3.4 再论黎曼张量及其伙伴

回忆一下，黎曼张量的分量由 (3.15) 给出，

$$R_{\rho \mu \nu }^{\sigma }={\partial }_{\mu }{\Gamma }_{\nu \rho }^{\sigma }-{\partial }_{\nu }{\Gamma }_{\mu \rho }^{\sigma }+{\Gamma }_{\nu \rho }^{\lambda }{\Gamma }_{\mu \lambda }^{\sigma }-{\Gamma }_{\mu \rho }^{\lambda }{\Gamma }_{\nu \lambda }^{\sigma }\text{\hspace{1em}(3.39)}$$

我们立刻可以看出，黎曼张量对最后两个指标是反对称的

$$R_{\rho \mu \nu }^{\sigma }=-R_{\rho \nu \mu }^{\sigma }$$

不过，当我们采用列维-奇维塔联络时，黎曼张量还满足若干更为微妙的对称性质。从逻辑上说，我们本可以在 3.2 节 中讨论这些性质。然而事实证明，若使用 3.3.2 节 中引入的正规坐标，许多命题的证明会大大简化。

命题

若对黎曼张量的指标作降指标运算，并记作 $R_{\sigma \rho \mu \nu }=g_{\sigma \lambda }{R}_{\rho \mu \nu }^{\lambda }$，则所得对象还满足下列恒等式

$$\begin{array}{rl}& \bullet R_{\sigma \rho \mu \nu }=-R_{\sigma \rho \nu \mu }.\\ & \bullet R_{\sigma \rho \mu \nu }=-R_{\rho \sigma \mu \nu }.\\ & \bullet R_{\sigma \rho \mu \nu }=R_{\mu \nu \sigma \rho }.\\ & \bullet R_{\sigma [\rho \mu \nu ]}=0.\end{array}$$

证明

我们在正规坐标下进行，在某一点处有 ${\Gamma }^{\lambda }{}_{\mu \nu }=0$。于是黎曼张量可以写成

$$\begin{array}{rl}& R_{\sigma \rho \mu \nu }=g_{\sigma \lambda }\left({\partial }_{\mu }{\Gamma }_{\nu \rho }^{\lambda }-{\partial }_{\nu }{\Gamma }_{\mu \rho }^{\lambda }\right)\\ & =\frac{1}{2}\left({\partial }_{\mu }({\partial }_{\nu }{g}_{\sigma \rho }+{\partial }_{\rho }{g}_{\nu \sigma }-{\partial }_{\sigma }{g}_{\nu \rho })-{\partial }_{\nu }({\partial }_{\mu }{g}_{\sigma \rho }+{\partial }_{\rho }{g}_{\mu \sigma }-{\partial }_{\sigma }{g}_{\mu \rho })\right)\\ & =\frac{1}{2}\left({\partial }_{\mu }{\partial }_{\rho }{g}_{\nu \sigma }-{\partial }_{\mu }{\partial }_{\sigma }{g}_{\nu \rho }-{\partial }_{\nu }{\partial }_{\rho }{g}_{\mu \sigma }+{\partial }_{\nu }{\partial }_{\sigma }{g}_{\mu \rho }\right)\end{array}$$

其中，在得到第二行时，我们用到了在正规坐标下 ${\partial }_{\mu }{g}^{\lambda \sigma }=0$ 这一事实。前三个对称性是显然的；最后一个对称性只需稍加推演即可得到。（若回到克里斯托费尔符号，或许能更快地看出最后一个对称性：在正规坐标下，我们有 $R^{\sigma }{}_{\rho \mu \nu }={\partial }_{\mu }{\Gamma }^{\sigma }{}_{\rho \nu }-{\partial }_{\nu }{\Gamma }^{\sigma }{}_{\rho \mu }.)$ 但由于这些对称性关系是张量方程，它们必定在一切坐标系中都成立。

命题

黎曼张量还满足比安基恒等式

$${\nabla }_{[\lambda }{R}_{\sigma \rho ]\mu \nu }=0\text{\hspace{1em}(3.40)}$$

或者，我们也可以对最后两个指标作反对称化，此时该式可写成 $R^{\sigma }{}_{\rho [\mu \nu ;\lambda ]}=0$

证明

我们再次使用正规坐标，在点 $p.$ 处有 ${\nabla }_{\lambda }{R}_{\sigma \rho \mu \nu }={\partial }_{\lambda }{R}_{\sigma \rho \mu \nu }$。示意地，我们有 $R=\partial \Gamma +\Gamma \Gamma$，因此 $\partial R={\partial }^2\Gamma +\Gamma \partial \Gamma$，而在正规坐标下最后的 Γ∂Γ 项不存在。这意味着我们只需考虑 $\partial R={\partial }^2\Gamma$，把它完整地写出来就是

$${\partial }_{\lambda }{R}_{\sigma \rho \mu \nu }=\frac{1}{2}{\partial }_{\lambda }\left({\partial }_{\mu }{\partial }_{\rho }{g}_{\nu \sigma }-{\partial }_{\mu }{\partial }_{\sigma }{g}_{\nu \rho }-{\partial }_{\nu }{\partial }_{\rho }{g}_{\mu \sigma }+{\partial }_{\nu }{\partial }_{\sigma }{g}_{\mu \rho }\right)$$

现在对三个相应的指标作反对称化，即可得到结果。

为完整起见，我们应当指出，恒等式 $R_{\sigma [\rho \mu \nu ]}=0$ 与 ${\nabla }_{[\lambda }{R}_{\sigma \rho ]\mu \nu }=$ 0（有时分别称为第一和第二比安基恒等式）更为一般，也就是说，它们对任意的无挠联络都成立。相比之下，另外两个恒等式 $R_{\sigma \rho \mu \nu }=-R_{\rho \sigma \mu \nu }$ 与 $R_{\sigma \rho \mu \nu }=R_{\mu \nu \sigma \rho }$ 只对列维-奇维塔联络成立。

3.4.1 里奇张量与爱因斯坦张量

我们还可以由黎曼张量构造出若干其他的张量。

首先，给定一个 (1, 3) 型张量，我们总可以通过缩并构造出一个 (0, 2) 型张量。若从黎曼张量出发，所得的对象就称为里奇张量(Ricci tensor)，其定义为

$$R_{\mu \nu }=R_{\mu \rho \nu }^{\rho }$$

该里奇张量从黎曼张量那里继承了对称性。我们写出 $R_{\mu \nu }=$ $g^{\sigma \rho }{R}_{\sigma \mu \rho \nu }=g^{\rho \sigma }{R}_{\rho \nu \sigma \mu }$，于是得到

$$R_{\mu \nu }=R_{\nu \mu }$$

我们还可以再进一步，在流形上构造一个函数，这就是里奇标量(Ricci scalar)，

$$R=g^{\mu \nu }{R}_{\mu \nu }$$

比安基恒等式 (3.40) 对里奇张量有一个很好的推论。如果把比安基恒等式完整地写出来，我们有

$$\begin{array}{rlr}& & {\nabla }_{\lambda }{R}_{\sigma \rho \mu \nu }+{\nabla }_{\sigma }{R}_{\rho \lambda \mu \nu }+{\nabla }_{\rho }{R}_{\lambda \sigma \mu \nu }=0\\ & \times g^{\mu \lambda }{g}^{\rho \nu }& \Rightarrow {\nabla }^{\mu }{R}_{\mu \sigma }-{\nabla }_{\sigma }R+{\nabla }^{\nu }{R}_{\nu \sigma }=0\end{array}$$

这意味着

$${\nabla }^{\mu }{R}_{\mu \nu }=\frac{1}{2}{\nabla }_{\nu }R$$

这促使我们引入爱因斯坦张量(Einstein tensor)，

$$G_{\mu \nu }=R_{\mu \nu }-\frac{1}{2}R{g}_{\mu \nu }$$

它具有协变常数的性质，即

$${\nabla }^{\mu }{G}_{\mu \nu }=0\text{\hspace{1em}(3.41)}$$

在下一节中，我们还会大量见到里奇张量与爱因斯坦张量。

3.4.2 联络1-形式与曲率2-形式

计算黎曼张量的分量虽然直接，却极其繁琐。事实上，还有一种略有不同的方式，可以用微分形式的语言把联络以及挠率张量和曲率张量重新包装起来。这不仅为实际计算黎曼张量提供了一种简便的方法，也带来了一些有用的概念性洞见。

标架

迄今为止，我们通常使用的是坐标基 $\{e_{\mu }\}=\{{\partial }_{\mu }\}$。不过，我们总可以选取一组并不具有这种解释的向量场基。例如，取坐标基的一个线性组合，比如

$${\hat{e}}_a=e_a^{\mu }{\partial }_{\mu }$$

一般而言，它本身就不再是坐标基了。

给定一个度规张量，存在一组对计算曲率张量特别有用的非坐标基。在黎曼流形上，这组基满足

$$g({\hat{e}}_a,{\hat{e}}_b)=g_{\mu \nu }{e}_a^{\mu }{e}_b^{\nu }={\delta }_{ab}$$

或者，在洛伦兹流形上我们取

$$g({\hat{e}}_a,{\hat{e}}_b)=g_{\mu \nu }{e}_a^{\mu }{e}_b^{\nu }={\eta }_{ab}\text{\hspace{1em}(3.42)}$$

分量 ${e_a}^{\mu }$ 称为标架(vielbein)或四元标架(tetrad)。（在 n 维流形上，这类对象通常被称为“德语中表示 $n^{\prime }$ 的词”加上 -bein 构成的名称。例如，一维流形上有 einbein；四维流形上有 vierbein。）

这让人想起我们在3.1.2 节中的讨论，那里我们提到，总能找到这样的坐标，使得任何度规在一点处看起来都是平坦的。而在(3.42)中，我们则成功地让流形处处看起来都是平坦的（至少在一个坐标卡所覆盖的区域内如此）。并不存在能做到这一点的坐标，但也没有什么能阻止我们选取一组能完成这一任务的向量场基。在下文中，$\mu \nu$指标用度规$g_{\mu \nu }$升降，而$a,b$指标则用平坦度规${\delta }_{ab}$或${\eta }_{ab}$升降。我们将把讨论放在洛伦兹流形的背景下进行，以便为后面应用到广义相对论做准备。

标架并不唯一。给定一组标架，我们总能找到另一组标架，二者由下式相联系：

$${\tilde{e}}_a^{\mu }=e_b^{\mu }({\Lambda }^{-1}{)}_a^b\mathrm{with}{\Lambda }_a^c{\Lambda }_b^d{\eta }_{cd}={\eta }_{ab}\text{\hspace{1em}(3.43)}$$

这些就是洛伦兹变换。不过，现在它们是局部洛伦兹变换，因为 Λ 可以在流形上逐点变化。这些局部洛伦兹变换是(3.42)中标架定义中的一种冗余。

由${\hat{\theta }}^a({\hat{e}}_b)={\delta }_b^a$定义的1-形式$\{{\hat{\theta }}^a\}$构成对偶基。它们与坐标基的关系为

$${\hat{\theta }}^a=e_{\mu }^{a}d{x}^{\mu }$$

注意指标的位置不同：$e^a{}_{\mu }$ 是 ${e_a}^{\mu }$ 的逆，即它满足 $e^a{}_{\mu }{e}_b{}^{\mu }={\delta }_b^a$ 与 $e^a{}_{\mu }{e}_a{}^{\nu }={\delta }_{\mu }^{\nu }$。在非坐标基中，洛伦兹流形上的度规张量具有如下形式

$$g=g_{\mu \nu }d{x}^{\mu }\otimes d{x}^{\nu }={\eta }_{ab}{\hat{\theta }}^a\otimes {\hat{\theta }}^b\Rightarrow g_{\mu \nu }=e_{\mu }^a{e}_{\nu }^b{\eta }_{ab}$$

对于黎曼流形，我们只需把 ${\eta }_{ab}$ 换成 ${\delta }_{ab}$。

联络1-形式

给定一个非坐标基 $\{{\hat{e}}_a\}$，我们就可以按通常的方式定义联络的分量 (3.8)

$${\nabla }_{{\hat{e}}_c}{\hat{e}}_b={\Gamma }_{cb}^a{\hat{e}}_a$$

要注意的是，这些函数与 ${\Gamma }_{\rho \nu }^{\mu }$ 并不相同——后者是在坐标基中算出的联络分量，这一点很让人头疼！你得留意分量指标用的是希腊字母 $\mu ,$ ν 等，这表明我们在坐标基中；还是罗马字母 a、b 等，这表明我们在标架基中。

接着我们定义矩阵值的联络1-形式为

$${\omega }_b^a={\Gamma }_{cb}^a{\hat{\theta }}^c\text{\hspace{1em}(3.44)}$$

由于它在弯曲时空中定义旋量时所起的作用，它有时被称为自旋联络(spin connection)。我们将在4.5.6 节中对此加以描述。

联络1-形式在局部洛伦兹变换(3.43)下并不协变地变换。相反，在新基中，联络1-形式的分量定义为 ${\nabla }_{{\hat{\tilde{e}}}_b}{\hat{\tilde{e}}}_c={\tilde{\Gamma }}_{bc}^a{\hat{\tilde{e}}}_a$。你可以验证，联络1-形式按如下方式变换

$${\tilde{\omega }}_b^a={\Lambda }_c^a{\omega }_d^c({\Lambda }^{-1}{)}_b^d+{\Lambda }_c^a(d{\Lambda }^{-1}{)}_b^c\text{\hspace{1em}(3.45)}$$

第二项反映了这样一个事实：原来的联络的分量(connection component) ${\Gamma }_{\nu \rho }^{\mu }$ 并不像张量那样变换，而是多出一项，其中含有坐标变换 (3.13) 的导数。如今这一项表现为多出的一项，其中含有局部洛伦兹变换的导数。

计算联络1-形式有一种相当简单的办法，至少对无挠联络是如此。这来自两个嘉当结构关系中的第一个：

命题

对于无挠联络，

$$d{\hat{\theta }}^a+{\omega }_b^a\wedge {\hat{\theta }}^b=0\text{\hspace{1em}(3.46)}$$

证明

我们先看第二项，

$${\omega }_b^a\wedge {\hat{\theta }}^b={\Gamma }_{cb}^a(e_{\mu }^{c}d{x}^{\mu })\wedge (e_{\nu }^{b}d{x}^{\nu })$$

分量 ${\Gamma }^a{}_{cb}$ 与坐标基下的分量之间的关系为

$${\Gamma }_{cb}^a=e_{\rho }^a{e}_c^{\mu }\left({\partial }_{\mu }{e}_b^{\rho }+e_b^{\nu }{\Gamma }_{\mu \nu }^{\rho }\right)=e_{\rho }^a{e}_c^{\mu }{\nabla }_{\mu }{e}_b^{\rho }\text{\hspace{1em}(3.47)}$$

因此

$$\begin{array}{rl}& {\omega }_b^a\wedge {\hat{\theta }}^b=e_{\rho }^a{e}_c^{\lambda }{e}_{\mu }^c{e}_{\nu }^b({\partial }_{\lambda }{e}_b^{\rho }+e_b^{\sigma }{\Gamma }_{\lambda \sigma }^{\rho })d{x}^{\mu }\wedge d{x}^{\nu }\\ & =e_{\rho }^a{e}_{\nu }^b{\partial }_{\mu }{e}_b^{\rho }d{x}^{\mu }\wedge d{x}^{\nu }\end{array}$$

其中第二行用到了 $e_c{}^{\lambda }{e}^c{}_{\mu }={\delta }_{\mu }^{\lambda }$，以及联络是无挠的这一事实，即 ${\Gamma }_{[\mu \nu ]}^{\rho }=0$。现在再利用 $e_{\nu }^b{e}_b{}^{\rho }={\delta }_{\nu }^{\rho },\mathrm{so}{e}_{\nu }^b{\partial }_{\mu }{e}_b{}^{\rho }=-e_b{}^{\rho }{\partial }_{\mu }{e}_{\nu }^b$，我们有

$$\begin{array}{rl}& {\omega }_b^a\wedge {\hat{\theta }}^b=-e_{\rho }^a{e}_b^{\rho }{\partial }_{\mu }{e}_{\nu }^{b}d{x}^{\mu }\wedge d{x}^{\nu }\\ & =-{\partial }_{\mu }{e}_{\nu }^{a}d{x}^{\mu }\wedge d{x}^{\nu }=-d{\hat{\theta }}^a\end{array}$$

这就完成了证明。

以上讨论针对的是一般联络。对于列维-奇维塔联络，我们有一个更强的结论

命题

对于列维-奇维塔联络，联络1-形式是反对称的

$${\omega }_{ab}=-{\omega }_{ba}\text{\hspace{1em}(3.48)}$$

证明

这可由分量 ${\Gamma }_{bc}^a$ 的显式表达式 (3.47) 推出。将指标降下来，我们得到

$${\Gamma }_{abc}={\eta }_{ad}{e}_{\rho }^d{e}_b^{\mu }{\nabla }_{\mu }{e}_c^{\rho }=-{\eta }_{ad}{e}_c^{\rho }{e}_b^{\mu }{\nabla }_{\mu }{e}_{\rho }^d=-{\eta }_{cf}{e}_{\sigma }^f{e}_b^{\mu }{\nabla }_{\mu }({\eta }_{ad}{g}^{\rho \sigma }{e}_{\rho }^d)$$

其中在最后一个等式中，我们利用了联络与度规相容这一事实，从而可以在协变导数内部提升 $e_{\rho }^d$ 的指标。完成推导后，我们便得到

$${\Gamma }_{abc}=-{\eta }_{cf}{e}_{\rho }^f{e}_b^{\mu }{\nabla }_{\mu }{e}_a^{\rho }=-{\Gamma }_{cba}$$

结果随即由定义 ${\omega }_{ab}={\Gamma }_{acb}{\hat{\theta }}^c$ 得出

嘉当结构关系 式 (3.46) 连同反对称条件 (3.48)，给出了一种快速计算自旋联络的方法。做一些计数来考察这两个方程如何唯一地确定 ${\omega }^a{}_b$ 是很有启发性的。特别地，由于 ${\omega }_{ab}$ 是反对称的，人们可能会认为它有 $\frac{1}{2}n(n-1)$ 个独立分量，而这些分量不可能由 n 个嘉当结构关系 式 (3.46) 确定。但这种想法忽略了 ${\omega }_{ab}$ 并非数，而是1-形式。因此 ${\omega }_{ab}$ 中真正的分量数目是 $n\times \frac{1}{2}n(n-1)$。此外，嘉当结构方程是一个联系着2-形式的方程，而每个 2-形式都有 $\frac{1}{2}n(n-1)$ 个分量。这意味着它实际上是 $n\times \frac{1}{2}n(n-1)$ 个方程。可见计数确实吻合，这两个方程唯一地确定了自旋联络。

曲率2-形式

我们可以在非坐标基中计算黎曼张量的分量，

$$R_{bcd}^a=R({\hat{\theta }}^a;{\hat{e}}_c,{\hat{e}}_d,{\hat{e}}_b)$$

最后两个指标的反对称性 $R^a{}_{bcd}=-R^a{}_{bdc}$ 使得它很适合被写成一个由2-形式构成的矩阵，

$${\mathcal{R}}_b^a=\frac{1}{2}{R}_{bcd}^a{\hat{\theta }}^c\wedge {\hat{\theta }}^d\text{\hspace{1em}(3.49)}$$

两条嘉当结构关系中的第二条指出，这可以用曲率1-形式写成

$${\mathcal{R}}_b^a=d{\omega }_b^a+{\omega }_c^a\wedge {\omega }_b^c\text{\hspace{1em}(3.50)}$$

这一证明是机械的，而且有些繁琐。在此过程中定义量 $[{\hat{e}}_a,{\hat{e}}_b]:=:f_{ab}^{:c}{\hat{e}}_c$ 会有所帮助，因为它们同时出现在等式两边。

3.4.3 一个例子：施瓦西度规

联络1-形式与曲率2-形式为计算与某个度规相联系的曲率张量提供了一种巧妙的方法。原因在于，计算外微分比计算协变导数要省力得多。我们将对如下形式的度规说明这一点：

$$d{s}^2=-f(r{)}^{2}d{t}^2+f(r{)}^{-2}d{r}^2+r^2(d{\theta }^2+{\sin }^2\theta d{\varphi }^2)\text{\hspace{1em}(3.51)}$$

在后续的应用中，对具有一般 $f(r)$ 的这一度规计算黎曼张量将会很有用。不过，如果我们只想限于施瓦西度规，可以取

$$f(r)=\sqrt{1-\frac{2GM}{r}}\text{\hspace{1em}(3.52)}$$

非坐标1-形式的基为

$${\hat{\theta }}^0=fdt,{\hat{\theta }}^1=f^{-1}dr,{\hat{\theta }}^2=rd\theta ,{\hat{\theta }}^3=r\sin \theta d\varphi \text{\hspace{1em}(3.53)}$$

注意，这些1-形式 $\hat{\theta }$ 不应与角坐标 $\theta !$ 相混淆。在这个基下，度规取简单的形式

$$d{s}^2={\eta }_{ab}{\hat{\theta }}^a\otimes {\hat{\theta }}^b$$

现在我们来计算 $d{\hat{\theta }}^a$。在计算上，这很直接。特别地，它比计算协变导数要容易得多，因为不必操心繁琐的联络。这些外微分就是

$$d{\hat{\theta }}^0=f^{\prime }dr\wedge dt,d{\hat{\theta }}^1=0,d{\hat{\theta }}^2=dr\wedge d\theta ,d{\hat{\theta }}^3=\sin \theta dr\wedge d\varphi +r\cos \theta d\theta \wedge d\varphi$$

于是可以利用第一嘉当结构关系 $d{\hat{\theta }}^a=-{\omega }^a{}_b\wedge {\hat{\theta }}^b$ 读出联络1-形式。第一个方程告诉我们 ${\omega }^0{}_1=f^{\prime }fdt=f^{\prime }{\hat{\theta }}^0$。接着利用反对称性 (3.48)，并借助闵可夫斯基度规 $\eta =\mathrm{diag}(-1,+1,+1,+1)$ 升降指标，得到 ${\omega }^1{}_0={\omega }_{10}=-{\omega }_{01}={\omega }^0{}_1$。再由嘉当结构方程给出 $d{\hat{\theta }}^1=-{{\omega }^1}_0\wedge {\hat{\theta }}^0+...$，而 ${\omega }^1\circ \wedge {\hat{\theta }}^0$ 这一项由于正比于 ${\hat{\theta }}^0\wedge {\hat{\theta }}^0=0$ 而恰好消失。

接下来，我们用 ${\omega }^2{}_1=fd\theta =(f/r){\hat{\theta }}^2$ 来解 $d{\hat{\theta }}^2$ 的嘉当结构方程。由反对称性 (3.48) 可得 ${\omega }^1{}_2=-{\omega }^2{}_1=-(f/r){\hat{\theta }}^2$，这同样使 $d{\hat{\theta }}^1$ 结构方程中的相应项消失。

最后，$d{\hat{\theta }}^3$ 方程提示我们取 ${\omega }^3{}_1=f$ sin $\theta d\varphi =(f/r){\hat{\theta }}^3$ 以及 ${\omega }^3{}_2=$ cos $\theta d\varphi =(1/r)$ cot $\theta {\hat{\theta }}^3$。这些反对称的伙伴 ${\omega }^1{}_3=-{\omega }^3{}_1$ 与 ${\omega }^2{}_3=-{\omega }^3{}_2$ 不会破坏 $d{\hat{\theta }}^1$ 和 $d{\hat{\theta }}^2$ 的嘉当结构方程，于是大功告成。最终结果为

$$\begin{array}{rl}{\omega }_1^0={\omega }_0^1=f^{\prime }{\hat{\theta }}^0,& {\omega }_1^2=-{\omega }_2^1=\frac{f}{r}{\hat{\theta }}^2\\ {\omega }_1^3=-{\omega }_3^1=\frac{f}{r}{\hat{\theta }}^3,& {\omega }_2^3=-{\omega }_3^2=\frac{\cot \theta }{r}{\hat{\theta }}^3\end{array}$$

现在我们可以用它来计算曲率2-形式。我们将重点关注

$${\mathcal{R}}_1^0=d{\omega }_1^0+{\omega }_c^0\wedge {\omega }_1^c$$

我们有

$$d{\omega }_1^0=f^{\prime }d{\hat{\theta }}^0+f^{\prime \prime }dr\wedge {\hat{\theta }}^0=((f^{\prime }{)}^2+f^{\prime \prime }f)dr\wedge dt$$

曲率2-形式中的第二项为 ${\omega }^0{}_c\wedge {\omega }^c{}_1={\omega }^0{}_1\wedge {\omega }^1{}_1=0$。于是只剩下

$${\mathcal{R}}_1^0=\left((f^{\prime }{)}^2+f^{\prime \prime }f\right)dr\wedge dt=\left((f^{\prime }{)}^2+f^{\prime \prime }f\right){\hat{\theta }}^1\wedge {\hat{\theta }}^0$$

其余曲率2-形式可用类似方法算出。现在，利用(3.49)，我们就能读出黎曼张量在非坐标基下的分量。

（应当记住，$R_{101}^0$与$R_{110}^0=-R_{101}^0$都会给出贡献，它们抵消了(3.49)中的因子$1/2$。）将指标降下来之后，我们发现黎曼张量的非零分量为

$$\begin{array}{rl}& R_{0101}=f{f}^{\prime \prime }+(f^{\prime }{)}^2\\ & R_{0202}=\frac{f{f}^{\prime }}{r}\\ & R_{0303}=\frac{f{f}^{\prime }}{r}\\ & R_{1212}=-\frac{f{f}^{\prime }}{r}\\ & R_{1313}=-\frac{f{f}^{\prime }}{r}\\ & R_{2323}=\frac{1-f^2}{r^2}\end{array}$$

我们也可以利用下式把它换回坐标$x^{\mu }=(t,r,\theta ,\varphi )$：

$$R_{\mu \nu \rho \sigma }=e_{\mu }^a{e}_{\nu }^b{e}_{\rho }^c{e}_{\sigma }^d{R}_{abcd}$$

在本例中这尤其容易，因为定义1-形式(3.53)的矩阵${e_a}^{\mu }$是对角的。于是我们有

$$\begin{array}{rl}& R_{trtr}=f{f}^{\prime \prime }+(f^{\prime }{)}^2\\ & R_{t\theta t\theta }=f^3{f}^{\prime }r\\ & R_{t\varphi t\varphi }=f^3{f}^{\prime }r{\sin }^2\theta \\ & R_{r\theta r\theta }=-\frac{f^{\prime }r}{f}\\ & R_{r\varphi r\varphi }=-\frac{f^{\prime }r}{f}{\sin }^2\theta \\ & R_{\theta \varphi \theta \varphi }=(1-f^2)r^2{\sin }^2\theta \end{array}\text{\hspace{1em}(3.54)}$$

最后，若想特化到由 (3.52) 给出 $f(r)$ 的施瓦西度规，则有

$$\begin{array}{rl}& R_{trtr}=-\frac{2GM}{r^3}\\ & R_{t\theta t\theta }=\frac{GM(r-2GM)}{r^2}\\ & R_{t\varphi t\varphi }=\frac{GM(r-2GM)}{r^2}{\sin }^2\theta \\ & R_{r\theta r\theta }=-\frac{GM}{r-2GM}\\ & R_{r\varphi r\varphi }=-\frac{GM{\sin }^2\theta }{r-2GM}\\ & R_{\theta \varphi \theta \varphi }=2GMr{\sin }^2\theta \end{array}$$

尽管计算稍显冗长，但事实证明，它比先算出列维-奇维塔联络、再一路推算得到黎曼张量分量要快得多。

3.4.4 与杨-米尔斯理论的关系

众所周知，引力是一种几何的力。然而，其他各种力同样是几何的。只不过其背后的几何并非时空的几何，而是所谓的纤维丛(fibre bundle)。

本课程不介绍纤维丛，但我们可以清楚地展示：广义相对论中出现的结构与描述其他各种力的结构之间有着明显的相似之处，后者由麦克斯韦理论及其推广——杨-米尔斯理论——所描述。

杨-米尔斯理论以某个李群 G 为基础，在本次讨论中我们取 G 为 $SU(N)$ 或 $U(N)$。若取 $G=U(1)$，则杨-米尔斯理论就退化为麦克斯韦理论。该理论用一个物理学家称之为规范势(gauge potential)的对象来描述。这是一个时空“矢量” $A_{\mu }$，它取值于 G 的李代数之中。说得更具体些，它的每个分量都是一个反厄米的 $N\times N$ 矩阵 $(A_{\mu }{)}_b^a,$，其中 $a,b=1,\dots ,N$。事实上，正如我们在上面看到的，这个“矢量”实际上是一个1-形式。其新颖之处在于，它是一个取值于李代数的1-形式。

数学家不把 $A_{\mu }$ 称为规范势，而是称之为（纤维丛上的）联络(connection)。如果我们考察 $A_{\mu }$ 在规范变换下如何变化，这一联系就会变得更加清楚：

$${\tilde{A}}_{\mu }=\Omega A_{\mu }{\Omega }^{-1}+\Omega {\partial }_{\mu }{\Omega }^{-1}$$

其中 $\Omega (x)\in G$。这与1-形式联络在局部洛伦兹变换下的变换性质(3.45)完全相同。

与麦克斯韦理论一样，在杨-米尔斯理论中我们也要构造一个场强。用分量写出，它由下式给出

$$(F_{\mu \nu }{)}_b^a={\partial }_{\mu }(A_{\nu }{)}_b^a-{\partial }_{\nu }(A_{\mu }{)}_b^a+[A_{\mu },A_{\nu }{]}_b^a$$

或者，用形式的语言来说，场强成为

$$F_b^a=d{A}_b^a+A_c^a\wedge A_b^c$$

这里同样与(3.50)中引入的曲率2-形式有着明显的相似之处。数学家把杨-米尔斯场强称为“曲率(curvature)”。

构造杨-米尔斯场强的一个特别快捷的办法，是取两个协变导数的对易子。容易验证

$$[{\mathcal{D}}_{\mu },{\mathcal{D}}_{\nu }]=F_{\mu \nu }$$

其中我在等式两边都省略了 $a,b$ 指标。这就是里奇恒等式(3.16)在规范理论中的版本：对于无挠联络，有

$$[{\nabla }_{\mu },{\nabla }_{\nu }]Z^{\sigma }=R_{\rho \mu \nu }^{\sigma }{Z}^{\rho }$$

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