4.6 宇宙学初探

在自然界中，需要求解由物质作为源的爱因斯坦方程的现象少得令人惊讶，

$$G_{\mu \nu }+\Lambda g_{\mu \nu }=8\pi G{T}_{\mu \nu }$$

然而有一种情形，其中 $T_{\mu \nu }$ 在右端所起的作用至关重要：这就是宇宙学，即把宇宙作为一个整体来研究。

4.6.1 FRW 度规

宇宙学的关键假设是：宇宙在空间上是空间均匀且各向同性的。这就把空间几何的选择限制为三种，即

• 欧几里得空间 ${\mathbf{R}}^3$：这种空间的曲率为零，其度规张量是我们熟悉的

$$d{s}^2=d{r}^2+r^2(d{\theta }^2+{\sin }^2\theta d{\varphi }^2)$$

• 球面 ${\mathbf{S}}^3$：这种空间具有均匀正曲率，其度规张量为

$$d{s}^2=\frac{1}{1-r^2}d{r}^2+r^2(d{\theta }^2+{\sin }^2\theta d{\varphi }^2)$$

采用这样的坐标选择，我们实际上已把球面的半径取为 1。

• 双曲面 ${\mathbf{H}}^3$：这种空间具有均匀负曲率，其度规张量为

$$d{s}^2=\frac{1}{1+r^2}d{r}^2+r^2(d{\theta }^2+{\sin }^2\theta d{\varphi }^2)$$

这三种对称空间的存在，与我们在4.2 节中讨论的三种不同解完全类似。德西特与反德西特都具有由宇宙学常数提供的常时空曲率；而上面的度规张量则具有常空间曲率。不过要注意，${\mathbf{S}}^3$上的度规张量与坐标(4.12)下德西特度规的空间部分一致，而${\mathbf{H}}^3$上的度规张量则与坐标(4.22)下反德西特度规的空间部分一致。

我们把上述空间度规写成统一的形式，

$$d{s}^2={\gamma }_{ij}d{x}^{i}d{x}^j=\frac{d{r}^2}{1-k{r}^2}+r^2(d{\theta }^2+{\sin }^2\theta d{\varphi }^2)\text{其中}k=\{\begin{array}{ll}+1& {\mathbf{S}}^3\\ 0& {\mathbf{R}}^3\\ -1& {\mathbf{H}}^3\end{array}$$

在宇宙学中，我们希望描述这样一种时空：随着宇宙的演化，空间在其中不断膨胀。我们借助如下形式的度规张量来实现这一点：

$$d{s}^2=-d{t}^2+a^2(t){\gamma }_{ij}d{x}^{i}d{x}^j\text{\hspace{1em}(4.63)}$$

这就是弗里德曼-罗伯逊-沃克度规(Friedmann-Robertson-Walker metric)，简称FRW 度规(FRW metric)。（它也被称为 FLRW 度规，把勒梅特的名字加进这一名单是当之无愧的。）无量纲的标度因子 $a(t)$ 应被看作空间维度的“大小”（这个名称对紧致的 ${\mathbf{S}}^3$ 比对非紧致的 ${\mathbf{R}}^3$ 更有意义，但在数学上对两者都说得通。）注意，全局坐标下的德西特时空 (4.21) 就是一个 $k=+1$ 的 FRW 度规的例子。

曲率张量

我们希望求解取 FRW 形式的度规所满足的爱因斯坦方程。第一步是计算里奇张量。我们从克里斯托费尔符号入手：不难求得 ${\Gamma }_{00}^{\mu }={\Gamma }_{i0}^0=0$ 以及

$${\Gamma }_{ij}^0=a\dot{a}{\gamma }_{ij},{\Gamma }_{0j}^i=\frac{\dot{a}}{a}{\delta }_j^i,{\Gamma }_{jk}^i=\frac{1}{2}{\gamma }^{il}({\partial }_j{\gamma }_{kl}+{\partial }_k{\gamma }_{jl}-{\partial }_l{\gamma }_{jk})$$

为计算里奇张量，我们使用表达式

$$R_{\mu \nu }={\partial }_{\rho }{\Gamma }_{\nu \mu }^{\rho }-{\partial }_{\nu }{\Gamma }_{\rho \mu }^{\rho }+{\Gamma }_{\nu \mu }^{\lambda }{\Gamma }_{\rho \lambda }^{\rho }-{\Gamma }_{\rho \mu }^{\lambda }{\Gamma }_{\nu \lambda }^{\rho }\text{\hspace{1em}(4.64)}$$

它可由黎曼张量的类似表达式 (3.39) 缩并指标得到

不难看出 $R_{0i}=0$。简捷的论证是：等式右端不可能放任何协变三维矢量。其余分量则需要多花一点功夫。

命题

$$R_{00}=-3\frac{\ddot{a}}{a}$$

证明

利用上面列出的非零克里斯托费尔符号，可得

$$R_{00}=-{\partial }_0{\Gamma }_{i0}^i-{\Gamma }_{i0}^j{\Gamma }_{j0}^i=-3\frac{d}{dt}\left(\frac{\dot{a}}{a}\right)-3{\left(\frac{\dot{a}}{a}\right)}^2$$

由此即得所断言的结果

命题

断言：

$$R_{ij}=\left(\frac{\ddot{a}}{a}+2{\left(\frac{\dot{a}}{a}\right)}^2+2\frac{k}{a^2}\right)g_{ij}$$

证明

对于空间度规为平坦的 $k=0$ FRW 度规，这一点很容易证明。对于 $k=\pm 1$ 的度规则稍显麻烦。一个能简化问题的技巧是：在空间原点 $\mathbf{x}=0$ 处计算 $R_{ij}$ 的分量，此处空间度规为 ${\gamma }_{ij}={\delta }_{ij}$，然后利用协变性论证正确的结果必定满足 $R_{ij}\sim {\gamma }_{ij}$。这样做时，我们只需记住不要过早地令 $\mathbf{x}=0$，因为我们需要先对克里斯托费尔符号求导，然后再在 $\mathbf{x}=0$ 处取值。

我们首先在笛卡尔坐标下写出空间度规，理由是这种形式更容易求导

$${\gamma }_{ij}={\delta }_{ij}+\frac{k{x}_i{x}_j}{1-k\mathbf{x}\cdot \mathbf{x}}$$

克里斯托费尔符号依赖于 $\partial {\gamma }_{ij}$，而里奇张量依赖于 ${\partial }^2{\gamma }_{ij}$。这意味着，如果我们想在原点 $\mathbf{x}=0$ 处计算里奇张量，就只需把度规保留到 x 的二次阶。这极大地简化了问题，因为

$${\gamma }_{ij}={\delta }_{ij}+k{x}_i{x}_j+\mathcal{O}(x^4)$$

类似地，我们有

$${\gamma }^{ij}={\delta }^{ij}-k{x}^i{x}^j+\mathcal{O}(x^4)$$

其中 $i,j$ 指标是用 ${\delta }^{ij}$ 升降的。把这些形式代入克里斯托费尔符号的表达式，得到

$${\Gamma }_{jk}^i=k{x}^i{\delta }_{jk}+\mathcal{O}(x^3)$$

有了这些，我们就可以计算里奇张量

$$\begin{array}{rl}& R_{ij}={\partial }_{\rho }{\Gamma }_{ij}^{\rho }-{\partial }_j{\Gamma }_{\rho i}^{\rho }+{\Gamma }_{ij}^{\lambda }{\Gamma }_{\rho \lambda }^{\rho }-{\Gamma }_{\rho i}^{\lambda }{\Gamma }_{j\lambda }^{\rho }\\ & =({\partial }_0{\Gamma }_{ij}^0+{\partial }_k{\Gamma }_{ij}^k)-{\partial }_j{\Gamma }_{ki}^k+({\Gamma }_{ij}^0{\Gamma }_{k0}^k+{\Gamma }_{ij}^k{\Gamma }_{lk}^l)-({\Gamma }_{ki}^0{\Gamma }_{j0}^k+{\Gamma }_{0i}^k{\Gamma }_{jk}^0+{\Gamma }_{li}^k{\Gamma }_{jk}^l)\end{array}$$

我们可以丢掉 ${\Gamma }_{ij}^k{\Gamma }_{lk}^l$ 项，因为它在 $\mathbf{x}=0$ 处为零。此外，现在我们可以放心地把克里斯托费尔符号中任何未被求导的 ${\gamma }_{ij}$ 替换为 ${\delta }_{ij}$。剩下的部分给出

$$\begin{array}{rl}& R_{ij}=\left({\partial }_0(a\dot{a})+3k-k+3{\dot{a}}^2-{\dot{a}}^2-{\dot{a}}^2\right){\delta }_{ij}+\mathcal{O}(x^2)\\ & =\left(a\ddot{a}+2{\dot{a}}^2+2k\right){\delta }_{ij}+\mathcal{O}(x^2)\end{array}$$

现在我们援引协变性论证，写出

$$R_{ij}=\left(a\ddot{a}+2{\dot{a}}^2+2k\right){\gamma }_{ij}=\frac{1}{a^2}\left(a\ddot{a}+2{\dot{a}}^2+2k\right)g_{ij}$$

正如所承诺的那样

有了这些结果，我们现在就可以计算里奇标量：它为

$$R=6\left(\frac{\ddot{a}}{a}+{\left(\frac{\dot{a}}{a}\right)}^2+\frac{k}{a^2}\right)$$

最后，爱因斯坦张量的分量为

$$G_{00}=3\left({\left(\frac{\dot{a}}{a}\right)}^2+\frac{k}{a^2}\right)\text{ and }{G}_{ij}=-\left(2\frac{\ddot{a}}{a}+{\left(\frac{\dot{a}}{a}\right)}^2+\frac{k}{a^2}\right)g_{ij}$$

我们接下来的任务是理解宇宙中的物质内容。

4.6.2 弗里德曼方程

我们假定宇宙中充满4.5.4 节中引入的那类理想流体。其能动张量为

$$T^{\mu \nu }=(\rho +P)u^{\mu }{u}^{\nu }+P{g}^{\mu \nu }$$

但我们假定流体在宇宙的优越参考系中静止，即在(4.63)的FRW 坐标下 $u^{\mu }=(1,0,0,0)$。正如我们在4.5.4 节中所见，约束 ${\nabla }_{\mu }{T}^{\mu \nu }=0$ 给出条件 (4.54)

$$u^{\mu }{\nabla }_{\mu }\rho +(\rho +P){\nabla }_{\mu }{u}^{\mu }=0\Rightarrow \dot{\rho }+\frac{3\dot{a}}{a}(\rho +P)=0$$

这里我们用了 ${\nabla }_{\mu }{u}^{\mu }={\partial }_{\mu }{u}^{\mu }+{\Gamma }_{\mu \rho }^{\mu }{u}^{\rho }={\Gamma }_{i0}^i{u}^0$，以及 (4.64) 中克里斯托费尔符号的表达式。这个方程称为连续性方程(continuity equation)：它表达了膨胀宇宙中的能量守恒。你可以验证，第二个约束 (4.55) 作用于均匀且各向同性的流体时是平凡的。（当我们考虑宇宙中声波的传播时，它才会起作用。）

为了继续推进，我们还需要状态方程。我们感兴趣的流体具有相当简单的状态方程，其形式为

$$P=w\rho$$

其中 w 为常数。特别值得关注的是 $w=0$ 的情形，它对应于无压尘埃；以及 $w=1/3$ 的情形，它对应于辐射。

对于给定的状态方程，连续性方程变为

$$\frac{\dot{\rho }}{\rho }=-3(1+w)\frac{\dot{a}}{a}$$

于是我们得知，随着宇宙膨胀，能量密度 $\rho$ 会按如下方式稀释：

$$\rho =\frac{{\rho }_0}{a^{3(1+w)}}\text{\hspace{1em}(4.65)}$$

其中 ${\rho }_0$ 为积分常数。对于无压尘埃，有 $\rho \sim 1/a^3$，这正是能量密度随体积变化的预期标度关系。对于辐射，有 $\rho \sim 1/a^4$，这来自随体积的标度关系，再加上红移带来的一个额外因子。

现在我们来看爱因斯坦方程。其时间分量为

$$G_{00}+\Lambda g_{00}=8\pi G{T}_{00}\Rightarrow {\left(\frac{\dot{a}}{a}\right)}^2=\frac{8\pi G}{3}\rho +\frac{\Lambda }{3}-\frac{k}{a^2}\text{\hspace{1em}(4.66)}$$

这就是弗里德曼方程(Friedmann equation)。它与 (4.65) 一起，告诉我们宇宙如何膨胀。

我们还有爱因斯坦方程的空间分量，

$$\begin{array}{rlr}{G}_{ij}+\Lambda g_{ij}=8\pi G{T}_{ij}& \Rightarrow & 2\frac{\ddot{a}}{a}+{\left(\frac{\dot{a}}{a}\right)}^2+\frac{k}{a^2}-\Lambda =-8\pi GP\\ & \Rightarrow & \frac{\ddot{a}}{a}-\frac{\Lambda }{3}=-\frac{4\pi G}{3}(\rho +3P)\end{array}\text{\hspace{1em}(4.67)}$$

这就是加速方程(acceleration equation)，也称为 Raychaudhuri 方程。它并不独立于弗里德曼方程：只要将 (4.66) 对时间求导，就能导出 Raychaudhuri 方程。

这些方程中蕴含着丰富的物理内容。取 $k=\Lambda =0$，并考察一个由单一流体主导、其能量密度按 (4.65) 标度的宇宙，就能得到一些特别简单的解。此时弗里德曼方程变为

$${\left(\frac{\dot{a}}{a}\right)}^2\sim \frac{1}{a^{3(1+w)}}\Rightarrow a(t)={\left(\frac{t}{t_0}\right)}^{2/(3+3w)}$$

取 $w=1/3$，得到 $a(t)\sim t^{1/2}$，它描述的是我们的宇宙在由辐射主导时期（大致是最初 5 万年）的膨胀。取 $w=0$，得到 $a(t)\sim t^{2/3}$，它描述的是我们的宇宙在由物质主导时期（大致是随后的 100 亿年）的膨胀。在宇宙学课程的讲义中，你还能找到更多弗里德曼方程的解，以及关于相关物理的讨论。

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