给出 $U (d)$ 的一个表示，而不需要双覆盖。然而作为 a $u (d)$ 表示，这并不能延拓为 $sp (2 d, R)$ 的一个表示，因为 $a_{j}^{2}$ 与 $(a_{j}^{†})^{2}$ 的对易可能使人落到未平移的算符上。

由于正规序不改变形如 $a_{j}^{†} a_{k},$ 的乘积所满足的对易关系， $μ_{A}$ 的二次表达式可以用正规序量子化，并得到 $a_{j}, a_{k}^{†}$ 的二次组合，其具有与定理 25.1 中相同的对易关系。令

U_{A}^{'} = j, k \sum a_{j}^{†} A_{j k} a_{k} (25.6)

我们有

定理

25.2。对于 $A \in gl (d, C)$ ，a 为 $d$ 阶 $d$ 复矩阵
$[U_{A}^{'}, U_{A^{'}}^{'}] = U_{[A, A^{'}]}^{'}$
因此
$A \in gl (d, C) \to U_{A}^{'}$

是 $gl (d, C)$ 在 $H = C [z_{1}, \dots, z_{d}]$ 上的一个李代数表示，即 $d$ 个自由度中的谐振子态空间。

此外（对于具有分量 $a_{1}, \dots, a_{d})$ 的列向量 $a$

[U_{A}^{'}, a^{†}] = A^{T} a^{†}, [U_{A}^{'}, a] = - A a (25.7)

证明。本质上与25.1相同的证明。

对于 $A \in u (d)$ ， $u (d)$ 的李代数表示 $U_{A}^{'}$ 通过指数化给出 $U (d)$ 在 $H = C [z_{1}, \dots, z_{d}]$ 上的算符表示

U_{e^{A}} = e^{U_{A}^{'}}

这些满足

U_{e^{A}} a^{†} (U_{e^{A}})^{- 1} = e^{A^{T}} a^{†}, U_{e^{A}} a (U_{e^{A}})^{- 1} = e^{\overline{A^{T}}} a (25.8)

（关系 25.7 是这些的导数）。这表明 $U_{e^{A}}$ 是 a $U (d)$ 在湮灭算符与产生算符上的作用的交织算符，且保持正则对易关系。这里使用正规序算符意味着 $U_{A}^{'}$ 是 $u (d)$ 的一个表示，它与元plectic表示相差一个常数，而 $U_{e^{ι}}$ $A$ 相差一个相位因子。这不影响与 $U_{A}^{'}$ 的对易关系或 $U_{e^{A}}$ 的共轭作用。以这种方式构造的表示与元plectic表示有两点不同。它作用在同一个空间 $H = F_{d}$ 上，但它是 $U (d)$ 的一个真实表示，不需要双覆盖。它也不延拓为更大群 Sp(2d, $R$ ) 的表示。

算符 $U_{A}^{'}$ 与 $U_{e^{A}}$ 与谐振子的哈密顿算符（方程 25.5 的量子化）对易。这对物理学家颇为有用，因为它将能量本征态分解为 $U (d)$ 的不可约表示。对数学家而言，量子谐振子态空间通过考虑给定能量的能量本征态，给出了 $U (d)$ 的一大类不可约表示的构造。

来源与版本

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来源版本：2025-10-20

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