27.1 正则反交换关系与费米子振子

概念链接 · 机器稿中出现的术语；来源角色尚未核验: 向量空间 · 特征值 · 不可约表示 · 泡利矩阵

回忆一下， $d$ 个自由度中量子谐振子系统的哈密顿算子（设定 $ℏ = m = ω = 1)$ 为

H = j = 1 \sum d \frac{1}{2} (Q_{j}^{2} + P_{j}^{2})

并且可以通过引入由算符定义的粒子数算符 $N_{j} = a_{j}^{†} a_{j}$ 来将其对角化

a_{j} = \frac{1}{2} (Q_{j} + i P_{j}), a_{j}^{†} = \frac{1}{2} (Q_{j} - i P_{j})

满足所谓正则对易关系（CCR）

[a_{j}, a_{k}^{†}] = δ_{j k} 1, [a_{j}, a_{k}] = [a_{j}^{†}, a_{k}^{†}] = 0

谐振子问题中从玻色子过渡到费米子的简单改变，是将玻色子湮灭算符和产生算符（我们现在将其记作 $a_{B}$ 和 $a_{B}^{†})$ ）替换为称为 $a_{F}$ 和 $a_{F}^{†}$ 的费米子湮灭算符和产生算符，并将对易子替换为

[A, B] \equiv A B - B A

算符的由反对易子

[A, B]_{+} \equiv A B + B A

交换关系现在为（对于 $d = 1$ ，即一个自由度）

[a_{F}, a_{F}^{†}]_{+} = 1, [a_{F}, a_{F}]_{+} = 0, [a_{F}^{†}, a_{F}^{†}]_{+} = 0

最后两个关系蕴含 $a_{F}^{2} = 0$ 和 $(a_{F}^{†})^{2} = 0$

费米子数算符

N_{F} = a_{F}^{†} a_{F}

现在满足

N_{F}^{2} = a_{F}^{†} a_{F} a_{F}^{†} a_{F} = a_{F}^{†} (1 - a_{F}^{†} a_{F}) a_{F} = N_{F} - a_{F}^{† 2} a_{F}^{2} = N_{F}

（利用 $a_{F}^{2} = a_{F}^{†}^{2} = 0)$ 这一事实。于是有

N_{F}^{2} - N_{F} = N_{F} (N_{F} - 1) = 0

这意味着 $N_{F}$ 的特征值恰好为0和1。我们将具有此类特征值的特征向量记为|0⟩和|1⟩。算符 $a_{F}$ 和 $a_{F}^{†}$ 在复向量空间 $H_{F}$ 上的最简单表示将在 $C^{2}$ 上，并选择基

∣0 ⟩ = (1 0), ∣1 ⟩ = (0 1)

这些算符表示为

a_{F} = (0100), a_{F}^{†} = (0010), N_{F} = (1000)

由于

H = \frac{1}{2} (a_{F}^{†} a_{F} + a_{F} a_{F}^{†})

只是 $\frac{1}{2}$ 是恒等算符，为了得到一个非平凡的量子系统，我们改为改变一个符号并设定

H = \frac{1}{2} (a_{F}^{†} a_{F} - a_{F} a_{F}^{†}) = N_{F} - \frac{1}{2} 1 = (\frac{1}{2} 0 0 - \frac{1}{2})

能量本征态 |0⟩ 和 |1⟩ 的能量因此将为 $\pm \frac{1}{2}$ ，因为

H ∣0 ⟩ = - \frac{1}{2} ∣0 ⟩, H ∣1 ⟩ = \frac{1}{2} ∣1 ⟩

注意，我们这里所构造的量子系统不过是我们第三章中的老朋友——二态系统。取算符的复线性组合

a_{F}, a_{F}^{†}, N_{F}, 1

我们 $get$ $H_{F} = C^{2}$ 的所有线性变换（因此这是这些算符的代数的一个不可约表示）。与泡利矩阵的关系是

a_{F}^{†} = \frac{1}{2} (σ_{1} + i σ_{2}), a_{F} = \frac{1}{2} (σ_{1} - i σ_{2}), H = \frac{1}{2} σ_{3}

来源与版本

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来源版本：2025-10-20

来源 PDF SHA-256：5a1941b2443b54d5db3d055f1e5ba390429b7a728475258017aaac87ee85a837

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