4.5 物质的耦合

到目前为止，我们只讨论了真空时空的动力学，其中的物质只是被当作沿测地线运动的试探粒子来处理。但物质并不只是时空舞台上的一个演员：它还会产生反作用，影响时空自身的动力学。

4.5.1 弯曲时空中的场论

我们首先应当问的是：物质如何与时空度规耦合？当物质以场的形式出现、而这些场本身又由拉格朗日量描述时，这个问题最容易说明。（至于物质由粒子构成、而这些粒子又组成流体时会发生什么，我们将在4.5.4 节中讨论。）

标量场

作为一个简单的例子，考虑一个标量场(scalar field)$\varphi (x)$。在平直空间中，作用量取如下形式

$$S_{\mathrm{scalar}}=\int d^{4}x\left(-\frac{1}{2}{\eta }^{\mu \nu }{\partial }_{\mu }\varphi {\partial }_{\nu }\varphi -V(\varphi )\right)\text{\hspace{1em}(4.42)}$$

其中${\eta }^{\mu \nu }$是闵可夫斯基度规。导数项前面的负号来自对号差（− + ++）的选取。这与量子场论讲义中的做法不同，但它保证了作用量取“动能减势能”的形式，其中空间梯度项计入势能。

要描述在弯曲时空中运动的场，推广起来十分直接：我们只需把闵可夫斯基度规换成弯曲度规，并确保积分的是体积形式的某个倍数。具体来说，这意味着

$$S_{\mathrm{scalar}}=\int d^{4}x\sqrt{-g}\left(-\frac{1}{2}{g}^{\mu \nu }{\nabla }_{\mu }\varphi {\nabla }_{\nu }\varphi -V(\varphi )\right)\text{\hspace{1em}(4.43)}$$

注意，我们把导数从${\partial }_{\mu }$升级成了${\nabla }_{\mu },$，不过在此情形下这是多余的，因为对标量场有${\nabla }_{\mu }\varphi ={\partial }_{\mu }\varphi$。尽管如此，这一点很快就会派上用场。

然而要注意，弯曲时空还为我们提供了向作用量中添加新项的可能性。例如，我们同样可以考虑这样的理论

$$S_{\mathrm{scalar}}=\int d^{4}x\sqrt{-g}\left(-\frac{1}{2}{g}^{\mu \nu }{\nabla }_{\mu }\varphi {\nabla }_{\nu }\varphi -V(\varphi )-\frac{1}{2}\xi R{\varphi }^2\right)\text{\hspace{1em}(4.44)}$$

其中 $\xi .$ 为某个常数。当取 $g_{\mu \nu }={\eta }_{\mu \nu }$ 时，由于此时里奇标量为 $R=0$，该作用量就化为平直空间作用量 (4.42)；但对 $\xi .$ 的每一种取值，它给出的动力学都不同。为导出 ${\varphi }_{;}$ 的运动方程，我们对作用量 (4.44) 关于 ${\varphi }_{;}$ 作变分，并暂时保持 $g_{\mu \nu }$ 不变。

$$\begin{array}{rl}& \delta S_{\mathrm{scalar}}=\int d^{4}x\sqrt{-g}\left(-g^{\mu \nu }{\nabla }_{\mu }\delta \varphi {\nabla }_{\nu }\varphi -\frac{\partial V}{\partial \varphi }\delta \varphi -\xi R\varphi \delta \varphi \right)\\ & =\int d^{4}x\sqrt{-g}\left[\left(g^{\mu \nu }{\nabla }_{\mu }{\nabla }_{\nu }\varphi -\frac{\partial V}{\partial \varphi }-\xi R\varphi \right)\delta \varphi -{\nabla }_{\mu }(\delta \varphi {\nabla }^{\mu }\varphi )\right]\end{array}$$

注意，尽管在第一行中协变导数 ${\nabla }_{\mu }$ 可以换成 ${\partial }_{\mu }$，但在第二行中它们至关重要，因为我们需要用到 ${\nabla }_{\mu }{g}_{\rho \sigma }=0$ 这一事实来做分部积分。最后一项是一个边界项（这里用到了 3.2.4 节 中证明的散度定理），可以丢弃。这样我们就得到弯曲时空中标量场的运动方程，

$$g^{\mu \nu }{\nabla }_{\mu }{\nabla }_{\nu }\varphi -\frac{\partial V}{\partial \varphi }-\xi R\varphi =0$$

这里同样需要用到协变导数：我们本可以写成 ${\nabla }_{\mu }{\nabla }_{\nu }\varphi ={\nabla }_{\mu }{\partial }_{\nu }\varphi$，只是那样写很难看。但 ${\nabla }_{\mu }{\nabla }_{\nu }\varphi \ne {\partial }_{\mu }{\partial }_{\nu }\varphi$

麦克斯韦理论

我们已经在3.2.5 节中遇到过麦克斯韦理论的作用量，当时是把它作为在流形上积分微分形式的一个例子。它由下式给出

$$S_{\mathrm{Maxwell}}=-\frac{1}{2}\int F\wedge \star F=-\frac{1}{4}\int d^{4}x\sqrt{-g}{g}^{\mu \rho }{g}^{\nu \sigma }{F}_{\mu \nu }{F}_{\rho \sigma }\text{\hspace{1em}(4.45)}$$

其中 $F_{\mu \nu }={\partial }_{\mu }{A}_{\nu }-{\partial }_{\nu }{A}_{\mu }={\nabla }_{\mu }{A}_{\nu }-{\nabla }_{\nu }{A}_{\mu }$。（这两个表达式的等价性来自反对称性，最后一项中的列维-奇维塔联络相互抵消。）这一次，运动方程为

$${\nabla }_{\mu }{F}^{\mu \nu }=0$$

事实上，这是唯一能写出的、推广了平直空间结果 ${\partial }_{\mu }{F}^{\mu \nu }=0$ 的协变张量

4.5.2 含物质的爱因斯坦方程

要理解场如何对时空产生反作用，我们只需考虑总作用量

$$S=\frac{1}{16\pi G}\int d^{4}x\sqrt{-g}(R-2\Lambda )+S_M$$

其中 $S_M$ 是物质场的作用量，正如上文所见，它同时依赖于物质场和度规张量。我们已经知道，对度规变分爱因斯坦-希尔伯特作用量会得到什么结果。现在我们要关心的是 $S_M$。我们把能动张量(energy-momentum tensor)定义为

$$T_{\mu \nu }=-\frac{2}{\sqrt{-g}}\frac{\delta S_M}{\delta g^{\mu \nu }}\text{\hspace{1em}(4.46)}$$

注意，$T_{\mu \nu }$ 是对称的，这一性质继承自度规 $g_{\mu \nu }$。若对完整的作用量关于度规变分，就得到

$$\delta S=\frac{1}{16\pi G}\int d^{4}x\sqrt{-g}(G_{\mu \nu }+\Lambda g_{\mu \nu })\delta g^{\mu \nu }-\frac{1}{2}\int d^{4}x\sqrt{-g}{T}_{\mu \nu }\delta g^{\mu \nu }$$

由此可以读出运动方程，

$$G_{\mu \nu }+\Lambda g_{\mu \nu }=8\pi G{T}_{\mu \nu }\text{\hspace{1em}(4.47)}$$

这就是完整的爱因斯坦方程，它描述与物质耦合的引力。

这个方程有若干种不同的写法。首先，宇宙学常数有时被吸收为能动张量的又一个分量，

$${\left(T_{\mu \nu }\right)}_{\Lambda }=-\frac{\Lambda }{8\pi G}{g}_{\mu \nu }\text{\hspace{1em}(4.48)}$$

这样做的原因之一是：物质场往往能模拟出宇宙学常数的效果，因此把所有这类项归并到一起是合理的。（例如，位于势的极值点上的标量场与宇宙学常数无法区分。）在这种情况下，我们只需写出

$$G_{\mu \nu }=8\pi G{T}_{\mu \nu }$$

其中 $T_{\mu \nu }$ 现在已包含宇宙学项。

取迹（即与 $g^{\mu \nu })$ 缩并），便得到

$$-R=8\pi GT$$

其中 $T=g^{\mu \nu }{T}_{\mu \nu }$。利用这一点，我们可以把里奇张量直接与能动张量联系起来

$$R_{\mu \nu }=8\pi G\left(T_{\mu \nu }-\frac{1}{2}T{g}_{\mu \nu }\right)\text{\hspace{1em}(4.49)}$$

这一形式在后面的讨论中也会有用。

4.5.3 能动张量

作用量 $S_M$ 的构造保证了它具有微分同胚不变性。这意味着我们可以重述 4.1.3 节 中导出比安基恒等式的论证：若用微分同胚 $\delta g_{\mu \nu }=({\mathcal{L}}_{X}g{)}_{\mu \nu }=2{\nabla }_{(\mu }{X}_{\nu )}$ 对度规张量作变分，则得到

$$\delta S_M=-2\int d^{4}x\sqrt{-g}{T}_{\mu \nu }{\nabla }^{\mu }{X}^{\nu }=0\mathrm{forall}{X}^{\mu }$$

这说明能动张量必然是协变守恒的，

$${\nabla }_{\mu }{T}^{\mu \nu }=0\text{\hspace{1em}(4.50)}$$

当然，这是使爱因斯坦 式 (4.47) 自洽所必需的，因为我们已知 ${\nabla }_{\mu }{G}^{\mu \nu }=0$。事实上，从作用量原理的角度看，比安基恒等式与 ${\nabla }_{\mu }{T}^{\mu \nu }=0$ 有着相同的起源。

尽管我们是从弯曲时空中引入能动张量的，但它在与引力毫无关系的平直空间理论中同样是一个重要的对象。在那种情形下，能动张量作为与空间和时间的平移不变性相对应的诺特流而出现。

这一点在 (4.50) 中已初见端倪：把它限制到平直空间，就给出诺特流所满足的预期守恒定律 ${\partial }_{\mu }{T}^{\mu \nu }=0$。不过，还有一个相当巧妙的论证，能把与诺特定理的联系说得更紧密。

在平直空间中，能动张量来自平移 $x^{\mu }\to x^{\mu }+X^{\mu }$ 下的不变性，其中 $X^{\mu }$ 为常数。对于任何对称性，都有一个标准的技巧来计算相应的诺特流：把对称性参数提升为时空坐标的函数，即 $\delta x^{\mu }=X^{\mu }(x)$。限制在平直空间上的作用量在这种变换下并不不变。但要构造一个不变的作用量却很简单：我们只需让场与一个背景度规耦合，并允许该度规也发生变动。这正是我们在本节中一直在考虑的那类作用量。在平直空间中不让度规变动时作用量的改变，必定与让度规变动但不改变 $x^{\mu }$ 时作用量的改变大小相等、符号相反（因为两者合起来的变化为零）。于是必须有

$$\delta S_{\mathrm{flat}}=-\int d^{4}x{\frac{\delta S_M}{\delta g^{\mu \nu }}|}_{g_{\mu \nu }={\eta }_{\mu \nu }}\delta g^{\mu \nu }$$

但在不改变点 $x^{\mu }$ 的情况下，度规的变分为 $\delta g_{\mu \nu }={\partial }_{\mu }{X}_{\nu }+{\partial }_{\nu }{X}_{\mu }.$（在含有 ${\nabla }_{\mu }$ 的更为熟悉的表达式中，克里斯托费尔符号来自 (4.7) 中的 $\partial g_{\mu \nu }$ 项，而这正是我们所忽略的那一项）。于是有

$$\delta S_{\mathrm{flat}}=-2\int d^{4}x{\frac{\delta S_M}{\delta g^{\mu \nu }}|}_{g_{\mu \nu }={\eta }_{\mu \nu }}{\partial }^{\mu }{X}^{\nu }=-2\int d^{4}x{\partial }^{\mu }{\left(\frac{\delta S_M}{\delta g^{\mu \nu }}\right|}_{g_{\mu \nu }={\eta }_{\mu \nu }})X^{\nu }$$

但我们知道，只要 $X^{\mu }=\mathrm{constant}$，就有 $\delta S_{\mathrm{flat}}=0$，因为这恰恰就是理论具有平移不变性的含义。由此可知，平直空间中的守恒诺特流为

$$T_{\mu \nu }{|}_{\mathrm{flat}}=-2{\frac{\delta S_M}{\delta g^{\mu \nu }}|}_{g_{\mu \nu }={\eta }_{\mu \nu }}$$

这正是 (4.46) 的平直空间版本。

能动张量的例子

计算标量场的能动张量并不困难。我们取作用量 (4.43)，并对度规张量作变分。这里需要用到 4.1 节 中的结果 $\delta \sqrt{-g}=-\frac{1}{2}\sqrt{-g}{g}_{\mu \nu }\delta g^{\mu \nu }$。于是得到

$$\delta S_{\mathrm{scalar}}=\int d^{4}x\sqrt{-g}\left(\frac{1}{4}{g}_{\mu \nu }{\nabla }^{\rho }\varphi {\nabla }_{\rho }\varphi +\frac{1}{2}{g}_{\mu \nu }V(\varphi )-\frac{1}{2}{\nabla }_{\mu }\varphi {\nabla }_{\nu }\varphi \right)\delta g^{\mu \nu }$$

其中前两项来自对 $\sqrt{-g}$ 的变分，第三项来自对梯度项中度规张量的变分。由此得到能动张量

$$T_{\mu \nu }={\nabla }_{\mu }\varphi {\nabla }_{\nu }\varphi -g_{\mu \nu }\left(\frac{1}{2}{\nabla }^{\rho }\varphi {\nabla }_{\rho }\varphi +V(\varphi )\right)\text{\hspace{1em}(4.51)}$$

若现在限制到平直空间，即取 $g_{\mu \nu }={\eta }_{\mu \nu },$，则例如可得

$$T_{00}=\frac{1}{2}{\dot{\varphi }}^2+\frac{1}{2}(\nabla \varphi {)}^2+V(\varphi )$$

其中 $\nabla$ 是通常的三维空间导数。我们认出这就是标量场的能量密度(energy density)。

对麦克斯韦作用量 (4.45) 也可以如法炮制。对度规张量作变分，得到

$$\delta S_{\mathrm{Maxwell}}=-\frac{1}{4}\int d^{4}x\sqrt{-g}\left(-\frac{1}{2}{g}_{\mu \nu }{F}^{\rho \sigma }{F}_{\rho \sigma }+2g^{\rho \sigma }{F}_{\mu \rho }{F}_{\nu \sigma }\right)\delta g^{\mu \nu }$$

因此，能动张量由下式给出

$$T_{\mu \nu }=g^{\rho \sigma }{F}_{\mu \rho }{F}_{\nu \sigma }-\frac{1}{4}{g}_{\mu \nu }{F}^{\rho \sigma }{F}_{\rho \sigma }\text{\hspace{1em}(4.52)}$$

在平直空间中，取 $g_{\mu \nu }={\eta }_{\mu \nu }$ 2

$$T_{00}=\frac{1}{2}{\mathbf{E}}^2+\frac{1}{2}{\mathbf{B}}^2$$

其中 $F_{0i}=-E_i$ 为电场，$F_{ij}={ϵ}_{ijk}{B}_k$ 为磁场。同样，我们认出这就是电场和磁场中的能量密度。关于麦克斯韦能动张量性质的更多内容，可参阅电磁学讲义。

4.5.4 理想流体

任取宇宙中的某种物体，把一大堆这样的物体聚在一起，加热，再轻轻搅动。由此产生的物理现象将由流体力学方程来描述。

理想流体(perfect fluid)由它的能量密度$\rho (\mathbf{x},t)$、压强$P(\mathbf{x},t)$以及满足$u^{\mu }{u}_{\mu }=-1$的四维速度$u^{\mu }(\mathbf{x},t)$来描述。压强与能量密度并非互不相关：二者之间存在一个恒等关系，通常称为状态方程(equation of state)，

$$P=P(\rho )$$

常见的例子包括尘埃和辐射。尘埃由大量有质量粒子组成，它们四处漂浮、运动得非常缓慢，因而压强为$P=0$；辐射则是由大量光子构成的流体，对它而言$P=\rho /3$。

理想流体的能动张量由下式给出

$$T^{\mu \nu }=(\rho +P)u^{\mu }{u}^{\nu }+P{g}^{\mu \nu }\text{\hspace{1em}(4.53)}$$

若我们处于闵可夫斯基空间中，即$g_{\mu \nu }={\eta }_{\mu \nu }$，且流体静止，即$u^{\mu }=(1,0,0,0)$，则能动张量为

$$T^{\mu \nu }=\mathrm{diag}(\rho ,P,P,P)$$

我们看到$T^{00}=\rho ,$，这与能量密度的预期相符。更一般地，对于运动的流体有$T_{\mu \nu }{u}^{\mu }{u}^{\nu }={\rho }_{;}$，这意味着$\rho$是与流体共动的观测者所测得的能量密度。

能动张量必须满足

$${\nabla }_{\mu }{T}^{\mu \nu }=0$$

稍作计算即可看出，这等价于流体变量之间的两个关系式。第一个是

$$u^{\mu }{\nabla }_{\mu }\rho +(\rho +P){\nabla }_{\mu }{u}^{\mu }=0\text{\hspace{1em}(4.54)}$$

这就是流体质量守恒的相对论推广。这里“质量”已被能量密度$\rho .$所取代。第一项$u^{\mu }{\nabla }_{\mu }\rho$计算的是当我们沿$u^{\mu }$移动时能量密度变化的快慢。第二项则给出了答案：它取决于${\nabla }_{\mu }{u}^{\mu }$，即流体流出某一区域的速率。

第二个约束是

$$(\rho +P)u^{\mu }{\nabla }_{\mu }{u}^{\nu }=-(g^{\mu \nu }+u^{\mu }{u}^{\nu }){\nabla }_{\mu }P\text{\hspace{1em}(4.55)}$$

这就是欧拉方程的相对论推广，而欧拉方程是牛顿第二定律${}^{66}\mathrm{F}=\mathrm{m}{\mathrm{a}}^3$的流体版本。方程的左边应看作“质量 × 加速度”，右边则是力，在流体中这个力来自压强差。关于这些方程在相对论情形下的更多内容及其解，可参阅宇宙学讲义中的第 3 章。

图 29. 平直时空（左）与弯曲时空（右）中的电荷守恒。

4.5.5 能量守恒这件棘手的事

在平直空间中，能动张量的存在保证我们可以定义守恒量，即能量与动量。而在弯曲时空中，情况则微妙得多。

要看清这一点，把能动张量 T^µν $T^{\mu \nu }$ 与由整体对称性（例如复标量场的相位旋转）产生的流 $J^{\mu }$ 作比较是很有用的。在平直空间中，两者都满足电流守恒

$${\partial }_{\mu }{J}^{\mu }=0\mathrm{and}{\partial }_{\mu }{T}^{\mu \nu }=0\text{\hspace{1em}(4.56)}$$

由此，我们可以通过对空间体积 Σ 积分来构造守恒荷

$$Q(\Sigma )={\int }_{\Sigma }{d}^{3}x{J}^0\mathrm{and}{P}^{\mu }(\Sigma )={\int }_{\Sigma }{d}^{3}x{T}^{0\mu }$$

要看出它们确实守恒，我们只需在一个时空体积 V 上积分，该体积在过去的时刻 $t_1$ 和未来的时刻 $t_2$ 由 Σ 所界定。于是有

$$0={\int }_V{d}^{4}x{\partial }_{\mu }{J}^{\mu }=\Delta Q(\Sigma )+{\int }_B{d}^{3}x{n}_i{J}^i$$

其中 $\Delta Q(\Sigma )=[Q(\Sigma )](t_2)-[Q(\Sigma )](t_1)$，而 $n^i$ 是 $B,$ 的外向法向量，$B,$ 是 $V$ 的类时边界，如左图所示。只要没有流流出该区域，即在 $B,$ 上计算时 $J_i=0$，就有 $\Delta Q(\Sigma )=0$。（通常我们取 $\Sigma ={\mathbf{R}}^3$，于是 $B={\mathbf{S}}_{\infty }^2\times I$，其中 I 是一个区间，此时只需要求无穷远处没有流。）这就是电荷守恒的表述。

在闵可夫斯基空间中，同样的论证对 $P^{\mu }(\Sigma )$ 也完全适用，这意味着只要没有流从边界漏出，我们就能为某个区域内的场指定守恒的能量与动量。

现在让我们把这一点与弯曲时空中的情形作对比。守恒定律 (4.56) 被替换为它们的协变形式

$${\nabla }_{\mu }{J}^{\mu }=0\mathrm{and}{\nabla }_{\mu }{T}^{\mu \nu }=0$$

我们可以重演上面的论证，只是现在要引用 3.2.4 节 中的散度定理

$$0={\int }_V{d}^{4}x\sqrt{-g}{\nabla }_{\mu }{J}^{\mu }={\int }_{\partial V}{d}^{3}x\sqrt{|\gamma |}{n}_{\mu }{J}^{\mu }$$

其中 ${\gamma }_{ij}$ 是度规到 ∂V 的拉回，$n^{\mu }$ 是法向量。我们考虑一个时空体积 V，其边界为

$$\partial V={\Sigma }_1\cup {\Sigma }_2\cup B$$

这里 ${\Sigma }_1$ 和 ${\Sigma }_2$ 分别是过去与未来的类空边界，而 B 则是右图所示的类时边界。如果我们再次要求没有流流出该区域，即在 B 上计算时 $J^{\mu }{n}_{\mu }=0$，那么上面的表达式就变为

$$Q({\Sigma }_2)=Q({\Sigma }_1)$$

其中电荷 $Q(\Sigma )$ 在类空超曲面 Σ 上的取值定义为

$$Q(\Sigma )={\int }_{\Sigma }{d}^{3}x\sqrt{\gamma }{n}_{\mu }{J}^{\mu }$$

这意味着，对于向量场而言，协变守恒与实际守恒是一回事。上面的论述不过是我们用微分形式在3.2.5 节中讲过的内容的重述。

现在让我们试着对能动张量讲述类似的故事。类比于上面的推导，显然我们应当设法处理积分

$$0={\int }_V{d}^{4}x\sqrt{-g}{\nabla }_{\mu }{T}^{\mu \nu }$$

问题在于，由于能动张量上悬挂着一个 ν 指标，我们并没有适用于这类积分的散度定理。推导 $J^{\mu }$ 的散度定理的关键在于表达式

$${\nabla }_{\mu }{J}^{\mu }={\partial }_{\mu }{J}^{\mu }+{\Gamma }_{\mu \rho }^{\mu }{J}^{\rho }=\frac{1}{\sqrt{-g}}{\partial }_{\mu }\left(\sqrt{-g}{J}^{\mu }\right)$$

它使我们能把协变导数化为普通导数，从而在积分中给出一个边界项。然而，能动张量的同一表达式却写成

$${\nabla }_{\mu }{T}^{\mu \nu }={\partial }_{\mu }{T}^{\mu \nu }+{\Gamma }_{\mu \rho }^{\mu }{T}^{\rho \nu }+{\Gamma }_{\mu \rho }^{\nu }{T}^{\mu \rho }=\frac{1}{\sqrt{-g}}{\partial }_{\mu }\left(\sqrt{-g}{T}^{\mu \nu }\right)+{\Gamma }_{\mu \rho }^{\nu }{T}^{\mu \rho }$$

正是这个含有克里斯托费尔符号的额外项，使我们无法把 ${\nabla }_{\mu }{T}^{\mu \nu }$ 的积分化为边界项。事实上，我们可以把 ${\nabla }_{\mu }{T}^{\mu \nu }=0$ 改写为

$${\partial }_{\mu }\left(\sqrt{-g}{T}^{\mu \nu }\right)=-\sqrt{-g}{\Gamma }_{\mu \rho }^{\nu }{T}^{\mu \rho }\text{\hspace{1em}(4.57)}$$

于是等式右端看起来就像是一个破坏能量与动量守恒的驱动力。由此可见，对于像 $T^{\mu \nu }$ 这样的高阶张量，协变守恒与实际守恒并不是一回事！

由基灵向量得到的守恒能量

再引入一个要素，我们就能取得进展。如果我们的时空具有一个基灵向量场 K，我们就可以用能动张量构造出一个流，即令

$$J_T^{\nu }=-K_{\mu }{T}^{\mu \nu }$$

取该流的协变散度，得到

$$-{\nabla }_{\nu }{J}_T^{\nu }=({\nabla }_{\nu }{K}_{\mu })T^{\mu \nu }+K_{\mu }{\nabla }_{\nu }{T}^{\mu \nu }=0$$

其中第一项由基灵方程而消失，因为 $T^{\mu \nu }$ 把它的对称指标印在 ${\nabla }_{\nu }{K}_{\mu }$ 上；第二项则由 (4.50) 而消失。

现在可以着手了。如上所述，我们可以由流 $J_T^{\mu }$ 构造出守恒荷，

$$Q_T(\Sigma )={\int }_{\Sigma }{d}^{3}x\sqrt{\gamma }{n}_{\mu }{J}_T^{\mu }$$

这些荷的解释取决于基灵向量的性质。如果 $K^{\mu }$ 处处类时，即在所有点处都有 $g_{\mu \nu }{K}^{\mu }{K}^{\nu }<0$，那么这个荷就可以等同于物质的能量

$$E=Q_T(\Sigma )$$

如果基灵向量处处类空，即在所有点处都有 $g_{\mu \nu }{K}^{\mu }{K}^{\nu }>0$，那么这个荷就可以等同于物质的动量。

没有基灵向量时的守恒能量？

有些情形下，时空并不具有基灵向量，但直觉上我们仍希望定义某种类似于能量的东西。微妙之处正是从这里开始的。

出现这种情况的一个简单例子是两颗相互绕转的恒星。结果表明，由此得到的时空并不容许一个类时基灵向量。正如我们将在5.3 节中较详细地描述的，恒星在绕转过程中会发出引力波而损失能量，这使它们缓慢地沿螺旋线相互靠近。这与缺少类时基灵向量恰好相符，因为我们本来就不指望能为这些恒星定义一个守恒能量。

然而，我们显然应当能够为整个系统定义一个守恒能量——在这里，整个系统指的是恒星连同引力波。特别是，我们希望定量地给出恒星损失掉、并被引力波带走的能量。但这要求我们定义某种新的东西，即引力场中的能量密度。麻烦正是从这里开始的！

有一条显而易见的途径，它从回到我们最初对能动张量的定义(4.46)开始

$$T_{\mu \nu }=-\frac{2}{\sqrt{-g}}\frac{\delta S_M}{\delta g^{\mu \nu }}$$

一个朴素的猜测是，在这个定义中同时纳入物质和引力的作用量，从而得到一个同时包含物质与引力的能动张量

$$T_{\mu \nu }^{\mathrm{total}}=-\frac{2}{\sqrt{-g}}\left(\frac{1}{16\pi G_N}\frac{\delta S_{EH}}{\delta g^{\mu \nu }}+\frac{\delta S_M}{\delta g^{\mu \nu }}\right)$$

但这样得到的是

$$T_{\mu \nu }^{\mathrm{total}}=-\frac{1}{8\pi G_N}{G}_{\mu \nu }+T_{\mu \nu }=0$$

而它由爱因斯坦场方程给出为零。宇宙的总能量为零、负的引力能量抵消了物质的正能量，这个想法听起来似乎很重要。事实证明，它非常适合用来推销那些旨在让世人以为你思想深邃的伪科学书籍。然而，它与物理学几乎毫无关系。例如，并不是说电子和正电子会突然在空间中到处凭空产生，其静质量能量被引力能量抵消掉。宇宙并不是这样运作的。相反，看待这个方程的正确方式，就是坦率地认识到：在广义相对论中，能量是一个微妙的概念。

显然，我们应当设法更好地理解引力场所携带的能量。遗憾的是，事实证明要做到更好并不容易。有一些很有说服力的论证表明，不存在可以看作引力场局域能量密度的张量。粗略地说，这些论证的出发点是这样一个观察：牛顿引力场中的能量正比于 (∇Φ)²。因此我们应当预期，相对论版本的能量密度正比于度规张量的一阶导数。然而，等效原理告诉我们，我们总能找到这样的坐标——即自由下落观测者所经历的坐标——使得度规的一阶导数在任意给定点处为零。但是，在一种坐标系中为零的张量，在另一种坐标系中也必然为零。

在5.3 节中，当我们试图回答双星系统通过引力波辐射出多少能量这一问题时，我们将再次面对这些问题。我们会看到，在这种情况下存在一些简化，使我们能够得出一个合理的答案。

4.5.6 旋量

在平直空间中，费米子按 $SO(1,3)$ 洛伦兹群的旋量表示进行变换。回忆量子场论课程中的内容：我们首先引入满足克利福德代数的伽马矩阵

$$\{{\gamma }_a,{\gamma }_b\}=2{\eta }_{ab}\text{\hspace{1em}(4.58)}$$

请注意，我们在伽马矩阵上标的是指标 $a,b=0,1,2,3$，而不是更常见的 $\mu ,\nu .$。这是有意为之。在 $d=3+1$ 维时空中，每个 ${\gamma }_a$ 都是 $\mathrm{a}4\times 4$ 矩阵。

我们可以用这些伽马矩阵构造洛伦兹群的生成元，

$$S_{ab}=\frac{1}{4}[{\gamma }_a,{\gamma }_b]$$

它们定义了洛伦兹群的旋量表示(spinor representation)。我们把洛伦兹变换 Λ 写成

$$\Lambda =\exp \left(\frac{1}{2}{\lambda }^{ab}{M}_{ab}\right)$$

其中 $M_{ab}$ 是通常的洛伦兹生成元（例如在 (4.30) 中定义），而 ${\lambda }^{ab}$ 是确定该特定洛伦兹变换的一组 6 个数的选取。于是，旋量表示中相应的变换由下式给出

$$S[\Lambda ]=\exp \left(\frac{1}{2}{\lambda }^{ab}{S}_{ab}\right)$$

于是，狄拉克旋量场 ${\psi }_{\alpha }(x)$ 就是一个 4 分量复向量，它在洛伦兹变换下按如下方式变化

$$\psi (x)\to S[\Lambda ]\psi ({\Lambda }^{-1}x)\text{\hspace{1em}(4.59)}$$

在闵可夫斯基空间中，旋量的作用量为

$$S_{\mathrm{Dirac}}=\int d^{4}xi(\bar{\psi }{\gamma }^a{\partial }_a\psi +m\bar{\psi }\psi )$$

其中 $\bar{\psi }={\psi }^{†}{\gamma }^0$。正是伽马矩阵的奇妙之处保证了这一作用量在洛伦兹变换下不变，尽管它只含有一个导数。本节的任务就是把这一作用量推广到弯曲时空。

我们已经能看到一些障碍。伽马矩阵(4.58)是在闵可夫斯基空间中定义的，而把它们推广到弯曲空间后是否仍能保持这种奇妙之处，目前并不清楚。此外，导数又该如何处理？我们也许会猜测它被协变导数取代，但该选取哪一种联络呢？

要回答这些问题，我们需要借助在3.4.2 节中遇到的标架场与联络1-形式。回忆一下，标架场${\hat{e}}_a=e_a^{\mu }{\partial }_{\mu }$是 4 个向量场的集合，它们使我们能够把度规“对角化”。我们定义 $e^a{}_{\mu }$ 为 ${e_a}^{\mu }$ 的逆，即它满足 $e^a{}_{\mu }{e}_b{}^{\mu }={\delta }_b^a$ 与 $e^a{}_{\mu }{e}_a{}^{\nu }={\delta }_{\mu }^{\nu }$。于是度规可以写成

$$g_{\mu \nu }=e_{\mu }^a{e}_{\nu }^b{\eta }_{ab}$$

这些公式实际上是在告诉我们：应当用度规$g_{\mu \nu }$来升降 $\mu ,\nu$ 指标，而用闵可夫斯基度规${\eta }_{ab}$来升降 $a,b$ 指标。

借助标架场的形式体系，我们得以引入局部洛伦兹变换 $\Lambda (x)$ 的概念，它在 (3.43) 中定义，作用在标架场上为

$$e_a^{\nu }\to {\tilde{e}}_a^{\nu }=e_b^{\nu }({\Lambda }^{-1}{)}_a^b\mathrm{with}{\Lambda }_a^c{\Lambda }_b^d{\eta }_{cd}={\eta }_{ab}$$

现在可以把这一局部洛伦兹变换提升为作用在旋量场上的变换，如 (4.59) 所示，其中 S[Λ] 同样依赖于坐标 x。

我们希望作用量在这些局部洛伦兹变换下不变。特别地，我们或许会预料到导数会带来麻烦：经过洛伦兹变换后，导数现在不仅作用在 $\psi (x)$ 上，还会作用在 $\Lambda (x)$ 上。但这正是我们在写下规范理论的作用量时遇到过的那类问题，而我们很清楚如何解决它：只需在作用量中引入一个按相应方式变换的联络即可。为此，我们构造作用在旋量场上的协变导数

$${\nabla }_{\mu }\psi ={\partial }_{\mu }\psi +\frac{1}{2}{\omega }_{\mu }^{ab}{S}_{ab}\psi$$

其中 ${\omega }_{\mu }^{ab}$ 是相应的联络。但它究竟是什么呢？

正确的选择是我们在 3.4.2 节 中遇到过的联络1-形式，它也称为自旋联络(spin connection)。由 (3.44) 和 (3.47)，我们有

$$({\omega }_b^a{)}_{\mu }={\Gamma }_{cb}^a{e}_{\mu }^c=e_{\rho }^a{\nabla }_{\mu }{e}_b^{\rho }$$

这之所以奏效，是因为它具有非齐次的变换 (3.45)

$$({\omega }_b^a{)}_{\mu }\to {\Lambda }_c^a({\omega }_d^c{)}_{\mu }({\Lambda }^{-1}{)}_b^d+{\Lambda }_c^a({\partial }_{\mu }{\Lambda }^{-1}{)}_b^c$$

这恰好抵消了导数带来的贡献，其方式与非阿贝尔规范理论中协变导数的情形相同。于是，把狄拉克作用量推广到弯曲空间就变得很简单：

$$S_{\mathrm{Dirac}}=\int d^{4}x\sqrt{-g}i\left(\bar{\psi }{\gamma }^a{e}_a^{\mu }{\nabla }_{\mu }\psi +m\bar{\psi }\psi \right)$$

有许多理由让我们对费米子与引力的耦合感兴趣。首先，也是最明显的一点：两者都是我们宇宙的组成部分，弄清它们如何相互配合十分重要。其次，它们对数学物理中一些更形式化的方面也很重要：它们是 Witten 对正质量定理所作简洁证明的关键要素；而且有理由怀疑，引力的量子化最终需要在高能标下具有超对称。

不过，有一件事你大概不该对它们做，那就是把它们放到爱因斯坦方程的右端去求解。这是因为费米子是量子场，并没有宏观的经典对应物。

当然，一切场本质上都是量子的。但对于玻色场，把它们当作经典场来处理是有意义的：此时可以把它们看作占据数很高的量子场。这在电磁学中是人们所熟悉的：经典的电场和磁场可以认为包含了许多光子。这意味着，去寻找满足爱因斯坦方程 $G_{\mu \nu }=8\pi G{T}_{\mu \nu }$ 的时空是有意义的，其中曲率由右端标量场的某种分布所支撑。

与此相反，费米子场没有经典极限。这是因为Pauli不相容原理禁止出现很大的占据数。因此，如果你试图寻找一个由费米子 $T_{\mu \nu },$ 支撑的时空，你实际上是在寻找一个恰好由单个量子激发作为源的引力解。鉴于引力在微观尺度上极其微弱，这不太可能有什么意思。

这并不是说费米子不影响引力。有引力的费米子体系的重要例子包括白矮星和中子星。但在这些情形中，都存在尺度的分离：人们可以先忽略引力，求出费米子的有效状态方程，然后再理解它如何反作用于时空。如果你想直接从狄拉克方程来理解时空，那么你面对的就是一个复杂的多体问题。

4.5.7 能量条件

如果我们知道填充时空的是何种物质，那么就可以直接去解爱因斯坦方程。然而，我们常常希望在不涉及任何具体物质内容的情况下，对时空所允许的性质作出更一般的论断。这时，对哪些能动张量算作物理上合理的加以某些限制，是很有用的。

这些限制被称为能量条件(energy condition)，它们抓住了“能量应当为正”这一粗略想法。广义相对论中的许多经典结果，例如奇点定理，都以这些能量条件作为假设。

这类能量条件多得令人眼花缭乱。而且，不难找到违反其中大多数的物质例子！下面我们介绍若干最重要的能量条件，以及它们的局限。

• 弱能量条件(weak energy condition)：它说的是，对任意类时向量场 X，

$$T_{\mu \nu }{X}^{\mu }{X}^{\nu }\ge 0\mathrm{forall}X\mathrm{with}{X}_{\mu }{X}^{\mu }<0$$

其含义是，这个量是沿 X 的类时积分曲线运动的观测者所看到的能量，而它应当非负。类时曲线可以任意接近零曲线，因此由连续性，弱能量条件可以推广到类时曲线和零曲线

$$T_{\mu \nu }{X}^{\mu }{X}^{\nu }\ge 0\mathrm{forall}X\mathrm{with}{X}_{\mu }{X}^{\mu }\le 0\text{\hspace{1em}(4.60)}$$

为了对这一要求有个直观感受，我们先把它施加到理想流体的能动张量上，见(4.53)。我们将考虑归一化的类时向量 X，

即满足 $X\cdot X=-1$。于是有

$$T_{\mu \nu }{X}^{\mu }{X}^{\nu }=(\rho +P)(u\cdot X{)}^2-P\ge 0$$

我们在流体的静止参考系中工作，因此 $u^{\mu }=\left(1,0,0,0\right)$，并考虑常类时向量场 $X^{\mu }=(\cosh \phi ,$ sinh $\phi ,0,0)$。它们描述的是相对于流体以快度 $\phi$ 作推动的观测者的世界线。于是弱能量条件给出

$$(\rho +P){\cosh }^2\phi -P\ge 0\Rightarrow \{\begin{array}{l}\rho \ge 0\text{当}\phi =0\\ P\ge -\rho \text{as}\phi \to \infty \end{array}$$

第一个条件 $\rho \ge 0$ 正是我们从弱能量条件所预期的：它保证能量密度为正。第二个条件 $P\ge -\rho$ 则说明，负压是可以接受的，只要它负得不太厉害。

然而，在某些情形下，负的能量密度在物理上是有意义的。事实上，我们已经遇到过一个：如果把宇宙学常数看作能动张量的一部分，如(4.48)所示，那么任何 $\Lambda <0$ 都会违反弱能量条件。从这个角度看，反德西特时空违反弱能量条件。

我们也可以看看这一条件对标量场是否成立。由能动张量 (4.51)，我们有

$$(X^{\mu }{\partial }_{\mu }\varphi {)}^2+\frac{1}{2}{\partial }_{\mu }\varphi {\partial }^{\mu }\varphi +V(\varphi )\ge 0\text{\hspace{1em}(4.61)}$$

第一项为正，但第二项可正可负。事实上，第一项与第二项合在一起总是正的。为看出这一点，定义与 $X$ 正交的向量 $Y$

$$Y_{\mu }={\partial }_{\mu }\varphi +X_{\mu }(X^{\nu }{\partial }_{\nu }\varphi )$$

它满足 $X_{\mu }{Y}^{\mu }=0$：它是 ${\partial }_{\mu }\varphi$ 在垂直于 $X$ 的方向上的投影。由于 $X$ 是类时的，Y 必为类空（或零）向量，因而满足 $Y_{\mu }{Y}^{\mu }\ge 0$。弱能量条件 (4.61) 可以改写为

$$\frac{1}{2}(X^{\mu }{\partial }_{\mu }\varphi {)}^2+\frac{1}{2}{Y}_{\mu }{Y}^{\mu }+V(\varphi )\ge 0$$

现在前两项都是正的。由此可见，只要 $V(\varphi )\ge 0$，弱能量条件就得到满足。然而，在任何具有 $V(\varphi )\le 0$ 的经典理论中它都会被违反，而且对于标量场，并没有理由禁止这样的负势。

• 强能量条件：还有另一种不那么直观的能量条件。它要求对任意类时向量场 X，都有

$$R_{\mu \nu }{X}^{\mu }{X}^{\nu }\ge 0$$

这就是强能量条件(strong energy condition)。这个名字起得不好。强能量条件既不比弱能量条件强，也不比它弱：它只是与弱能量条件不同而已。事实证明，强能量条件保证类时测地线会汇聚，这可以看作引力具有吸引性的表述。（这一联系是借助所谓的Raychaudhuri 方程建立起来的。）

利用爱因斯坦方程式 (4.49)的形式，强能量条件要求

$$\left(T_{\mu \nu }-\frac{1}{2}T{g}_{\mu \nu }\right)X^{\mu }{X}^{\nu }\ge 0$$

对所有类时向量场 X 成立。与前面一样，连续性保证我们可以把它推广到类时向量场和零向量场，即 $X\cdot X\le 0$

若取 $X\cdot X=-1$，则将其应用于理想流体(4.53)时，强能量条件要求

$$(\rho +P)(u\cdot X{)}^2-P+\frac{1}{2}(3P-\rho )\ge 0$$

与前面一样，我们在流体的静止系中取 $u^{\mu }=\left(1,0,0,0\right)$，并考察该条件对作助推运动的观测者成立的情况，此时 $X^{\mu }=(\cosh {\phi }_{;}$，sinh $\phi ,0,0)$。于是有

$$(\rho +P){\cosh }^2\phi +\frac{1}{2}(P-\rho )\ge 0\Rightarrow \{\begin{array}{ll}P\ge -\rho /3& \phi =0\\ P\ge -\rho & \phi \to \infty \end{array}$$

同样地，也不难找到违反强能量条件的情形。最引人注目的是，宇宙学常数 $\Lambda >0$ 与强能量条件不相容。事实上，这一点或许早就可以料到，因为德西特时空中相邻的类时测地线会被空间的膨胀拉开。事实上，强能量条件禁止任何满足 $\ddot{a}>0$ 的 FRW 宇宙，而我们自己的宇宙至少有两个时期经历了加速膨胀：暴胀期间，以及现在。

最后，不难证明，任何具有正势能的经典标量场都会违反强能量条件。

• 零能量条件：零能量条件

$$T_{\mu \nu }{X}^{\mu }{X}^{\nu }\ge 0\text{对所有}X\text{满足}X\cdot X=0$$

它可由弱能量条件和强能量条件推出，但反之不成立：零能量条件严格弱于弱能量条件和强能量条件两者。当然，这意味着当我们用它来证明各种论断时，它的效力较弱。不过，零能量条件的优点是，任何合理的经典场论以及任何满足 $\rho +P\ge 0$ 的理想流体都满足它。

• 主能量条件：还有一种比弱能量条件更强的能量条件。对任意指向未来的类时向量 X，我们可以定义流

$$J^{\mu }=-T^{\mu \nu }{X}_{\nu }\text{\hspace{1em}(4.62)}$$

这就是沿 X 的积分曲线运动的观测者所看到的能量密度流。主能量条件(dominant energy condition)要求：除了弱能量条件 (4.60) 之外，该流还必须是类时的或类光的，即

$$J_{\mu }{J}^{\mu }\le 0$$

这正是一个合理的论断：能量不会以超过光速的速度流动。

可以验证，对标量场而言，附加条件 (4.62) 是满足的。对理想流体，我们有

$$J^{\mu }=-(\rho +P)(u\cdot X)u^{\mu }-P{X}^{\mu }$$

不难验证，条件 $J_{\mu }{J}^{\mu }\le 0$ 其实就是 ${\rho }^2\ge P^2$。

到了量子世界，各种能量条件是否成立就更加模糊不清了。我们可以考虑让量子物质通过下述方程与一个经典但仍是动力学的时空相耦合：

$$G_{\mu \nu }+\Lambda g_{\mu \nu }=8\pi G⟨T_{\mu \nu }⟩$$

其中 $T_{\mu \nu }$ 是能动张量的期望值。上面列出的每一条能量条件，都会被相当标准的量子场论所违反。

不过，有一个稍弱一些的论断是普遍成立的，这就是平均零能量条件(averaged null energy condition)。可以证明，沿一条无限长的非时序零测地线，任何合理的量子场论都满足

$${\int }_{-\infty }^{+\infty }d\lambda ⟨T_{\mu \nu }⟩X^{\mu }{X}^{\nu }\ge 0$$

这里 λ 是沿零测地线的仿射参数，向量 $X^{\mu }$ 指向测地线的方向，并归一化为 $X^{\mu }{\partial }_{\mu }\lambda =1$。这里“非时序的”一词的意思是：测地线上任意两点都不能由一条类时曲线相连。（作为反例，可以考虑 $M=\mathbf{R}\times {\mathbf{S}}^1$ 上一条不断绕空间圆周运行的无限长零射线。这条测地线不是非时序的，而平均零能量条件一般也不沿这条测地线成立。）

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来源版本：michaelmas-2019-source-20260923

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