7.1 旋量表示

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在第6章中，我们非常详细地考察了群 $S O (3), S U (2)$ 和 $S p (1)$ 的某个特定的三维不可约实表示的多种观察方式。这就是这三个群的伴随表示，并且同构于 $S O (3)$ 的向量表示。在 $S U (2)$ 和 $S p (1)$ 的情形中，存在一个比伴随表示更简单的非平凡不可约表示： $S U (2)$ 中的2乘2复矩阵通过矩阵乘法作用在列向量 $C^{2}$ 上的表示，或者 $S p (1)$ 中的单位四元数通过标量乘法作用在 $H$ 上的表示。选取一个等同 $C^{2} = H$ ，这些就是同构群在 $C^{2}$ 上的同构表示，并且为了计算上的方便，我们将使用 $S U (2)$ 及其复矩阵，而不是处理四元数。于是我们有：

定义（旋量表示）

$S p in (3) =$ $S U (2)$ 的旋量表示是在 $C^{2}$ 上由下式给出的表示：
$g \in S U (2) \to π_{s p in or} (g) = g$

表示空间 $C^{2}$ 的元素称为“旋量”。

$S U (2)$ 的自旋表示不是 $S O (3)$ 的表示。双重覆盖映射 $Φ : S U (2) S O (3)$ 是同态，因此给定 $S O (3)$ 的一个表示 $(π, V)$ ，通过复合就得到 $S U (2)$ 的一个表示 $(π \circ Φ, V)$ 。反方向则不能 $_{go}$ ：不存在同态 $S O (3) S U (2)$ ，使得能够将 $S U (2)$ 在 $C^{2}$ 上的自旋表示变成 $S O (3)$ 的表示。

人们可以尝试通过以下方式定义 $S O (3)$ 的一个表示：

g \in S O (3) \to π (g) = π_{s p in or} (\tilde{g}) \in S U (2)

其中 $\tilde{g}$ 是满足 $Φ (\tilde{g}) = g$ 的两个元素 $\tilde{g} \in S U (2)$ 中某一个的某种选择。问题在于，这不会恰好给出一个同态。改变 $\tilde{g}$ 的选择会引入一个负号，因此 $π$ 只能是一个差一个符号的同态。

π (g_{1}) π (g_{2}) = \pm π (g_{1} g_{2})

双覆盖映射 $Φ$ 的非平凡性质意味着，无论怎样选择 $\tilde{g}$ ，都无法完全消除所有负号（因为对于 $S O (3))$ 中不可收缩环路内的所有 $g$ ，不可能连续地选择 $\tilde{g}$ ）。像这样仅在一个符号歧义的意义下满足表示性质的例子，被称为“射影表示”。 $So$ ， $S U (2) = S p in (3)$ 的旋量表示可用于构造 $S O (3)$ 的射影表示，但不能构造 $S O (3)$ 的真正表示。

量子力学教材有时通过指出在 $H,$ 中指定物理态的方式存在歧义来处理这一现象，因为将 $H$ 中的向量乘以一个标量不会改变算符的特征值或观测到这些特征值的相对概率。因此，上述符号歧义没有物理效应，因为可以说人们应当处理模去标量歧义的态。不过，更直接的做法似乎是不尝试使用射影表示，而只是使用更大的群 $S p in (3)$ ，并接受这正是反映旋转对三维量子系统作用的正确群。

旋量表示比向量表示更为基本，因为仅知道向量表示无法得到旋量表示，但若知道 $S U (2)$ 的旋量表示，就可以构造出 $S O (3)$ 的向量表示。我们通过将 $R^{3}$ 与 2 乘 2 复矩阵等同起来看到了这一点，其中方程 6.5 表明 $R^{3}$ 的旋转对应于旋量表示矩阵的共轭。另一种看待这一点的方法使用张量积，并在 9.4.3 节中解释。注意，将旋量视为基本对象意味着放弃纯粹用实数来描述三维几何。虽然向量表示是 $S O (3)$ 或 $S p in (3)$ 的实表示，但旋量表示是复表示。

来源与版本

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原书 PDF · 印刷页 75、76、77、78、79、80、81、82、83、84、85、86、87、88

来源版本：2025-10-20

来源 PDF SHA-256：5a1941b2443b54d5db3d055f1e5ba390429b7a728475258017aaac87ee85a837

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