13.2 展开定理

English

子空间

希尔伯特空间$\mathcal{H}$的子空间(subspace)$V$是依范数拓扑闭的向量子空间。因为一个向量子空间为了是闭的我们要求$V$中每个向量序列的极限还属于$V$，

$$u_1,u_2,...\to u\text{且所有的}{u}_n\in V⟹u\in V$$

如果$V$是$\mathcal{H}$的任意向量子空间，其闭包(closure)$\overline{V}$是最小包含$V$的子空间，是全体包含$V$的子空间的交集。

若$K$是$\mathcal{H}$的任意子集，那么，就像第三章我们做的那样，由$K$生成的向量子空间是

$$L(K)=\left\{\sum _{i=1}^n{\alpha }^i{u}_i\mid {\alpha }^i\in \mathbb{C},u_i\in K\right\}$$

但由$K$生成的子空间(subspace generated by)总指由$K$生成的闭子空间$\overline{L(K)}$。当有一个可数集$K=\{u_1,u_2,...\}$使得$\mathcal{H}$是由$K$生成的

$$\mathcal{H}=\overline{L(K)}=\overline{L(u_1,u_2,...)}$$

那我们称这个希尔伯特空间称为可分的(separable)

正交标准基

如果希尔伯特空间$\mathcal{H}$是可分的而且由$\{u_1,u_2,...\}$生成，我们需要使用施密特正交化过程(见5.2节)来产生一组正交标准基$\{e_1,e_2,...,e_n\}$

$$⟨e_i\mid e_j⟩={\delta }_{ij}=\{\begin{array}{ll}1& \text{ if }i=j\\ 0& \text{ if }i\ne j\end{array}$$

这些过程的步骤是

$$\begin{array}{ll}{f}_1=u_1& e_1=f_1/\Vert f_1\Vert \\ f_2=u_2-⟨e_1\mid u_2⟩e_1& e_2=f_2/\Vert f_2\Vert \\ f_3=u_3-⟨e_1\mid u_3⟩e_1-⟨e_2\mid u_3⟩e_2& e_3=f_3/\Vert f_3\Vert ,\text{ etc. }\end{array}$$

从中可以看出每个$u_n$都是都可以是$\{e_1,e_2,...,e_n\}$的一个线性组合，于是又$\mathcal{H}=\overline{L(\{e_1,e_2,\dots \})}$，集合$\{e_n|n=1,2,...\}$称为$\mathcal{H}$的完备正交标准集(complete orthonormal set)或正交标准基(orthonormal basis)

定理 13.2 · 正交标准基展开定理 (Expansion in an orthonormal basis)

$\mathcal{H}$是可分的希尔伯特空间且$\{e_1,e_2,...\}$是一个完备正交标准集，那么任意向量$u\in \mathcal{H}$有唯一展开

$$u=\sum _{n=1}^{\infty }{c}_n{e}_n\text{其中}{c}_n=⟨e_n\mid u⟩\text{\hspace{1em}(13.4)}$$

这意味着定理中的和是

$$\Vert u-\sum _{n=1}^N{c}_n{e}_n\Vert \to 0\text{当}N\to \infty \text{时}$$

证明需要用到贝塞尔不等式(Bessel’s inequality):

$$\sum _{n=1}^N{\left|⟨e_n\mid u⟩\right|}^2\le {\Vert u\Vert }^2\text{\hspace{1em}(13.5)}$$

证明

对于任意 $N>1$

$$\begin{array}{l}0\le {\Vert u-{\sum }_{n=1}^N⟨e_n|u⟩e_n\Vert }^2\\ =⟨u-{\sum }_n⟨e_n|u⟩e_n|u-{\sum }_m⟨e_m|u⟩e_m⟩\\ =\Vert u{\Vert }^2-2{\sum }_{n=1}^N\overline{⟨e_n|u⟩}⟨e_n|u⟩+{\sum }_{n=1}^N{\sum }_{m=1}^N\overline{⟨e_n|u⟩}{\delta }_{mn}⟨e_m|u⟩\\ =\Vert u{\Vert }^2-{\sum }_{n=1}^N|⟨e_n|u⟩{|}^2,\end{array}$$

由此得到所需的不等式。

在贝塞尔不等式式 (13.5) 中取极限 $N\to \infty$，表明该级数

$$\sum _{n=1}^{\infty }{\left|⟨e_n|u⟩\right|}^2$$

有上界，因此收敛，因为它完全由非负项组成。为证明展开定理13.2，我们首先展示两个引理。

引理 13.3 · 内积对单个变量的连续性 (Continuity of the inner product in one variable)

在希尔伯特空间中$\mathcal{H}$，如果$v_n\to v$，那么对所有向量$u\in \mathcal{H}$

$$⟨u\mid v_n⟩\to ⟨u\mid v⟩$$

证明

由柯西–施瓦茨不等式（5.13）

$$\begin{array}{l}|⟨u|v_n⟩-⟨u|v⟩|=|⟨u|v_n-v⟩|\\ \le \Vert u\Vert \Vert v_n-v\Vert \\ \to 0\end{array}$$

引理 13.4 · 完备正交标准集的正交判别 (Orthogonality criterion for a complete orthonormal set)

如果$\{e_1,e_2,...\}$是一个完备正交标准集且对$n=1,2,...$有$⟨v\mid e_n⟩=0$，则$v=0$

证明

由于 $\{e_n\}$ 是完备正交归一集合，每个向量 $v\in \mathcal{H}$ 都是 $\{e_1,e_2,\dots \}$ 所张成的向量序列的极限。

$$v=\underset{n\to \infty }{\lim }{v}_n\text{ where }{v}_n=\sum _{i=1}^N{v}_{ni}{e}_i.$$

在引理13.3中令$u=v$，我们有

$$\Vert v{\Vert }^2=⟨v|v⟩=\underset{n\to \infty }{\lim }⟨v|v_n⟩=0.$$

因此，由条件 (Norm1) 可得 $v=0$。

正交展开的证明

集合

$$u_N=\sum _{n=1}^N⟨e_n|u⟩e_n.$$

这是一个柯西序列，

$${\Vert u_N-u_M\Vert }^2=\sum _{n=M}^N{\left|⟨e_n\mid u⟩\right|}^2\to 0\text{ as }M,N\to \infty$$

由于由贝塞尔不等式式 (13.5)，级数 ${\sum }_n{\left|⟨e_n\mid u⟩\right|}^2$ 绝对收敛。由希尔伯特空间的完备性，$u_N\to u^{\prime }$ 对某个向量 $u^{\prime }\in \mathcal{H}.$。但

$$⟨e_k|u-u^{\prime }⟩=\underset{N\to \infty }{\lim }⟨e_k|u-u_N⟩=⟨e_k|u⟩-e_{k}u=0$$

因为对于所有 $N\ge k$ 都有 $⟨e_k\mid u_N⟩=⟨e_k\mid u⟩$。因此，根据引理 13.4，

$$u=u^{\prime }=\underset{N\to \infty }{\lim }{u}_N,$$

定理 13.2 得证。

随文练习

证明每个可分的希尔伯特空间要么是有限维的内积空间，要么同构于${\ell }^2$

例 13.5

对于任意实数$a<b$，希尔伯特空间$L^2([a,b])$是可分的，这里只给出一个提纲挈领的证明，具体细节可以看[1]：由定理11.2任意$[a,b]$上的正可测函数$f\ge 0$可以被一个正的简单函数增序列所逼近$0<s_n(x)\to f(x)$，若$f\in {\mathcal{L}}^2([a,b])$那么由于控制收敛定理(定理11.11),$\Vert f-s_n\Vert \to 0$。我们使用一个简单但却带技术性的观点，这些简单函数也可以被连续函数逼近，而且可以证明对于任意$ϵ>0$，存在一个正的连续函数$h(x)$使得$\Vert f-h\Vert <ϵ$。使用著名的魏尔斯特拉斯定理：任意闭区间上的连续函数可以被多项式任意逼近，所以我们可以找一个复值多项式$p(x)$使$\Vert f-p\Vert <ϵ$，因为所有多项式都有形式 $p(x)=c_0+c_{1}x+c_2{x}^2+...+c_n{x}^n$其中$c\in \mathbb{C}$函数$1,x,x^2...$也就组成了$[a,b]$上的可数函数序列，而且可以生成$L^2[a,b]$，这就证明了$L^2[a,b]$的可分性。

$L^2(\mathbb{R})$的可分性可以由受限多项式函数$f_{n,N}=x^n{\chi }_{[-N,N]}$是一个可数集且生成$L^2(\mathbb{R})$证明

例 13.6

在$L^2([-\pi ,\pi ])$，函数

$${\varphi }_n(x)=\frac{{\mathrm{e}}^{inx}}{\sqrt{2\pi }}$$

形成一组正交基

$$⟨{\varphi }_m\mid {\varphi }_n⟩=\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }{\mathrm{e}}^{i(n-m)x}\mathrm{d}x={\delta }_{mn}$$

只需考虑两种情况$n\ne m$和$n=m$就可以简单计算出上式，这生成了任意在$[-\pi ,\pi ]$上平方可积函数的傅里叶级数，

$$f=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{c}_n{\varphi }_{n}a.e.$$

其中$c_n$是傅里叶系数

$$c_n=⟨{\varphi }_n\mid f⟩=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{\int }_{-\pi }^{\pi }{\mathrm{e}}^{-inx}f(x)\mathrm{d}x$$

例 13.7

厄米多项式(Hermite polynomials)$H_n(x)(n=0,1,2,...)$定义成

$$H_n(x)=(-1{)}^n{\mathrm{e}}^{x^2}\frac{{\mathrm{d}}^n{\mathrm{e}}^{-x^2}}{\mathrm{d}{x}^n}$$

前几项是

$$H_0(x)=1,H_1(x)=2x,H_2(x)=4x^2-2,H_3(x)=8x^3-12x,\dots$$

第 $n$ 项的表达式显然具有首项$(-2x{)}^n$，函数${\psi }_n=e^{-(1/2)x^2}{H}_n(x)$形成一个$L^2(\mathbb{R})$的正交系统:

$$\begin{array}{rl}⟨{\psi }_m\mid {\psi }_n⟩=& (-1{)}^{n+m}{\int }_{-\infty }^{\infty }{\mathrm{e}}^{x^2}\frac{{\mathrm{d}}^m{\mathrm{e}}^{-x^2}}{\mathrm{d}{x}^m}\frac{{\mathrm{d}}^n{\mathrm{e}}^{-x^2}}{\mathrm{d}{x}^n}\mathrm{d}x\\ =& (-1{)}^{n+m}({\left[{\mathrm{e}}^{x^2}\frac{{\mathrm{d}}^m{\mathrm{e}}^{-x^2}}{\mathrm{d}{x}^m}\frac{{\mathrm{d}}^{n-1}{\mathrm{e}}^{-x^2}}{\mathrm{d}{x}^{n-1}}\right]}_{-\infty }^{\infty }\\ & -{\int }_{-\infty }^{\infty }\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left({\mathrm{e}}^{x^2}\frac{{\mathrm{d}}^m{\mathrm{e}}^{-x^2}}{\mathrm{d}{x}^m}\right)\frac{{\mathrm{d}}^{n-1}{\mathrm{e}}^{-x^2}}{\mathrm{d}{x}^{n-1}}\mathrm{d}x)\end{array}$$

在分部积分下，右手第一项消失因为当$x\to \pm \infty$时因子$e^{-x^2}{x}^k$趋于零，我们可以重复分部积分过程，直到

$$⟨{\psi }_m\mid {\psi }_n⟩=(-1{)}^m{\int }_{-\infty }^{\infty }{\mathrm{e}}^{-x^2}\frac{{\mathrm{d}}^n}{\mathrm{d}{x}^n}\left({\mathrm{e}}^{x^2}\frac{{\mathrm{d}}^m{\mathrm{e}}^{-x^2}}{\mathrm{d}{x}^m}\right)\mathrm{d}x$$

当$n>m$时消失因为括号内是一个$m$次多项式，$n<m$同理，于是导致

$$⟨{\psi }_m\mid {\psi }_n⟩=0\text{当}n\ne m\text{时}$$

对于$m=n$的情形，由厄米多项式的首项

$$\begin{array}{rl}{\Vert {\psi }_n\Vert }^2=⟨{\psi }_n\mid {\psi }_n⟩& =(-1{)}^n{\int }_{-\infty }^{\infty }{\mathrm{e}}^{-x^2}\frac{{\mathrm{d}}^n}{\mathrm{d}{x}^n}\left({\mathrm{e}}^{x^2}\frac{{\mathrm{d}}^n{\mathrm{e}}^{-x^2}}{\mathrm{d}{x}^n}\right)\mathrm{d}x\\ & =(-1{)}^n{\int }_{-\infty }^{\infty }{\mathrm{e}}^{-x^2}\frac{{\mathrm{d}}^n}{\mathrm{d}{x}^n}\left((-2x{)}^n\right)\mathrm{d}x\\ & =2^{n}n!{\int }_{-\infty }^{\infty }{\mathrm{e}}^{-x^2}\mathrm{d}x\\ & =2^{n}n!\sqrt{\pi }\end{array}$$

于是函数

$${\varphi }_n(x)=\frac{e^{-(1/2)x^2}}{\sqrt{2^{n}n!\sqrt{\pi }}}{H}_n(x)\text{\hspace{1em}(13.6)}$$

形成一个正交标准集，由魏尔斯特拉斯定理它们也形成一组$L^2(\mathbb{R})$上的完备的正交标准($o.n.$)基。

下面这个引理13.3的推广也很有用

引理 13.5 · 内积的联合连续性 (Joint continuity of the inner product)

若$u_n\to u$而且$v_n\to v$，那么$⟨u_n\mid v_n⟩\to ⟨u\mid v⟩$

证明

使用柯西-施瓦茨不等式5.13

$$\begin{array}{rl}\left|⟨u_n\mid v_n⟩-⟨u\mid v⟩\right|& =\left|⟨u_n\mid v_n⟩-⟨u_n\mid v⟩+⟨u_n\mid v⟩-⟨u\mid v⟩\right|\\ & \le \left|⟨u_n\mid v_n⟩-⟨u_n\mid v⟩\right|+\left|⟨u_n\mid v⟩-⟨u\mid v⟩\right|\\ & \le \Vert u_n\Vert \Vert v_n-v\Vert +\Vert u_n-u\Vert \Vert v\Vert \\ & \to \Vert u\Vert \cdot 0+0\cdot \Vert v\Vert \to 0\end{array}$$

随文练习

如果$u_n\to u$，证明$\Vert u_n\Vert \to \Vert u\Vert$，最后一步使用上面的证明。

下面的恒等式在量子力学中广为应用

定理 13.6 · 帕塞瓦尔恒等式 (Parseval’s identity)

$$⟨u\mid v⟩=\sum _{i=1}^{\infty }⟨u\mid e_i⟩⟨e_i\mid v⟩\text{\hspace{1em}(13.7)}$$

证明

用定理13.2，$n\to \infty$时，$u_n\to u$而且$v_n\to v$，使用引理13.5

$$\begin{array}{rl}⟨u\mid v⟩& =\underset{n\to \infty }{\lim }⟨u_n\mid v_n⟩\\ & =\underset{n\to \infty }{\lim }\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^n\overline{⟨e_i\mid u⟩}⟨e_j\mid v⟩⟨e_i\mid e_j⟩\\ & =\underset{n\to \infty }{\lim }\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^n⟨u\mid e_i⟩⟨e_j\mid v⟩{\delta }_{ij}\\ & =\underset{n\to \infty }{\lim }\sum _{i=1}^n⟨u\mid e_i⟩⟨e_i\mid v⟩\\ & =\sum _{i=1}^{\infty }⟨u\mid e_i⟩⟨e_i\mid v⟩\end{array}$$

对于一个$[-\pi ,\pi ]$上的函数$f(x)={\sum }_{n=-\infty }^{\infty }{c}_n{\varphi }_n$，其中${\varphi }_n(x)$是例子13.6的标准傅里叶函数，帕塞瓦尔恒等式变成广为人知的等式

$$\Vert f{\Vert }^2={\int }_{-\pi }^{\pi }|f(x){|}^2\mathrm{d}x=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\left|c_n\right|}^2.$$

习题

习题 13.4

证明：向量子空间关于范数拓扑是闭子集，当且仅当 $V$ 中每个向量序列的极限都属于 $V$。

习题 13.5

设 ${\ell }_0$ 为 ${\ell }^2$ 中仅含有限多个非零项的序列构成的子集。证明 ${\ell }_0$ 是 ${\ell }^2$ 的向量子空间，但它不是闭的。它的闭包 $\overline{{\ell }_0!}$ 是什么

习题 13.6

我们说序列 $\{x_n\}$ 弱收敛于希尔伯特空间 $\mathcal{H},$ 中的点 $x$，记作 $x_{n}x\mathrm{if}⟨x_n|y⟩\to ⟨x|y⟩$ 对所有 $y\in \mathcal{H}$ 成立。证明每个强收敛序列 $\Vert x_n-x\Vert \to$ 0 都弱收敛于 $x$。在有限维希尔伯特空间中，证明每个弱收敛序列都强收敛。

给出一个例子，其中 $x_n\to x$ 但 $\Vert x_n\Vert \nrightarrow \Vert x\Vert$。一般来说，序列的弱极限是唯一的吗？

证明：若 $x_n\to x$ 且 $\Vert x_n\Vert \ne \Vert x\Vert$，则 $x_n\nrightarrow x$。

习题 13.7

在希尔伯特空间$L^2([-1,1])$中，令$\{f_n(x)\}$为函数序列$1,x,x^2,\dots ,f_n(x)=x^n$

(a) 对该序列应用施密特正交归一化，写出由此得到的前三个多项式。

(b) 第$n$个勒让德多项式$P_n(x)$定义为

$$P_n(x)=\frac{1}{2^{n}n!}\frac{{\mathrm{d}}^n}{\mathrm{d}{x}^n}{\left(x^2-1\right)}^n.$$

证明

$${\int }_{-1}^1{P}_m(x)P_n(x)\mathrm{d}x=\frac{2}{2n+1}{\delta }_{mn}.$$

(c) 证明在 (a) 中得到的正交归一序列的第 $n$ 个元素是 $\sqrt{n+\frac{1}{2}}{P}_n(x)$

习题 13.8

证明在 $L^2(\mathbb{R})$ 中的施密特正交归一化，应用于函数序列

$$f_n(x)=x^n{\mathrm{e}}^{-x^2/2},$$

得到例 13.7 的归一化埃尔米特函数式 (13.6)。

习题 13.9

证明在 $L^2([0,\infty ])$ 中对函数序列应用施密特正交归一化

$$f_n(x)=x^n{\mathrm{e}}^{-x/2}$$

导出一个涉及拉盖尔多项式的规范化函数序列

$$L_n(x)={\mathrm{e}}^x\frac{{\mathrm{d}}^n}{\mathrm{d}{x}^n}\left(x^n{\mathrm{e}}^{-x}\right).$$