自旋表示 (spin representation)

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Woit · 2025-10-20

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来源短摘录与定位

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$\mathrm{SU}(2)$ 的自旋表示(spin representation)并不是 $\mathrm{SO}(3)$ 的表示。映射 $\Phi :\mathrm{SU}(2)\to \mathrm{SO}(3)$ 是一个二重覆盖(double cover)，也是一个群同态(group homomorphism)；因此，将 $\mathrm{SO}(3)$ 的任一表示 $(\pi ,V)$ 与 $\Phi$ 复合，就得到 $\mathrm{SU}(2)$ 的表示 $(\pi \circ \Phi ,V)$。反过来则不能这样构造：不存在同态 $\mathrm{SO}(3)\to \mathrm{SU}(2)$，能把 $\mathrm{SU}(2)$ 在 ${\mathbf{C}}^2$ 上的自旋表示变成 $\mathrm{SO}(3)$ 的表示。

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从这个意义上说，自旋表示(spin representation)比向量表示(vector representation)更为基本：仅凭向量表示无法确定自旋表示，而已知 $\mathrm{SU}(2)$ 的旋量表示，则可以构造出 $\mathrm{SO}(3)$ 的向量表示。我们通过把 ${\mathbb{R}}^3$ 与 $2\times 2$ 复矩阵空间对应起来，看到了这一点：方程 6.5 表明，${\mathbb{R}}^3$ 中的旋转对应于旋量表示矩阵的共轭作用。另一种说明方式用到张量积，见第 9.4.3 节。把旋量视为基本对象，意味着不再只用实数来描述三维几何。向量表示是 $\mathrm{SO}(3)$ 或 $\mathrm{Spin}(3)$ 的实表示，而旋量表示是复表示。

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原文中已定位的引用（不自动视为依赖）

• [方程 6.5](../chapter-06/02-spin-groups-in-three-and-four-dimensions#equation-6-5)
• [第 9.4.3 节](../chapter-09/04-tensor-products-of-representations#section-9-4-3)
• [equation 6.5](../chapter-06/02-spin-groups-in-three-and-four-dimensions#equation-6-5)
• [section 9.4.3](../chapter-09/04-tensor-products-of-representations#section-9-4-3)

来源覆盖、定位与记录

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