3.2 联络与曲率

在这些讲义中，我们已经见过一种形式的微分。一个向量场 X 本质上就是一个微分算子，它提供了一种对函数 $f$ 求导的方法。我们把它简单地记作 $X(f)$。

正如我们先前所见，对更高阶的张量场求导要稍微棘手一些，因为这要求我们在不同点处对张量场作减法。然而，在不同点处取值的张量位于不同的向量空间中，只有当我们先找到一种把一个向量空间映射到另一个向量空间的办法时，对这些对象作减法才有意义。在2.2.4 节中，我们利用由 X 生成的局部流来实现这种映射，由此得到了李导数 ${\mathcal{L}}_X$ 的概念。

然而，还有另一种求导的方式，它最终会被证明更为有用。这里的导数同样与一个向量场 X 相联系。不过这一次，我们引入一个不同的对象，称为联络(connection)，用它把一点处的向量空间映射到另一点处的向量空间。这样得到的是一个与李导数不同的对象，称为协变导数(covariant derivative)。

3.2.1 协变导数

联络是一个映射 $\nabla :\mathfrak{X}(M)\times \mathfrak{X}(M)\to \mathfrak{X}(M)$。我们通常把它写成 $\nabla (X,Y)=$ ${\nabla }_{X}Y$，而对象 ${\nabla }_X$ 称为协变导数。它对任意向量场 X、Y、Z 都满足以下性质：

$$\bullet {\nabla }_X(Y+Z)={\nabla }_{X}Y+{\nabla }_{X}Z$$

${\nabla }_{(fX+gY)}Z=f{\nabla }_{X}Z+g{\nabla }_{Y}Z$，其中 $f,g$ 为任意函数

${\nabla }_X(fY)=f{\nabla }_{X}Y+({\nabla }_{X}f)Y$，其中我们定义 ${\nabla }_{X}f=X(f)$

协变导数赋予流形更多的结构。为了阐明这一点，我们可以在 $\mathfrak{X}(M)$ 的一个基 $\{e_{\mu }\}$ 下计算联络。这总可以表示为

$${\nabla }_{e_{\rho }}{e}_{\nu }={\Gamma }_{\rho \nu }^{\mu }{e}_{\mu }\text{\hspace{1em}(3.8)}$$

其中 ${\Gamma }_{\rho \nu }^{\mu }$ 是联络的分量。这些分量与我们在第 1 章中用来表示克里斯托费尔符号的希腊字母相同，这并非巧合。不过目前你不应把两者混为一谈；它们之间的关系我们将在3.2.3 节中看到。

“联络”这一名称暗示着 ∇ 或其分量 ${\Gamma }_{\nu \rho }^{\mu },$ 起着连接的作用。它们确实如此。我们将在3.3 节中证明，联络给出了从切空间 $T_p(M)$ 到任意另一点处的切空间 $T_q(M)$ 的一个映射。正是这一点使联络能够充当导数。

我们将采用记号

$${\nabla }_{\mu }={\nabla }_{e_{\mu }}$$

这样一来，协变导数 ${\nabla }_{\mu }$ 看起来就与偏导数十分相似。利用联络的性质，我们可以把向量场的一般协变导数写成

$$\begin{array}{rl}& {\nabla }_{X}Y={\nabla }_X(Y^{\mu }{e}_{\mu })\\ & =X(Y^{\mu })e_{\mu }+Y^{\mu }{\nabla }_X{e}_{\mu }\\ & =X^{\nu }{e}_{\nu }(Y^{\mu })e_{\mu }+X^{\nu }{Y}^{\mu }{\nabla }_{\nu }{e}_{\mu }\\ & =X^{\nu }\left(e_{\nu }(Y^{\mu })+{\Gamma }_{\nu \rho }^{\mu }{Y}^{\rho }\right)e_{\mu }\end{array}$$

既然可以把整体的因子 $X^{\nu }$ 提出来，那么把协变导数的分量(components of the covariant derivative)写成如下形式就是合理的：

$${\nabla }_{\nu }Y=(e_{\nu }(Y^{\mu })+{\Gamma }_{\nu \rho }^{\mu }{Y}^{\rho })e_{\mu }$$

或者，用分量写出，

$$({\nabla }_{\nu }Y{)}^{\mu }=e_{\nu }(Y^{\mu })+{\Gamma }_{\nu \rho }^{\mu }{Y}^{\rho }\text{\hspace{1em}(3.9)}$$

注意，协变导数作用在函数上与李导数一致，即 ${\nabla }_{X}f=$ ${\mathcal{L}}_{X}f=X(f)$。它也与老式的偏导数一致：${\nabla }_{\mu }f={\partial }_{\mu }f$。然而，它作用在向量场上的结果却有所不同。特别地，李导数 ${\mathcal{L}}_{X}Y=$ [X, Y] 既依赖于 X，又依赖于 X 的一阶导数；而如上所见，协变导数只依赖于 X。正是这一性质使我们能够写出 ${\nabla }_X=X^{\nu }{\nabla }_{\nu }$，并把 ${\nabla }_{\mu }$ 看作一个独立的算子。相比之下，我们无法写出 ${}^{\mathfrak{a}}{\mathcal{L}}_X=X^{\mu }{\mathcal{L}}_{\mu }{}^3$。尽管李导数自有其用处，但能够定义 ${\nabla }_{\mu }$ 这一点意味着，最好把它看作偏导数向弯曲空间的自然推广。

作为标点的微分

在坐标基中，即 $e_{\mu }={\partial }_{\mu }$ 时，协变导数 (3.9) 变为

$$({\nabla }_{\nu }Y{)}^{\mu }={\partial }_{\nu }{Y}^{\mu }+{\Gamma }_{\nu \rho }^{\mu }{Y}^{\rho }\text{\hspace{1em}(3.10)}$$

我们经常要做微分运算。为了省墨水，我们采用一种马虎、有时会令人困惑的记号

$$({\nabla }_{\nu }Y{)}^{\mu }={\nabla }_{\nu }{Y}^{\mu }$$

特别地，这意味着 ${\nabla }_{\nu }{Y}^{\mu }$ 是 ${\nabla }_{\nu }Y$ 的第 ${\mu }^{\mathrm{th}}$ 个分量，而不是对函数 $Y^{\mu }$ 求导

协变微分有时用分号来表示

$${\nabla }_{\nu }{Y}^{\mu }=Y_{;\nu }^{\mu }$$

在这种约定下，偏导数只用逗号表示，即 ${\partial }_{\mu }{Y}^{\nu }=Y^{\nu }{}_{,\mu }$。于是表达式 (3.10) 就写成

$$Y_{;\nu }^{\mu }=Y_{,\nu }^{\mu }+{\Gamma }_{\nu \rho }^{\mu }{Y}^{\rho }$$

我很自豪地说，本讲义不会采用“分号 = 微分”这种记号。因为它很愚蠢。

联络不是张量

定义联络的 ${\Gamma }^{\mu }{}_{\rho \nu }$ 并不是某个张量的分量。从定义 $\nabla (X,fY)={\nabla }_X(fY)=f{\nabla }_{X}Y+(X(f))Y$ 即可立刻看出这一点：它对第二个变量不是线性的，而线性正是张量所要求的条件之一。

为了说明这一点，我们可以问：联络在另一个基下是什么样子，

$${\tilde{e}}_{\nu }=A_{\nu }^{\mu }{e}_{\mu }\text{\hspace{1em}(3.11)}$$

其中 A 是某个可逆矩阵。如果 $e_{\mu }$ 与 ${\tilde{e}}_{\mu }$ 都是坐标基，那么

$$A_{\nu }^{\mu }=\frac{\partial x^{\mu }}{\partial {\tilde{x}}^{\nu }}$$

由 (2.23) 我们知道，(1, 2) 型张量的分量按如下方式变换

$${\tilde{T}}_{\nu \rho }^{\mu }=(A^{-1}{)}_{\tau }^{\mu }{A}_{\nu }^{\lambda }{A}_{\rho }^{\sigma }{T}_{\lambda \sigma }^{\tau }\text{\hspace{1em}(3.12)}$$

现在我们可以把它与联络分量 ${\Gamma }_{\rho \nu }^{\mu }$ 的变换作比较。在基 ${\tilde{e}}_{\mu }$ 下，有

$${\nabla }_{{\tilde{e}}_{\rho }}{\tilde{e}}_{\nu }={\tilde{\Gamma }}_{\rho \nu }^{\mu }{\tilde{e}}_{\mu }$$

代入变换式 (3.11)，得到

$${\tilde{\Gamma }}_{\rho \nu }^{\mu }{\tilde{e}}_{\mu }={\nabla }_{(A_{\rho }^{\sigma }{e}_{\sigma })}(A_{\nu }^{\lambda }{e}_{\lambda })=A_{\rho }^{\sigma }{\nabla }_{e_{\sigma }}(A_{\nu }^{\lambda }{e}_{\lambda })=A_{\rho }^{\sigma }{A}_{\nu }^{\lambda }{\Gamma }_{\sigma \lambda }^{\tau }{e}_{\tau }+A_{\rho }^{\sigma }{e}_{\lambda }{\partial }_{\sigma }{A}_{\nu }^{\lambda }$$

我们可以把它写成

$$\begin{array}{rl}& {\tilde{\Gamma }}_{\rho \nu }^{\mu }{\tilde{e}}_{\mu }=(A_{\rho }^{\sigma }{A}_{\nu }^{\lambda }{\Gamma }_{\sigma \lambda }^{\tau }+A_{\rho }^{\sigma }{\partial }_{\sigma }{A}_{\nu }^{\tau })e_{\tau }\\ & =(A_{\rho }^{\sigma }{A}_{\nu }^{\lambda }{\Gamma }_{\sigma \lambda }^{\tau }+A_{\rho }^{\sigma }{\partial }_{\sigma }{A}_{\nu }^{\tau })(A^{-1}{)}_{\tau }^{\mu }{\tilde{e}}_{\mu }\end{array}$$

去掉基向量 ${\tilde{e}}_{\mu }$，便可以看出联络的分量按如下方式变换

$${\tilde{\Gamma }}_{\rho \nu }^{\mu }=(A^{-1}{)}_{\tau }^{\mu }{A}_{\rho }^{\sigma }{A}_{\nu }^{\lambda }{\Gamma }_{\sigma \lambda }^{\tau }+(A^{-1}{)}_{\tau }^{\mu }{A}_{\rho }^{\sigma }{\partial }_{\sigma }{A}_{\nu }^{\tau }\text{\hspace{1em}(3.13)}$$

第一项与一个张量的变换式 (3.12) 一致。但第二项与 Γ 无关，而是依赖于 $\partial A$，它是全新的。这正是联络所特有的变换性质。

微分其他张量

利用协变导数的莱布尼茨性质，我们可以把它的作用推广到任意张量场上。最好用一个例子来说明这一点。

考虑一个1-形式 ω。若对 $\omega ,$ 求导，我们将得到另一个 1-形式 ${\nabla }_X\omega$，它和任何 1-形式一样，由它对向量场 $Y\in \mathfrak{X}(M)$ 的作用所确定。为了构造它，我们要求联络在如下修改后的意义下满足莱布尼茨法则：

$${\nabla }_X(\omega (Y))=({\nabla }_X\omega )(Y)+\omega ({\nabla }_{X}Y)$$

但 $\omega (Y)$ 只是一个函数，这意味着我们也可以把它写成

$${\nabla }_X(\omega (Y))=X(\omega (Y))$$

把这两式结合起来便得到

$$({\nabla }_X\omega )(Y)=X(\omega (Y))-\omega ({\nabla }_{X}Y)$$

在坐标下，我们有

$$\begin{array}{rl}& X^{\mu }({\nabla }_{\mu }\omega {)}_{\nu }{Y}^{\nu }=X^{\mu }{\partial }_{\mu }({\omega }_{\nu }{Y}^{\nu })-{\omega }_{\nu }{X}^{\mu }({\partial }_{\mu }{Y}^{\nu }+{\Gamma }_{\mu \rho }^{\nu }{Y}^{\rho })\\ & =X^{\mu }({\partial }_{\mu }{\omega }_{\rho }-{\Gamma }_{\mu \rho }^{\nu }{\omega }_{\nu })Y^{\rho }\end{array}$$

其中关键的是，从第一行到第二行时 $\partial Y$ 项相互抵消了。这意味着整体结果关于 Y 是线性的，于是我们可以在不涉及它所作用的向量场 $Y$ 的情况下定义 ${\nabla }_X\omega$。用分量写出，我们有

$$({\nabla }_{\mu }\omega {)}_{\rho }={\partial }_{\mu }{\omega }_{\rho }-{\Gamma }_{\mu \rho }^{\nu }{\omega }_{\nu }$$

与向量场的情形一样，我们也把它写成

$$({\nabla }_{\mu }\omega {)}_{\rho }\equiv {\nabla }_{\mu }{\omega }_{\rho }\equiv {\omega }_{\rho ;\mu }={\omega }_{\rho ,\mu }-{\Gamma }_{\mu \rho }^{\nu }{\omega }_{\nu }$$

这种论证可以推广到一般的 $(p,q)$ 秩张量场，其协变导数定义为

$$\begin{array}{rl}& T_{{\nu }_1\dots {\nu }_q;\rho }^{{\mu }_1\dots {\mu }_p}=T_{{\nu }_1\dots {\nu }_q,\rho }^{{\mu }_1\dots {\mu }_p}+{\Gamma }_{\rho \sigma }^{{\mu }_1}{T}_{{\nu }_1\dots {\nu }_q}^{\sigma {\mu }_2\dots {\mu }_p}+\dots +{\Gamma }_{\rho \sigma }^{{\mu }_p}{T}_{{\nu }_1\dots {\nu }_q}^{{\mu }_1\dots {\mu }_{p-1}\sigma }\\ & -{\Gamma }_{\rho {\nu }_1}^{\sigma }{T}_{\sigma {\nu }_2\dots {\nu }_q}^{{\mu }_1\dots {\mu }_p}-\dots -{\Gamma }_{\rho {\nu }_q}^{\sigma }{T}_{{\nu }_1\dots {\nu }_{q-1}\sigma }^{{\mu }_1\dots {\mu }_p}\end{array}$$

规律很清楚：每出现一个上指标 $\mu$，就多出一项 $\mathrm{a}+\Gamma T$；而每出现一个下指标，就多出一项 $\mathrm{a}-\Gamma T$。

既然现在能够对张量求导了，我们还需要把标点记号稍作推广。如果分号（或逗号）后面跟了两个以上的下标，那么就对它们都求导，并且先对左边的那个求导。例如，${X^{\mu }}_{;\nu \rho }={\nabla }_{\rho }{\nabla }_{\nu }{X}^{\mu }$

3.2.2 挠率与曲率

尽管联络本身不是张量，我们却可以用它构造出两个张量。第一个是秩为 (1, 2) 的张量 $T$，称为挠率张量(torsion)。它对 $X,Y\in \mathfrak{X}(M)$ 和 $\omega \in {\Lambda }^1(M)$ 的作用定义为

$$T(\omega ;X,Y)=\omega ({\nabla }_{X}Y-{\nabla }_{Y}X-[X,Y])$$

另一个是秩为 (1, 3) 的张量 $R,$，称为曲率张量(curvature)。它对 $X,Y,Z\in \mathfrak{X}(M)$ 和 $\omega \in {\Lambda }^1(M)$ 的作用为

$$R(\omega ;X,Y,Z)=\omega ({\nabla }_X{\nabla }_{Y}Z-{\nabla }_Y{\nabla }_{X}Z-{\nabla }_{[X,Y]}Z)$$

曲率张量也称为黎曼张量(Riemann tensor)。

或者，我们也可以把挠率看作一个映射 $T:\mathfrak{X}(M)\times \mathfrak{X}(M)\to \mathfrak{X}(M)$，其定义为

$$T(X,Y)={\nabla }_{X}Y-{\nabla }_{Y}X-[X,Y]$$

类似地，曲率 R 可以看作从 $\mathfrak{X}(M)\times \mathfrak{X}(M)$ 到作用在 $\mathfrak{X}(M)$ 上的微分算子的映射

$$R(X,Y)={\nabla }_X{\nabla }_Y-{\nabla }_Y{\nabla }_X-{\nabla }_{[X,Y]}\text{\hspace{1em}(3.14)}$$

验证线性性

为了说明 T 与 R 确实是张量，我们需要证明它们对所有的自变量都是线性的。关于 ω 的线性性是显然的。至于其余的自变量，则需要做一些小的计算。例如，我们必须证明 $T(\omega ;fX,Y)=fT(\omega ;X,Y)$。为此，只需把各个对象的定义逐一展开，

$$T(\omega ;fX,Y)=\omega \left({\nabla }_{fX}Y-{\nabla }_Y(fX)-[fX,Y]\right)$$

然后利用 ${\nabla }_{fX}Y=f{\nabla }_{X}Y$ 以及关于 X 的 ${\nabla }_Y(fX)=f{\nabla }_{Y}X+Y(f)$ 和 $[fX,Y]=f[X,Y]-$ $Y(f)X$。两个 $Y(f)X$ 项相互抵消，于是得到

$$\begin{array}{c}T(\omega ;fX,Y)=f\omega ({\nabla }_{X}Y-{\nabla }_{Y}X-[X,Y])\\ =fT(\omega ;X,Y)\end{array}$$

类似地，对于曲率张量，我们有

$$\begin{array}{rl}& R(\omega ;fX,Y,Z)=\omega ({\nabla }_{fX}{\nabla }_{Y}Z-{\nabla }_Y{\nabla }_{fX}Z-{\nabla }_{[fX,Y]}Z\\ & =\omega (f{\nabla }_X{\nabla }_{Y}Z-{\nabla }_Y(f{\nabla }_{X}Z)-{\nabla }_{(f[X,Y]-Y(f)X)}Z)\\ & =\omega (f{\nabla }_X{\nabla }_{Y}Z-f{\nabla }_Y{\nabla }_{X}Z-Y(f){\nabla }_{X}Z-{\nabla }_{f[X,Y]}Z+{\nabla }_{Y(f)X}Z)\\ & =\omega (f{\nabla }_X{\nabla }_{Y}Z-f{\nabla }_Y{\nabla }_{X}Z-Y(f){\nabla }_{X}Z-f{\nabla }_{[X,Y]}Z+Y(f){\nabla }_{X}Z)\\ & =f\omega ({\nabla }_X{\nabla }_{Y}Z-{\nabla }_Y{\nabla }_{X}Z-{\nabla }_{[X,Y]}Z)\\ & =fR(\omega ;X,Y,Z)\end{array}$$

关于 Y 的线性性可由关于 X 的线性性推出。但我们仍需验证关于 $Z.$ 的线性性。

$$\begin{array}{rl}& R(\omega ;X,Y,fZ)=\omega ({\nabla }_X{\nabla }_Y(fZ)-{\nabla }_Y{\nabla }_X(fZ)-{\nabla }_{[X,Y]}(fZ))\\ & =\omega ({\nabla }_X(f{\nabla }_{Y}Z+Y(f)Z)-{\nabla }_Y(f{\nabla }_{X}Z+X(f)Z)\\ & -f{\nabla }_{[X,Y]}Z-[X,Y](f)Z)\\ & =\omega (f{\nabla }_X{\nabla }_{Y}Z+X(f){\nabla }_{Y}Z+Y(f){\nabla }_{X}Z+X(Y(f))Z\\ & -f{\nabla }_Y{\nabla }_{X}Z-Y(f){\nabla }_{X}Z-X(f){\nabla }_{Y}Z-Y(X(f))Z\\ & -f{\nabla }_{[X,Y]}Z-[X,Y](f)Z)\\ & =fR(\omega ;X,Y,Z)\end{array}$$

由此可见，挠率张量与曲率张量都在我们的流形上定义了新的张量。

分量

我们可以在坐标基 $\{e_{\mu }\}=\{{\partial }_{\mu }\}$ 及其对偶基 $\{f^{\mu }\}=\{d{x}^{\mu }\}$ 下计算这些张量。挠率张量的分量为

$$\begin{array}{rl}& T_{\mu \nu }^{\rho }=T(f^{\rho };e_{\mu },e_{\nu })\\ & =f^{\rho }({\nabla }_{\mu }{e}_{\nu }-{\nabla }_{\nu }{e}_{\mu }-[e_{\mu },e_{\nu }])\\ & =f^{\rho }({\Gamma }_{\mu \nu }^{\sigma }{e}_{\sigma }-{\Gamma }_{\nu \mu }^{\sigma }{e}_{\sigma })\\ & ={\Gamma }_{\mu \nu }^{\rho }-{\Gamma }_{\nu \mu }^{\rho }\end{array}$$

这里用到了在坐标基下 $[e_{\mu },e_{\nu }]=[{\partial }_{\mu },{\partial }_{\nu }]=0$ 这一事实。由此可知，尽管 ${\Gamma }_{\mu \nu }^{\rho }$ 不是张量，其反对称部分 ${\Gamma }_{[\mu \nu ]}^{\rho }$ 却构成一个张量。显然，挠率张量关于下面两个指标是反对称的

$$T_{\mu \nu }^{\rho }=-T_{\nu \mu }^{\rho }$$

若联络关于下面两个指标对称，即 ${\Gamma }_{\mu \nu }^{\rho }={\Gamma }_{\nu \mu }^{\rho }$，则 $T^{\rho }{}_{\mu \nu }=0$。这样的联络称为无挠的(torsion-free)。

曲率张量的分量由下式给出

$$R_{\rho \mu \nu }^{\sigma }=R(f^{\sigma };e_{\mu },e_{\nu },e_{\rho })$$

注意指标的顺序虽然略显反直觉，却是标准约定：与协变导数 ${\nabla }_{\mu }$ 和 ${\nabla }_{\nu }$ 相联系的指标 µ 与 ν 放在最后。于是有

$$\begin{array}{rl}{R}_{\rho \mu \nu }^{\sigma }=f^{\sigma }({\nabla }_{\mu }{\nabla }_{\nu }{e}_{\rho }-{\nabla }_{\nu }{\nabla }_{\mu }{e}_{\rho }-{\nabla }_{[e_{\mu },e_{\nu }]}{e}_{\rho })& \\ & =f^{\sigma }({\nabla }_{\mu }{\nabla }_{\nu }{e}_{\rho }-{\nabla }_{\nu }{\nabla }_{\mu }{e}_{\rho })\\ & =f^{\sigma }({\nabla }_{\mu }({\Gamma }_{\nu \rho }^{\lambda }{e}_{\lambda })-{\nabla }_{\nu }({\Gamma }_{\mu \rho }^{\lambda }{e}_{\lambda }))\\ & =f^{\sigma }(({\partial }_{\mu }{\Gamma }_{\nu \rho }^{\lambda })e_{\lambda }+{\Gamma }_{\nu \rho }^{\lambda }{\Gamma }_{\mu \lambda }^{\tau }{e}_{\tau }-({\partial }_{\nu }{\Gamma }_{\mu \rho }^{\lambda })e_{\lambda }-{\Gamma }_{\mu \rho }^{\lambda }{\Gamma }_{\nu \lambda }^{\tau }{e}_{\tau })\\ & ={\partial }_{\mu }{\Gamma }_{\nu \rho }^{\sigma }-{\partial }_{\nu }{\Gamma }_{\mu \rho }^{\sigma }+{\Gamma }_{\nu \rho }^{\lambda }{\Gamma }_{\mu \lambda }^{\sigma }-{\Gamma }_{\mu \rho }^{\lambda }{\Gamma }_{\nu \lambda }^{\sigma }\end{array}\text{\hspace{1em}(3.15)}$$

显然，黎曼张量关于最后两个指标是反对称的

$$R_{\rho \mu \nu }^{\sigma }=-R_{\rho \nu \mu }^{\sigma }$$

等价地，$R^{\sigma }{}_{\rho \mu \nu }=R^{\sigma }{}_{\rho [\mu \nu ]}$。黎曼张量还有若干这一类的进一步恒等式，我们把这些讨论推迟到3.4 节。

里奇恒等式

还有一个与之密切相关的计算，其中同时出现挠率张量与黎曼张量。我们考察作用在向量场上的协变导数的对易子。用一大堆反对称化的记号写出来，这一计算给出

$$\begin{array}{rl}& {\nabla }_{[\mu }{\nabla }_{\nu ]}{Z}^{\sigma }={\partial }_{[\mu }({\nabla }_{\nu ]}{Z}^{\sigma })+{\Gamma }_{[\mu |\lambda |}^{\sigma }{\nabla }_{\nu ]}{Z}^{\lambda }-{\Gamma }_{[\mu \nu ]}^{\rho }{\nabla }_{\rho }{Z}^{\sigma }\\ & ={\partial }_{[\mu }{\partial }_{\nu ]}{Z}^{\sigma }+({\partial }_{[\mu }{\Gamma }_{\nu ]\rho }^{\sigma })Z^{\rho }+({\partial }_{[\mu }{Z}^{\rho }){\Gamma }_{\nu ]\rho }^{\sigma }+{\Gamma }_{[\mu |\lambda |}^{\sigma }{\partial }_{\nu ]}{Z}^{\lambda }\\ & +{\Gamma }_{[\mu |\lambda |}^{\sigma }{\Gamma }_{\nu ]\rho }^{\lambda }{Z}^{\rho }-{\Gamma }_{[\mu \nu ]}^{\rho }{\nabla }_{\rho }{Z}^{\sigma }\end{array}$$

第一项为零，而第三项与第四项相互抵消。于是剩下

$$2{\nabla }_{[\mu }{\nabla }_{\nu ]}{Z}^{\sigma }=R_{\rho \mu \nu }^{\sigma }{Z}^{\rho }-T_{\mu \nu }^{\rho }{\nabla }_{\rho }{Z}^{\sigma }\text{\hspace{1em}(3.16)}$$

其中挠率张量为 $T^{\rho }{}_{\mu \nu }=2{\Gamma }_{[\mu \nu ]}^{\rho }$，而黎曼张量则写成

$$R_{\rho \mu \nu }^{\sigma }=2{\partial }_{[\mu }{\Gamma }_{\nu ]\rho }^{\sigma }+2{\Gamma }_{[\mu |\lambda |}^{\sigma }{\Gamma }_{\nu ]\rho }^{\lambda }$$

这与(3.15)一致。表达式(3.16)称为里奇恒等式(Ricci identity)。

3.2.3 列维-奇维塔联络

到目前为止，我们对联络 $\nabla$ 的讨论完全与度规无关。然而，如果我们同时拥有联络和度规，就会发生一件美妙的事情。这件美妙的事情被称为黎曼几何基本定理(fundamental theorem of Riemannian geometry)。（令人高兴的是，它对洛伦兹几何也同样成立。）

定理

存在唯一的、与度规 g 相容的联络，它无挠，并且相容是指

$${\nabla }_{X}g=0$$

对一切向量场 X 成立。

证明

先证唯一性。假设这样的联络存在，则由莱布尼茨法则，

$$X(g(Y,Z))={\nabla }_X(g(Y,Z))=({\nabla }_{X}g)(Y,Z)+g({\nabla }_{X}Y,Z)+g(Y,{\nabla }_{X}Z)$$

由于 ${\nabla }_{X}g=0$，上式化为

$$X(g(Y,Z))=g({\nabla }_{X}Y,Z)+g({\nabla }_{X}Z,Y)$$

对 X、Y、Z 作循环置换，同样可得

$$\begin{array}{rl}& Y(g(Z,X))=g({\nabla }_{Y}Z,X)+g({\nabla }_{Y}X,Z)\\ & Z(g(X,Y))=g({\nabla }_{Z}X,Y)+g({\nabla }_{Z}Y,X)\end{array}$$

由于挠率张量为零，我们有

$${\nabla }_{X}Y-{\nabla }_{Y}X=[X,Y]$$

利用这一点，可以把循环置换后的各式写成

$$\begin{array}{rl}& X(g(Y,Z))=g({\nabla }_{Y}X,Z)+g({\nabla }_{X}Z,Y)+g([X,Y],Z)\\ & Y(g(Z,X))=g({\nabla }_{Z}Y,X)+g({\nabla }_{Y}X,Z)+g([Y,Z],X)\\ & Z(g(X,Y))=g({\nabla }_{X}Z,Y)+g({\nabla }_{Z}Y,X)+g([Z,X],Y)\end{array}$$

将前两式相加，再减去第三式，得到

$$\begin{array}{rl}& g({\nabla }_{Y}X,Z)=\frac{1}{2}[X(g(Y,Z))+Y(g(Z,X))-Z(g(X,Y))\\ & -g([X,Y],Z)-g([Y,Z],X)+g([Z,X],Y)]\end{array}\text{\hspace{1em}(3.17)}$$

但在度规非退化的情况下，这已唯一地确定了该联络。下面我们将在 (3.18) 中给出用分量表示的表达式。

剩下要证明的是，这样定义的 ∇ 确实满足联络所应具有的各项性质。其中棘手的一项是对 ${\nabla }_{fX}Y=f{\nabla }_{X}Y$ 的要求。可以看出它确实成立，理由如下：

$$\begin{array}{rl}& g({\nabla }_{fY}X,Z)=\frac{1}{2}[X(g(fY,Z))+fY(g(Z,X))-Z(g(X,fY))\\ & -g([X,fY],Z)-g([fY,Z],X)+g([Z,X],fY)]\\ & =\frac{1}{2}[fX(g(Y,Z))+X(f)g(Y,Z)+fY(g(Z,X))-fZ(g(X,Y))\\ & -Z(f)g(X,Y)-fg([X,Y],Z)-X(f)g(Y,Z)-fg([Y,Z],X)\\ & +Z(f)g(Y,X)+fg([Z,X],Y)]\\ & =g(f{\nabla }_{Y}X,Z)\end{array}$$

联络的其他性质也可类似地得到。

与度规相容的联络 (3.17) 称为列维-奇维塔联络(Levi-Civita connection)。我们可以在坐标基 $\{e_{\mu }\}=\{{\partial }_{\mu }\}$ 中计算它的分量。由于 $[{\partial }_{\mu },{\partial }_{\nu }]=0$，这一计算特别简单，于是只剩下

$$g({\nabla }_{\nu }{e}_{\mu },e_{\rho })={\Gamma }_{\nu \mu }^{\lambda }{g}_{\lambda \rho }=\frac{1}{2}({\partial }_{\mu }{g}_{\nu \rho }+{\partial }_{\nu }{g}_{\mu \rho }-{\partial }_{\rho }{g}_{\mu \nu })$$

两边乘以逆度规张量，得到

$${\Gamma }_{\mu \nu }^{\lambda }=\frac{1}{2}{g}^{\lambda \rho }({\partial }_{\mu }{g}_{\nu \rho }+{\partial }_{\nu }{g}_{\mu \rho }-{\partial }_{\rho }{g}_{\mu \nu })\text{\hspace{1em}(3.18)}$$

列维-奇维塔联络的分量称为克里斯托费尔符号(Christoffel symbols)。它们正是我们在第 1 章讨论时空中的测地线时已经遇到过的对象 (1.31)。在接下来的讲义中，凡提到联络，我们总是指列维-奇维塔联络。

一个例子：平坦空间

在平坦空间 ${\mathbf{R}}^d$ 中，无论赋予的是欧几里得度规还是闵可夫斯基度规，我们总可以选取笛卡尔坐标，此时克里斯托费尔符号为零。然而，换用其他坐标时情况未必如此。例如，在1.1.1 节中，我们曾在极坐标 (1.10) 下计算过平坦空间的克里斯托费尔符号，它们并不为零。但由于黎曼张量是真正的张量，只要它在某一个坐标系中为零，就必定在所有坐标系中为零。因此，面对某个糟糕的坐标系，即使其中 ${\Gamma }_{\mu \nu }^{\rho }\ne 0$，我们也总可以算出相应的黎曼张量，从而判断这个空间究竟是不是平坦的。

另一个例子：球面 ${\mathbf{S}}^2$

考虑半径为 r 的 ${\mathbf{S}}^2$，其上赋予圆形度规

$$d{s}^2=r^2(d{\theta }^2+{\sin }^2\theta d{\varphi }^2)$$

我们可以从平坦空间在极坐标下的克里斯托费尔符号 (1.10) 中提取出这些符号。非零分量为

$${\Gamma }_{\varphi \varphi }^{\theta }=-\sin \theta \cos \theta ,{\Gamma }_{\theta \varphi }^{\varphi }={\Gamma }_{\varphi \theta }^{\varphi }=\frac{\cos \theta }{\sin \theta }\text{\hspace{1em}(3.19)}$$

由此便可直接算出黎曼张量的各分量。它们以 $R_{\sigma \rho \mu \nu }=g_{\sigma \lambda }{R}_{\rho \mu \nu }^{\lambda }$ 的形式表示最为简洁，具体为

$$R_{\theta \varphi \theta \varphi }=R_{\varphi \theta \varphi \theta }=-R_{\theta \varphi \varphi \theta }=-R_{\varphi \theta \theta \varphi }=r^2{\sin }^2\theta \text{\hspace{1em}(3.20)}$$

其余分量均为零。

3.2.4 散度定理

高斯定理又称散度定理(divergence theorem)，它指出：对一个全导数作积分，所得结果是一个边界项。在弯曲空间中，该定理有一个特殊的版本，我们后面的应用将会用到它。

作为热身，我们有如下结果：

引理

克里斯托费尔符号的缩并可写成

$${\Gamma }_{\mu \nu }^{\mu }=\frac{1}{\sqrt{g}}{\partial }_{\nu }\sqrt{g}\text{\hspace{1em}(3.21)}$$

在洛伦兹流形上，应把 $\sqrt{g}$ 换成 $\sqrt{|g|}$

证明

由(3.18)可得

$${\Gamma }_{\mu \nu }^{\mu }=\frac{1}{2}{g}^{\mu \rho }{\partial }_{\nu }{g}_{\mu \rho }=\frac{1}{2}\mathrm{tr}(g^{-1}{\partial }_{\nu }g)=\frac{1}{2}\mathrm{tr}({\partial }_{\nu }\log g)$$

不过，对于任何可对角化矩阵的对数，都有一个有用的恒等式：它们满足

$$\mathrm{tr}\log A=\log \det A$$

对对角矩阵而言这显然成立，因为行列式是特征值之积，而迹是特征值之和。但迹与行列式在矩阵的相似变换下都不变，所以该式对可对角化矩阵同样成立。把它用到上面的度规公式上，就得到

$${\Gamma }_{\mu \nu }^{\mu }=\frac{1}{2}\mathrm{tr}({\partial }_{\nu }\log g)=\frac{1}{2}{\partial }_{\nu }\log \det g=\frac{1}{2}\frac{1}{\det g}{\partial }_{\nu }\det g=\frac{1}{\sqrt{\det g}}{\partial }_{\nu }\sqrt{\det g}$$

这正是所要证明的结果。

有了这一结果，我们现在就可以证明下面这个结论：

散度定理：考虑流形 M 中一块以 ∂M 为边界的区域。设 $n^{\mu }$ 是垂直于 ∂M 且指向外侧的单位向量。那么，对 M 上任意向量场 $X^{\mu }$，有

$${\int }_M{d}^{n}x\sqrt{g}{\nabla }_{\mu }{X}^{\mu }={\int }_{\partial M}{d}^{n-1}x\sqrt{\gamma }{n}_{\mu }{X}^{\mu }$$

其中 ${\gamma }_{ij}$ 是度规到 ∂M 的拉回，且 $\gamma =\det {\gamma }_{ij}$。在洛伦兹流形上，该公式的某个版本只在 ∂M 处处为类时或处处为类空时才成立，这保证了任意一点处都有 $\gamma \ne 0$。

证明

利用上面的引理，被积函数为

$$\sqrt{g}{\nabla }_{\mu }{X}^{\mu }=\sqrt{g}\left({\partial }_{\mu }{X}^{\mu }+{\Gamma }_{\mu \nu }^{\mu }{X}^{\nu }\right)=\sqrt{g}\left({\partial }_{\mu }{X}^{\mu }+X^{\nu }\frac{1}{\sqrt{g}}{\partial }_{\nu }\sqrt{g}\right)={\partial }_{\mu }(\sqrt{g}{X}^{\mu })$$

于是积分成为

$${\int }_M{d}^{n}x\sqrt{g}{\nabla }_{\mu }{X}^{\mu }={\int }_M{d}^{n}x{\partial }_{\mu }(\sqrt{g}{X}^{\mu })$$

现在它已是普通偏导数的积分，因此可以应用我们所熟悉的通常的散度定理。剩下的只是要弄清在边界 ∂M 处发生了什么。为此，取坐标使边界 ∂M 成为 $x^n$ 为常数的曲面会比较方便。此外，我们还将限制在如下形式的度规上

$$g_{\mu \nu }=\left(\begin{array}{cc}{\gamma }_{ij}& 0\\ 0& N^2\end{array}\right)$$

那么按照通常的积分法则，有

$${\int }_M{d}^{n}x{\partial }_{\mu }(\sqrt{g}{X}^{\mu })={\int }_{\partial M}{d}^{n-1}x\sqrt{\gamma N^2}{X}^n$$

单位法向量 $n^{\mu }$ 由 $n^{\mu }=(0,0,\dots ,1/N)$ 给出，它满足 $g_{\mu \nu }{n}^{\mu }{n}^{\nu }=1$，这是理所当然的。于是有 $n_{\mu }=g_{\mu \nu }{n}^{\nu }=(0,0,...,N)$，因此可以写成

$${\int }_M{d}^{n}x\sqrt{g}{\nabla }_{\mu }{X}^{\mu }={\int }_{\partial M}{d}^{n-1}x\sqrt{\gamma }{n}_{\mu }{X}^{\mu }$$

这正是我们所需的结果。由于最终表达式是一个协变的量，所以它在一般情况下都成立。□

在2.4.5 节中，我们把斯托克斯定理说成是一切积分定理之母。听说散度定理是斯托克斯定理的一个特例，这或许并不令人意外。为了看清这一点，下面给出一个使用形式语言的另一种证明。

另一种证明：给定 $M.$ 上的体积形式 v 以及一个向量场 X，我们可以将二者缩并，定义一个 $n-1$ 形式 $\omega ={\iota }_{X}v$。（这就是我们先前在(2.30)中遇到过的内积运算。）它的分量为

$${\omega }_{{\mu }_1\dots {\mu }_{n-1}}=\sqrt{g}{X}^{\nu }{ϵ}_{\nu {\mu }_1\dots {\mu }_{n-1}}$$

若现在取外微分 $d\omega .$，就得到一个顶形式。由于顶形式在相差一个乘数的意义下是唯一的，dω 必定正比于体积形式。事实上，不难证明

$$(d\omega {)}_{{\mu }_1\dots {\mu }_n}=\sqrt{g}{ϵ}_{{\mu }_1\dots {\mu }_n}{\nabla }_{\nu }{X}^{\nu }$$

这意味着，用形式的语言来说，我们所要考虑的 M 上的积分可以写成

$${\int }_M{d}^{n}x\sqrt{g}{\nabla }_{\mu }{X}^{\mu }={\int }_{M}d\omega$$

现在我们援引斯托克斯定理，写出

$${\int }_{M}d\omega ={\int }_{\partial M}\omega$$

现在我们需要把 ω 整理成所需的形式。首先，在 ∂M 上引入一个体积形式 v̂，其分量为

$${\hat{v}}_{{\mu }_1\dots {\mu }_{n-1}}=\sqrt{\gamma }{ϵ}_{{\mu }_1\dots {\mu }_{n-1}}$$

它与 M 上的体积形式之间的关系为

$$\frac{1}{n}{v}_{{\mu }_1\dots {\mu }_{n-1}\nu }={\hat{v}}_{[{\mu }_1\dots {\mu }_{n-1}}{n}_{\nu ]}$$

其中 $n^{\mu }$ 是我们先前引入的正交归一向量。于是有

$${\omega }_{{\mu }_1\dots {\mu }_{n-1}}=\sqrt{\gamma }(n_{\nu }{X}^{\nu }){\widetilde{ϵ}}_{{\mu }_1\dots {\mu }_{n-1}}$$

散度定理便由斯托克斯定理推出。

3.2.5 麦克斯韦作用量

下面我们简要地转向一些物理内容。我们取流形 M 为时空。在经典场论中，动力学的自由度是在 M 的每一点取值的对象。我们把这些对象称为$fields$。最简单的这类对象就是一个函数，在物理中我们称之为标量场(scalar field)。

正如我们在2.4.2 节中所描述的，电磁学理论由一个1-形式场 A 描述。事实上，这里还有一点额外的结构，因为我们要求该理论在规范变换下不变

$$A\to A+d\alpha$$

为达到这一点，我们构造一个在规范变换下确实不变的场强$F=dA$。接下来要问的问题是：这些场的动力学是什么？

描述经典场动力学最优雅、最有力的方式是作用量原理。作用量是场的泛函，通过对流形积分而构造出来。我们在这些讲义中发展起来的微分几何语言告诉我们，事实上能够写出的作用量非常少。

为看清这一点，假设我们的流形上只有 2-形式 F，而没有配备度规。如果时空的维数 dim $(M)=4$（确实如此！），那么我们就需要构造一个 4-形式来在 M 上积分。可供使用的这样的形式只有一个，于是提示出作用量

$$S_{\mathrm{top}}=-\frac{1}{2}\int F\wedge F$$

若利用(2.32)把它按电场和磁场展开，我们得到

$$S_{\mathrm{top}}=\int d{x}^{0}d{x}^{1}d{x}^{2}d{x}^3\mathbf{E}\cdot \mathbf{B}$$

这类不依赖于度规的作用量称为拓扑的(topological)。它们在经典物理中通常无关紧要。事实上，我们可以在局部写出 $F\wedge F=$ $d(A\wedge F)$，因此该作用量是一个全导数，不影响经典运动方程。尽管如此，拓扑作用量在量子物理中往往扮演微妙而有趣的角色。例如，作用量 $S_{\mathrm{top}}$ 正是拓扑绝缘体理论的基础。你可以在《规范理论》讲义的第 1 节中读到更多相关内容。

要构造一个能给出有趣的经典动力学的作用量，我们需要引入度规。度规的存在使我们能够引入第二个2-形式 $\star F$，并构造作用量

$$S_{\mathrm{Maxwell}}=-\frac{1}{2}\int F\wedge \star F=-\frac{1}{4}\int d^{4}x\sqrt{-g}{g}^{\mu \nu }{g}^{\rho \sigma }{F}_{\mu \rho }{F}_{\nu \sigma }=-\frac{1}{4}\int d^{4}x\sqrt{-g}{F}^{\mu \nu }{F}_{\mu \nu }$$

这就是麦克斯韦作用量，现在被推广到了弯曲时空。如果限制在平坦的闵可夫斯基空间中，其分量为 $F^{\mu \nu }{F}_{\mu \nu }=2({\mathbf{B}}^2-{\mathbf{E}}^2)$。正如我们在《电磁学》讲义中所看到的，对该作用量作变分便给出其余的麦克斯韦方程。用微分几何的优雅语言来说，它们具有如下简洁的形式

$$d\star F=0$$

我们还可以让规范场与电流耦合。这由一个1-形式 $J,$ 描述，我们写出作用量

$$S=\int -\frac{1}{2}F\wedge \star F+A\wedge \star J$$

我们要求该作用量在规范变换 $A\to A+d\alpha$ 下不变。作用量的变换为

$$S\to S+\int d\alpha \wedge \star J$$

经过一次分部积分后，只要满足下式，第二项便消失

$$d\star J=0$$

这就是用形式语言表达的电流守恒要求。如今麦克斯韦方程有了源项，其形式为

$$d\star F=\star J\text{\hspace{1em}(3.22)}$$

我们看到，微分几何的刚性结构牵着我们的手，引领我们走向支配这个世界的理论。在第 4 节讨论引力时，我们还会再次看到这一点。

电荷与磁荷

为了定义电荷与磁荷，我们在子流形上积分。例如，考虑一个三维的空间子流形 Σ。Σ 中的电荷(electric charge)定义为

$$Q_e={\int }_{\Sigma }\star J$$

很容易验证，这与我们在平坦的闵可夫斯基空间中通常的定义 $\begin{array}{r}{Q}_e=\int d^{3}x{J}^0\end{array}$ 一致。利用运动方程 (3.22)，我们可以把它改写为场强的积分

$$Q_e={\int }_{\Sigma }d\star F={\int }_{\partial \Sigma }\star F\text{\hspace{1em}(3.23)}$$

这里我们用了斯托克斯定理，把它写成对流形边界 ∂Σ 的积分。所得结果就是高斯定律的一般形式，它把某一区域内的电荷与该区域边界上穿出的电场联系起来。类似地，我们可以定义磁荷(magnetic charge)

$$Q_m={\int }_{\partial \Sigma }F$$

初学麦克斯韦理论时，我们得知磁荷并不存在，这要归功于恒等式 $dF=0$。然而，在拓扑上更有趣的空间中，这一点可以被规避。在 6.2.1 节 中讨论带电黑洞时，我们会看到一个简单的例子。

电流守恒的表述 d ⋆ $J=0$ 意味着，除非有电流流入或流出某一区域，否则该区域内的电荷 $Q_e$ 不会改变。这一事实在电磁学中已为人熟知，它也可以用微分形式给出漂亮的表述。考虑一个时空中的柱形区域 $V,$，它以两个空间超曲面 ${\Sigma }_1$ 和 ${\Sigma }_2$ 为端面，如图所示。于是 V 的边界为

$$\partial V={\Sigma }_1\cup {\Sigma }_2\cup B$$

其中 B 是柱形的类时超曲面。

我们要求 B 上 $J=0$，这也就是说没有电流流入或流出该区域。于是有

$$Q_e({\Sigma }_1)-Q_e({\Sigma }_2)={\int }_{{\Sigma }_1}\star J-{\int }_{{\Sigma }_2}\star J={\int }_{\partial V}\star J={\int }_{V}d\star J=0$$

这就告诉我们，电荷随时间保持不变。

用联络表述的麦克斯韦方程

上面给出的麦克斯韦方程的形式并未涉及联络。不过，它确实用到了度规张量，这一点隐藏在霍奇星算子的定义之中。

麦克斯韦方程还有一种用协变导数表述的等价形式。这也有助于凸显协变导数与外微分之间的关系。首先注意，给定一个1-形式 $A\in {\Lambda }^1(M)$，我们可以把场强定义为

$$F_{\mu \nu }={\nabla }_{\mu }{A}_{\nu }-{\nabla }_{\nu }{A}_{\mu }={\partial }_{\mu }{A}_{\nu }-{\partial }_{\nu }{A}_{\mu }$$

其中克里斯托费尔符号由于反对称性而相互抵消。正是这一点使我们能够无需联络而定义外微分。

接下来考虑电流1-形式 J。我们可以把电流守恒的表述改写如下：

命题

$$d\star J=0\iff {\nabla }_{\mu }{J}^{\mu }=0$$

证明

我们有

$${\nabla }_{\mu }{J}^{\mu }={\partial }_{\mu }{J}^{\mu }+{\Gamma }_{\mu \rho }^{\mu }{J}^{\rho }=\frac{1}{\sqrt{-g}}{\partial }_{\mu }\left(\sqrt{-g}{J}^{\mu }\right)$$

其中第二个等号用到了我们先前的结果 (3.21)：${\Gamma }_{\mu \nu }^{\mu }={\partial }_{\nu }$ log $\sqrt{|g|}$。但这一最终形式正比于 $d\star J$，其中霍奇对偶的定义见 (3.5)。□

顺便一提，在黎曼号差下，公式

$${\nabla }_{\mu }{J}^{\mu }=\frac{1}{\sqrt{g}}{\partial }_{\mu }(\sqrt{g}{J}^{\mu })$$

提供了一种在不同坐标系中快速计算散度的办法（如果你手边没有 Jackson 书的内封页的话）。例如，在 ${\mathbf{R}}^3$ 上的球极坐标中，有 $g=r^4{\sin }^2\theta$。把它代入上面的表达式，立刻可得

$$\nabla \cdot \mathbf{J}=\frac{1}{r^2}{\partial }_r(r^2{J}^r)+\frac{1}{\sin \theta }{\partial }_{\theta }(\sin \theta J^{\theta })+{\partial }_{\varphi }{J}^{\varphi }$$

麦克斯韦 式 (3.22) 也可以用协变导数写出

命题

$$d\star F=\star J\iff {\nabla }_{\mu }{F}^{\mu \nu }=J^{\nu }\text{\hspace{1em}(3.24)}$$

证明

我们有

$$\begin{array}{rl}& {\nabla }_{\mu }{F}^{\mu \nu }={\partial }_{\mu }{F}^{\mu \nu }+{\Gamma }_{\mu \rho }^{\mu }{F}^{\rho \nu }+{\Gamma }_{\mu \rho }^{\nu }{F}^{\mu \rho }\\ & =\frac{1}{\sqrt{-g}}{\partial }_{\mu }(\sqrt{-g}{F}^{\mu \nu })+{\Gamma }_{\mu \rho }^{\nu }{F}^{\mu \rho }=\frac{1}{\sqrt{-g}}{\partial }_{\mu }(\sqrt{-g}{F}^{\mu \nu })\end{array}$$

其中第二个等号处我们再次用到了(3.21)，而最后一个等号处则用到了${\Gamma }_{\mu \rho }^{\nu }$是对称的、而$F^{\mu \rho }$是反对称的这一事实。为完成证明，你需要把霍奇对偶(3.5)与外微分(2.26)的定义逐一追查清楚。（如果你在$\sqrt{-g}$的因子匹配上遇到困难，请记住体积形式$v=\sqrt{-g}ϵ$是一个张量，而 epsilon 符号${ϵ}_{{\mu }_1\dots {\mu }_4}$是一个张量密度。）□

来源与版本

正文：中文 · 机器译稿 · 待校对

核对状态：机器译稿 · 待校对

原书 PDF

来源版本：michaelmas-2019-source-20260923

来源 PDF SHA-256：3ba65dc61f22a69c7d5fdf3e8e1f641efbfa6cf49a44b3dcb0fd5367ba9fcf1c

OCR 来源 SHA-256：4489f366864dc6e3f68337328d72571d937e8794fa6c9c377869436e2ed366c5

译稿产物 SHA-256：5b1b89605c77dd0877ff44bfd51fd36b5e200ef56b3c19110ff8a45cd072c5d8