4.2 一些简单的解

下面我们来寻找爱因斯坦方程的一些简单的解

$$R_{\mu \nu }=\Lambda g_{\mu \nu }$$

我们将会看到，这些解的形式因 Λ 为零、为正或为负而大不相同。

闵可夫斯基空间

我们从 $\Lambda =0$ 开始。此时真空爱因斯坦方程化为 $R_{\mu \nu }=0$。若要寻找这个方程最简单的解，人们很容易想到 $g_{\mu \nu }=0$。不用说，这是不允许的！张量场 $g_{\mu \nu }$ 是一个度规张量，而按照第 3 节的定义，它必须是非退化的。事实上，在从作用量导出爱因斯坦方程的过程中，就已经假定了逆 $g^{\mu \nu }$ 的存在。

这一限制在几何上虽然自然，但从物理理论的角度看却相当不寻常。它并不是对物理自由度的完整约束：它其实是一个不等式 det $g_{\mu \nu }<0$（再加上要求 $g_{\mu \nu }$ 有一个而非三个负特征值）。标准模型中的其他场并没有这样的限制。相反，这让人想起流体力学，在那里必须坚持物质密度满足 $\rho (\mathbf{x},t)>0$。归根结底，这一限制很可能是在告诉我们：引力场并不是基本的，在 det $g_{\mu \nu }$ 变小的情形下应当由别的东西来取代它。

det $g_{\mu \nu }\ne 0$ 这一限制意味着，最简单的里奇平坦度规就是闵可夫斯基空间，即

$$d{s}^2=-d{t}^2+d{\mathbf{x}}^2$$

当然，满足 $R_{\mu \nu }=0$ 的度规远不止这一个。另一个例子是施瓦西度规，

$$d{s}^2=-\left(1-\frac{2GM}{r}\right)d{t}^2+{\left(1-\frac{2GM}{r}\right)}^{-1}d{r}^2+r^2(d{\theta }^2+{\sin }^2\theta d{\varphi }^2)\text{\hspace{1em}(4.8)}$$

我们将在第 6 节中进一步讨论它。随着课程的推进，我们还会遇到更多的解。

4.2.1 德西特时空

现在我们转向 $\Lambda >0$ 的爱因斯坦方程。同样地，解有很多。既然求解爱因斯坦方程是件苦差事，我们不妨采用一个已经见过的拟设。假设我们寻找如下形式的解

$$d{s}^2=-f(r{)}^{2}d{t}^2+f(r{)}^{-2}d{r}^2+r^2(d{\theta }^2+{\sin }^2\theta d{\varphi }^2)\text{\hspace{1em}(4.9)}$$

在3.4.3 节中，我们已经利用曲率2-形式的方法计算过这种度规的黎曼张量的分量。由(3.54)给出的结果，很容易验证里奇张量是对角的，其分量为

$$R_{tt}=-f^4{R}_{rr}=f^3\left(f^{\prime \prime }+\frac{2f^{\prime }}{r}+\frac{f^{\prime 2}}{f}\right)$$

以及

$$R_{\varphi \varphi }={\sin }^2\theta R_{\theta \theta }=(1-f^2-2f{f}^{\prime }r){\sin }^2\theta$$

所得的里奇张量确实可以取为与度规张量成正比，即 $R_{\mu \nu }=\Lambda g_{\mu \nu }$。与(4.9)比较可知，函数 $f(r)$ 必须满足两个约束条件。第一个来自 tt 与 rr 分量，

$$f^{\prime \prime }+\frac{2f^{\prime }}{r}+\frac{f^2}{f}=-\frac{\Lambda }{f}\text{\hspace{1em}(4.10)}$$

第二个来自 θθ 与 $\varphi \varphi$ 分量，

$$1-2f{f}^{\prime }r-f^2=\Lambda r^2\text{\hspace{1em}(4.11)}$$

很容易看出，只要作如下选取，这两个条件就都能得到满足：

$$f(r)=\sqrt{1-\frac{r^2}{R^2}}\mathrm{with}{R}^2=\frac{3}{\Lambda }$$

由此得到的度规具有如下形式

$$d{s}^2=-\left(1-\frac{r^2}{R^2}\right)d{t}^2+{\left(1-\frac{r^2}{R^2}\right)}^{-1}d{r}^2+r^2(d{\theta }^2+{\sin }^2\theta d{\varphi }^2)\text{\hspace{1em}(4.12)}$$

这就是德西特时空(de Sitter space)。或者更准确地说，它是德西特时空的静态区；至于后一种说法是什么意思，我们很快就会看到。

德西特时空中的测地线

要理解这个度规张量，弄清测地线的行为是很有用的。我们立刻就能看出，非平凡的 $g_{tt}(r)$ 项的存在意味着粒子不会静止在 $r\ne 0;$ 处，而是会被推向更小的 $g_{tt}(r)$ 值，也就是更大的 $r.$ 值。

我们可以把这一点说得更具体些。由于度规 (4.12) 与施瓦西度规形式相似，我们只需重复在 1.3 节 中已经做过的步骤。首先写出德西特时空中粒子的作用量。我们用 σ 表示粒子的固有时。（在 1.3 节 中，我们用 $\tau$ 表示固有时，但下面定义的另一个时间坐标需要用到这个符号。）对于更一般的度规 (4.9)，作用量为

$$S_{dS}=\int d\sigma [-f(r{)}^2{\dot{t}}^2+f(r{)}^{-2}{\dot{r}}^2+r^2({\dot{\theta }}^2+{\sin }^2\theta {\dot{\varphi }}^2)]\text{\hspace{1em}(4.13)}$$

其中 ${\dot{x}}^{\mu }=d{x}^{\mu }/d\sigma$

在拉格朗日量中只以时间导数形式出现的自由度称为可忽略的(ignorable)。它们会给出守恒量。上面的拉格朗日量有两个可忽略的自由度：$\varphi (\sigma )$ 和 $t(\sigma )$。前者给出我们称之为角动量的守恒量，

$$l=\frac{1}{2}\frac{dL}{d\dot{\varphi }}=r^2{\sin }^2\theta \dot{\varphi }$$

其中 $dL/d\dot{\varphi }$ 前面出现因子 $1/2$，是因为 (4.13) 中的动能项并不带有通常的 $1/2$ 因子。与此同时，与 $t(\sigma )$ 相联系的守恒量通常被称为能量(energy)

$$E=-\frac{1}{2}\frac{dL}{d\dot{t}}=f(r{)}^2\dot{t}\text{\hspace{1em}(4.14)}$$

由作用量 (4.13) 得到的运动方程还应当补充一个约束，它告诉我们所处理的是有质量粒子还是无质量粒子。对于有质量粒子，该约束保证其轨迹是类时的，

$$-f(r{)}^2{\dot{t}}^2+f(r{)}^{-2}{\dot{r}}^2+r^2({\dot{\theta }}^2+{\sin }^2\theta {\dot{\varphi }}^2)=-1$$

不失一般性，我们可以只考虑位于 $\theta =\pi /2$ 平面内的测地线，于是 $\dot{\theta }=0$，且 $1^2\theta =1$。把 $i$ 和 $\dot{\varphi }$ 分别替换为 $E$ 和 l，约束就变为

$${\dot{r}}^2+V_{\mathrm{eff}}(r)=E^2$$

图 20. 德西特时空中带角动量（左图）和不带角动量（右图）的有质量粒子的有效势。

其中有效势由下式给出

$$V_{\mathrm{eff}}(r)=\left(1+\frac{l^2}{r^2}\right)f(r{)}^2$$

因此，对于德西特时空中的测地线，我们有

$$V_{\mathrm{eff}}(r)=\left(1+\frac{l^2}{r^2}\right)\left(1-\frac{r^2}{R^2}\right)$$

图中分别给出了 $l\ne 0$ 和 $l=0$ 的情形。我们立刻就能看出关键的物理：势会把粒子推向更大的 $r.$ 值。

我们关注角动量为零的测地线，即 $l=0$。在这种情况下，势是一个倒谐振子。静止于 $r=0$ 处的粒子是一条测地线，但这条测地线是不稳定的：如果粒子具有某个初始速度，它就会远离原点，沿着如下轨迹运动

$$r(\sigma )=R\sqrt{E^2-1}\sinh \left(\frac{\sigma }{R}\right)\text{\hspace{1em}(4.15)}$$

(4.12) 中的度规在 $r=R,$ 处是奇异的，这或许会让我们怀疑那里有什么蹊跷。但无论这种蹊跷是什么，它在解 (4.15) 中都看不出来，因为该解表明任何观测者都会在有限的固有时 $\sigma .$ 内到达 $r=R$

如果我们考察坐标时 t，这种蹊跷就显露出来了。t 也可以解释为坐在 $r=0$ 处的人所经历的时间。利用 (4.14)，轨迹 (4.15) 的演化满足

$$\frac{dt}{d\sigma }=E{\left(1-\frac{r^2}{R^2}\right)}^{-1}$$

很容易验证 $t(\sigma )\to \infty$ 以及 $r(\sigma )\to R$。（例如，假设在某个固有时取值 $\sigma ={\sigma }_{\star }$ 处有 $r(\sigma )=R$。那么考察这一时刻之前不久发生的情况，把 $\sigma ={\sigma }_{\star }-ϵ$ 作小 ϵ 展开。上面的方程就变成 $dt/dϵ=-\alpha /ϵ$，其中 $\alpha ,$ 为某个常数，这告诉我们 $t(ϵ)\sim -\log (ϵ/R)$，于是我们确实发现 $t\to \infty \mathrm{as}ϵ\to 0.)$ 这意味着，沿着轨迹 (4.15) 运动的人会在有限的固有时内径直穿过 $r=R$ 点，而在他待在 $r=0$ 处的同伴看来，这却要花费无限长的时间。

事实证明，这种奇怪的行为类似于黑洞视界处发生的情形，黑洞的视界就是度规 (4.8) 中的曲面 $r=2GM$。（我们将在第 6 节中更仔细地考察这一点。）然而，施瓦西度规在 $r=0$ 处还有一个奇点，而德西特度规在 $r=0$ 处看起来就像平直空间一样。（要看出这一点，只需把度规的系数在 $r=0.)$ 附近作泰勒展开。）相反，德西特时空看起来像一个倒转的黑洞，粒子被向外推到 $r=R$。但我们应该如何理解这个半径呢？随着讨论的深入，我们会对此获得更多的直观理解。

德西特嵌入

要完全理解这背后的物理，我们得等到4.4.2 节。不过，把德西特度规用不同的坐标写出来，我们就能取得一些进展。事实上，可以把德西特时空相当漂亮地嵌入为${\mathbf{R}}^{1,4}$的一个子流形，其度规为

$$d{s}^2=-(d{X}^0{)}^2+\sum _{i=1}^4(d{X}^i{)}^2\text{\hspace{1em}(4.16)}$$

下面我们将说明，德西特时空度规(4.12)就是${\mathbf{R}}^{1,4}$中由类时双曲面所定义的子流形上的度规

$$-(X^0{)}^2+\sum _{i=1}^4(X^i{)}^2=R^2\text{\hspace{1em}(4.17)}$$

参数化这一约束的解有许多不同的方式。假设我们选择把$X^4$当作一个特殊的坐标。我们定义前三个空间坐标的平方和为

$$r^2=(X^1{)}^2+(X^2{)}^2+(X^3{)}^2\text{\hspace{1em}(4.18)}$$

于是约束(4.17)就变成

$$R^2-r^2=-(X^0{)}^2+(X^4{)}^2$$

我们可以把这一方程的解参数化为

$$X^0=\sqrt{R^2-r^2}\sinh (t/R)\mathrm{and}{X}^4=\sqrt{R^2-r^2}\cosh (t/R)\text{\hspace{1em}(4.19)}$$

于是其变分为

$$\begin{array}{rl}& d{X}^0=\sqrt{1-\frac{r^2}{R^2}}\cosh (t/R)dt-\frac{r}{\sqrt{R^2-r^2}}\sinh (t/R)dr\\ & d{X}^4=\sqrt{1-\frac{r^2}{R^2}}\sinh (t/R)dt-\frac{r}{\sqrt{R^2-r^2}}\cosh (t/R)dr\end{array}$$

与此同时，$X^i$（其中 $i=1,2,3,$）的变分正是 ${\mathbf{R}}^3$ 上熟悉的线元：${\sum }_{i=1}^3(d{X}^i{)}^2=d{r}^2+r^{2}d{\Omega }_2^2$，其中 $d{\Omega }_2^2$ 是单位二维球面的度规。接下来只需两行计算便可看出，把 5 维闵可夫斯基度规 (4.16) 拉回到超曲面 (4.17) 上，得到的正是静态区坐标 (4.12) 下的德西特度规。

坐标 (4.18) 与 (4.19) 的选取并不最直观。首先，它们把 $X^4$ 单独挑了出来，而约束 (4.17) 并没有这样做，这就掩盖了德西特时空的一部分对称性。此外，这些坐标并不能覆盖整个双曲面，因为它们只限于 $X^4\ge 0$。

我们可以做得更好。改为考虑约束 (4.17) 的如下解

$$X^0=R\sinh (\tau /R)\text{ and }{X}^i=R\cosh (\tau /R)y^i\text{\hspace{1em}(4.20)}$$

其中 $y^i$（$i=1,2,3,4.$）满足 $\begin{array}{r}{\sum }_i(y^i{)}^2=1\end{array}$，因而参数化了一个单位三维球面。这些坐标的优点是保留了德西特时空（更多的）对称性，并且覆盖整个空间。把它代入 5 维闵可夫斯基度规 (4.16)，就得到德西特时空上另一个颇为不同的度规，

$$d{s}^2=-d{\tau }^2+R^2{\cosh }^2(\tau /R)d{\Omega }_3^2\text{\hspace{1em}(4.21)}$$

其中 $d{\Omega }_3^2$ 表示单位三维球面上的度规张量。这组坐标被称为全局坐标，因为它们覆盖了整个空间。（诚然，${\mathbf{S}}^3$ 上的任何坐标选取都难免会遇到人们熟悉的极点处坐标奇点问题。）由于这个度规张量可以通过坐标变换与 (4.12) 相联系，它同样必须满足爱因斯坦方程。（我们将在 4.6 节 中讨论一类具有这种形式的度规张量时对此作显式验证。）

这些坐标让人对德西特时空的物理图像有清晰得多的直观理解：它是一个随时间变化的解，其中空间部分的 ${\mathbf{S}}^3$ 先收缩到最小半径 $R,$，随后再膨胀。这一点如图所示。膨胀阶段在大尺度上相当好地近似了我们当前的宇宙；你可以在宇宙学课程中了解更多相关内容。

从空间在时间上似乎保持不变的静态区坐标 (4.12) 出发，要领会膨胀宇宙的宇宙学解释则困难得多。事实上，德西特本人最初正是在静态区坐标下发现了这个度规张量。他注意到光在该度规张量中会发生红移，这在此后试图理解星系红移（当时被称为德西特效应！）是否应被视为膨胀宇宙的证据时，引起了种种混乱。这里有一个教训：

盯着一个度规张量看，是很难体会到你所看的东西究竟意味着什么的。

全局坐标清楚地表明，当 $X^4=0$ 时并没有发生什么异常，这个曲面在 (4.12) 中对应于 $r=R$。这说明它只不过是一个坐标奇点。（事实上，施瓦西度规中的 $r=2GM$ 奇点也是如此。）尽管如此，这个坐标奇点中仍然潜藏着一些物理内容，我们将在接下来的几节中把它们提取出来。

4.2.2 反德西特空间

我们再次寻找爱因斯坦方程的解，

$$R_{\mu \nu }=\Lambda g_{\mu \nu }$$

只不过现在宇宙学常数为负，即 $\Lambda <0$。我们仍可采用 (4.9) 的拟设，并同样得到约束条件 (4.10) 和 (4.11)。Λ 现在为负，意味着我们先前对 $f(r)$ 的取法不再适用，不过要找到相应的调整并不困难：所得的度规具有如下形式

$$d{s}^2=-\left(1+\frac{r^2}{R^2}\right)d{t}^2+{\left(1+\frac{r^2}{R^2}\right)}^{-1}d{r}^2+r^2(d{\theta }^2+{\sin }^2\theta d{\varphi }^2)\text{\hspace{1em}(4.22)}$$

其中 $R^2=-3/\Lambda$。这就是反德西特空间(anti-de Sitter space)的度规，也简称为 AdS。

有时人们会引入坐标 $r=R$ sinh $\rho ,$ 来写出这个度规，此时它具有如下形式

$$d{s}^2=-{\cosh }^2\rho d{t}^2+R^{2}d{\rho }^2+R^2{\sinh }^2\rho (d{\theta }^2+{\sin }^2\theta d{\varphi }^2)\text{\hspace{1em}(4.23)}$$

这样一来，r 方向上就不再有神秘的坐标奇点了；而且我们很快就会看到，这些坐标如今覆盖了整个空间。

图 21. 反德西特空间中带角动量（左图）与不带角动量（右图）的有质量粒子的有效势。

反德西特空间中的测地线

由于反德西特度规(4.22)属于(4.9)所给出的一般类别，我们可以直接沿用此前为德西特时空导出的测地线方程。在$\theta =\pi /2$平面内运动的有质量粒子，其径向轨迹仍由下式决定

$${\dot{r}}^2+V_{\mathrm{eff}}(r)=E^2\text{\hspace{1em}(4.24)}$$

只不过这里的有效势为

$$V_{\mathrm{eff}}(r)=\left(1+\frac{l^2}{r^2}\right)\left(1+\frac{r^2}{R^2}\right)$$

同样，$l=r^2\dot{\varphi }$是粒子的角动量。图中分别画出了$l\ne 0$与$l=0$时的这一势。由此我们立刻就能看出测地线的行为。若没有角动量，即$l=0$，反德西特空间就相当于一个谐振势，把粒子推向原点$r=0$。测地线在$r=0$附近来回振荡。

相反，如果粒子还带有角动量，那么势在$r_{\star }^2=Rl$处有一个极小值。这条测地线就像摩托车在“死亡之墙”上表演的特技，角动量使粒子被“钉”在势的高处。其他测地线也以同样的方式旋转，同时围绕$r_{\star }$振荡。重要的是，能量 E 有限的粒子无法逃逸到$r\to \infty ;$，它们被时空困住，只能待在距原点有限的距离之内。

从这一分析中得到的图景是：反德西特空间就像一个谐振势，把粒子推向原点。然而，这同时也带来了一点困惑：正如我们将在下文（以及4.3 节中更详细地）看到的那样，反德西特空间是一个齐性空间，粗略地说，这意味着所有点都是相同的。反德西特空间怎么可能既像一个谐振势那样把粒子推向$r=0$，同时又是齐性空间呢？！

图 22. 反德西特空间中无质量粒子所感受到的势。

为了回答这个问题，考虑一个静止坐在原点$r=0$处的人。这是一条测地线。从他的视角来看，沿着其他测地线（比如取$l=0)$）的勇敢的反德西特空间探险者们会围绕原点$r=0$来回振荡，就像谐振势中的粒子一样。然而，由于这些探险者本身也沿着测地线运动，他们完全有权把自己看作安坐不动的居家型人物，稳稳地坐在自己的“原点”上，看着其他人绕着自己飞。这样一来，正如德西特时空中的每个人都可以把自己看作宇宙的中心、其他观测者都在远离自己一样，反德西特空间中的每个人也都可以把自己看作宇宙的中心，而其他观测者则绕着自己飞。

我们也可以考察无质量粒子的命运。这一次，作用量还要补充一个约束条件

$$-f(r{)}^2{\dot{t}}^2+f(r{)}^{-2}{\dot{r}}^2+r^2({\dot{\theta }}^2+{\sin }^2\theta {\dot{\varphi }}^2)=0$$

这说明粒子沿一条零测地线运动。式 (4.24) 被替换为

$${\dot{r}}^2+V_{\mathrm{null}}(r)=E^2$$

此时有效势由下式给出

$$V_{\mathrm{null}}(r)=\frac{l^2}{r^2}\left(1+\frac{r^2}{R^2}\right)$$

这个势同样画在图 22 中。这一次，当 $r\to \infty$ 时势是有限的，这说明光无论想走多远都没有障碍：它只经历通常的引力红移。我们由此得知，反德西特空间会束缚有质量粒子，却不会束缚无质量粒子。

要求解无质量粒子的方程，最简单的是采用我们在 (4.23) 中引入的坐标 $r=R\sinh \rho$。若限制到角动量为零的情形，即 $l=0$，则上面的方程变为

$$R\dot{\rho }=\pm \frac{E}{\cosh \rho }\Rightarrow R\sinh \rho =E(\sigma -{\sigma }_0)$$

其中 $\sigma$ 是仿射测地参数。我们看到，只有在仿射时间趋于无穷时才有 $\rho \to \infty$，即 $\sigma \to \infty$。不过，更有意思的是看看在坐标时中会发生什么。这可以通过回忆 (4.14) 中 E 的定义得到，

$$E={\cosh }^2\rho \dot{t}$$

（等价地，你也可以借助这样一个事实看出这一点：我们有一条零测地线，满足 coshρ $\dot{t}=\pm R\dot{\rho }.)$ 于是我们得到

$$R\tan (t/R)=E(\sigma -{\sigma }_0)$$

于是当 $\sigma \to \infty$ 时，坐标时趋于 $t\to \pi R/2$。我们由此得知，光线不仅会逃逸到 $\rho =\infty$，而且是在有限的坐标时 t 内逃逸的。这意味着，要想在 AdS 中理解动力学，我们必须在无穷远处指定某种边界条件，以规定无质量粒子或无质量场到达无穷远时会发生什么。

反德西特空间似乎没有任何宇宙学方面的应用。然而事实证明，正是在这里我们最能理解量子引力，因此它一直是大量研究的对象。

反德西特嵌入

与 $\Lambda >0$ 的同类情形一样，反德西特时空也有一个自然的嵌入，位于一个 5 维时空中。这一次它位于 ${\mathbf{R}}^{2,3}$ 之中，其度规为

$$d{s}^2=-(d{X}^0{)}^2-(d{X}^4{)}^2+\sum _{i=1}^3(d{X}^i{)}^2\text{\hspace{1em}(4.25)}$$

它作为双曲面存在，即

$$-(X^0{)}^2-(X^4{)}^2+\sum _{i=1}^3(X^i{)}^2=-R^2\text{\hspace{1em}(4.26)}$$

我们可以通过下式求解这一约束：

$$X^0=R\cosh \rho \sin (t/R),X^4=R\cosh \rho \cos (t/R),X^i=R{y}^i\sinh \rho \text{\hspace{1em}(4.27)}$$

其中 $y^i$（$i=1,2,3$）满足 $\begin{array}{r}{\sum }_i(y^i{)}^2=1\end{array}$，因而参数化了一个单位 2-球面。将其代入度规 (4.25)，就得到坐标 (4.23) 下的反德西特度规。

事实上有一个小细节：嵌入双曲面的拓扑是 ${\mathbf{S}}^1\times$ ${\mathbf{R}}^3$，其中 ${\mathbf{S}}^1$ 对应一个紧致的时间方向。这一点可以从参数化 (4.27) 中看出，那里时间坐标的取值范围是 $t\in [0,2\pi R)$。然而，AdS 度规 (4.22) 或 (4.23) 并没有这样的限制，其中 $t\in (-\infty ,+\infty )$。它们是双曲面 (4.26) 的万有覆盖。

双曲面还有另一种同样有用的参数化。它的形式相当复杂：

$$X^i=\frac{r}{R}{x}^i\mathrm{for}i=0,1,2,X^4-X^3=r,X^4+X^3=\frac{R^2}{r}+\frac{r}{R^2}{\eta }_{ij}{x}^i{x}^j$$

其中 $r\in [0,\infty )$。尽管坐标变换颇为复杂，度规张量的形式却十分简单，为

$$d{s}^2=R^2\frac{d{r}^2}{r^2}+\frac{r^2}{R^2}{\eta }_{ij}d{x}^{i}d{x}^j\text{\hspace{1em}(4.28)}$$

这些坐标并不覆盖整个 AdS，而只覆盖双曲面的一半，即限制在 $X^4-X^3>0$ 的部分。这被称为 AdS 的庞加莱补丁(Poincaré patch)。此外，时间坐标本身已经取遍整个范围 $x^0\in$ $(-\infty ,+\infty )$，无法再进一步延拓。这意味着，当 $x^0$ 在 (4.28) 中从 −∞ 变到 +∞ 时，在全局坐标 (4.22) 中，时间坐标 t 只从 0 变到 $2\pi R$。

还有另外两种坐标选择也常用来描述庞加莱补丁。若令 $z=R^2/r$，则得到

$$d{s}^2=\frac{R^2}{z^2}\left(d{z}^2+{\eta }_{ij}d{x}^{i}d{x}^j\right)$$

或者，若令 $r=R{e}^{\rho }$，则得到

$$d{s}^2=R^{2}d{\rho }^2+e^{2\rho }{\eta }_{ij}d{x}^{i}d{x}^j$$

在每种情形下，有质量粒子都会落向 $r=0$、$z=\infty$ 或 $\rho =-\infty$。

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