5.2 引力波

很久很久以前，在一个遥远的星系里，两个黑洞发生了碰撞。这里的“很久很久以前”指的是13亿年前，而“遥远的”则是指大约13亿光年的距离。

说这是一次剧烈的事件，其实还算是轻描淡写。其中一个黑洞的质量约为太阳的35倍，另一个约为太阳的30倍。它们碰撞后并合，形成一个质量约为太阳62倍的黑洞。而 $30+35\ne 62$。这意味着在碰撞过程中有一部分质量——等价地说，一部分能量——消失了。在极短的一瞬间，这对黑洞释放出了相当于三个太阳质量的能量。

事实证明，这是相当巨大的能量。举例来说，核弹只是把一小把原子的质量转化为能量。而这里我们谈论的是太阳质量，不是原子质量。事实上，在那极短的一瞬间，这两个碰撞的黑洞所释放的能量，比可见宇宙中所有星系里所有恒星的能量总和还要多。

但这个故事中最令人惊叹的部分，是我们如何得知这次碰撞确实发生过。这是因为，2015年9月14日上午9点30分（英国时间），我们感受到了它。黑洞的碰撞如此剧烈，以至于造成了巨大的时空微扰。就像往池塘里扔一块石头，这些涟漪以引力波的形式向外传播。这些涟漪始于13亿年前，大约正是地球上多细胞生命形成的时候。随后它们以光速穿越宇宙。大约5万年前，这些涟漪抵达了我们的银河系的外缘，那时人类还和尼安德特人生活在一起。此后的5万年，恰好给了我们足够的时间：结成狩猎采集部落，发展出由虚假宗教维系的凝聚社会，发明复杂的语言和文字，发现数学，理解支配时空连续统的理论，并最终造出一台能够探测这些涟漪的机器，及时把它打开，让引力波击中南极、向上穿过地球，触发探测器。

本节的目的，就是用方程来讲述上面这个故事。

5.2.1 求解波动方程

引力波在真空中传播，即不存在任何源。这意味着我们需要求解线性化方程

$$\square {\bar{h}}_{\mu \nu }=0\text{\hspace{1em}(5.17)}$$

引力波便给出了其中一个解

$${\bar{h}}_{\mu \nu }=\mathrm{Re}\left(H_{\mu \nu }{e}^{i{k}_{\rho }{x}^{\rho }}\right)\text{\hspace{1em}(5.18)}$$

这里 $H_{\mu \nu }$ 是一个复的对称偏振矩阵，而波矢 $k^{\mu }$ 是实的四维矢量。通常书写这类解时我们比较偷懒，会把右端的 Re 略去，默认取实部。只要波矢是类光的，这个平面波拟设就满足式 (5.17)，

$$k_{\mu }{k}^{\mu }=0$$

这告诉我们，引力波和光波一样以光速传播。若把波矢写成 $k^{\mu }=(\omega ,\mathbf{k})$，其中 ω 是频率，则该条件变为 $\omega =\pm |\mathbf{k}|$

由于波动方程是线性的，我们可以把任意多个形如 (5.18) 的不同波叠加起来。这样便构造出了波动方程最一般的解。

乍看之下，偏振矩阵 $H_{\mu \nu }$ 有 10 个分量。但我们还得考虑规范问题。拟设 (5.18) 只有在满足下式时才满足德东德尔规范条件 ${\partial }^{\mu }{\bar{h}}_{\mu \nu }=0$

$$k^{\mu }{H}_{\mu \nu }=0\text{\hspace{1em}(5.19)}$$

这说明偏振与传播方向相垂直。此外，选定德东德尔规范并没有用尽我们作规范变换的能力。如果我们再作一次规范变换 $h_{\mu \nu }\to h_{\mu \nu }+{\partial }_{\mu }{\xi }_{\nu }+{\partial }_{\nu }{\xi }_{\mu }$，那么

$${\bar{h}}_{\mu \nu }\to {\bar{h}}_{\mu \nu }+{\partial }_{\mu }{\xi }_{\nu }+{\partial }_{\nu }{\xi }_{\mu }-{\partial }^{\rho }{\xi }_{\rho }{\eta }_{\mu \nu }$$

只要满足 ${\partial }^{\mu }{\bar{h}}_{\mu \nu }=0$，这一变换就使解仍保持在德东德尔规范之中，即

$$\square {\xi }_{\nu }=0$$

特别地，我们可以取

$${\xi }_{\mu }={\lambda }_{\mu }{e}^{i{k}_{\rho }{x}^{\rho }}$$

它满足 $\square {\xi }_{\mu }=0$，因为 $k_{\rho }{k}^{\rho }=0$。这类规范变换把偏振矩阵变为

$$H_{\mu \nu }\to H_{\mu \nu }+i(k_{\mu }{\lambda }_{\nu }+k_{\nu }{\lambda }_{\mu }-k^{\rho }{\lambda }_{\rho }{\eta }_{\mu \nu })\text{\hspace{1em}(5.20)}$$

以这种方式相互差别的偏振矩阵描述的是同一个引力波。现在我们选取规范变换 ${\lambda }_{\mu }$，以便进一步令

$$H_{0\mu }=0\mathrm{and}{H}_{\mu }^{\mu }=0\text{\hspace{1em}(5.21)}$$

这些条件与 (5.19) 合在一起，称为横向无迹规范(transverse traceless gauge)。由于 H 是无迹的，这一规范选择的优点是 $h_{\mu \nu }={\bar{h}}_{\mu \nu }$

至此我们可以作一些计数。偏振矩阵$H_{\mu \nu }$有 10 个分量。德东德尔条件(5.19)给出 4 个约束，而又有 4 个规范变换(5.20)是剩余的。结论是，$H_{\mu \nu }$中只有 $10-4-4=2$ 个独立的偏振。

（在麦克斯韦理论中有类似的计数。$A_{\mu }$的偏振看似有 4 个分量。洛伦兹规范${\partial }^{\mu }{A}_{\mu }=0$消去其中一个，而一个剩余的规范变换又消去另一个，最后剩下光的两个熟悉的偏振态。）

一个例子

考虑一个沿 z 方向传播的波。其波矢为

$$k^{\mu }=(\omega ,0,0,\omega )$$

条件(5.19)给出$H_{0\nu }+H_{3\nu }=0$。附加的约束(5.21)则把偏振矩阵限制为

$$H_{\mu \nu }=\left(\begin{array}{cccc}0& 0& 0& 0\\ 0& H_{+}& H_X& 0\\ 0& H_X& -H_{+}& 0\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right)\text{\hspace{1em}(5.22)}$$

$H_{+}$和$H_X$都可以是复数；在计算(5.18)中的度规张量时我们取其实部。这里我们明确地看到了两个偏振态(polarisation state)$H_{+}$和$H_X$。下面我们将看到如何解释这两种偏振。

5.2.2 随波荡漾

当一列引力波从你身旁经过时，你会有什么感觉？如果你乐意把自己建模为一个沿测地线运动的点粒子，那么答案很简单：你什么也感觉不到。这由等效原理推出。相反，关键在于你相对于邻居的位置。

这种相对论性的物理由我们在3.3.4 节中遇到的测地偏离方程描述。考虑一族测地线$x^{\mu }(\tau ,s)$，其中 s 标记不同的测地线，$\tau$ 是沿任一条测地线的仿射参数。与这些测地线相切的矢量场就是四维速度

$$u^{\mu }={\frac{\partial x^{\mu }}{\partial \tau }|}_s$$

与此同时，位移矢量$S^{\mu }$把我们带到相邻的测地线之间，

$$S^{\mu }={\frac{\partial x^{\mu }}{\partial s}|}_{\tau }$$

我们此前已推导出测地偏离式 (3.36)。

$$\frac{D^2{S}^{\mu }}{D{\tau }^2}=R_{\rho \sigma \nu }^{\mu }{u}^{\rho }{u}^{\sigma }{S}^{\nu }$$

我们将考虑这样的情形：在没有引力波时，我们的这族测地线安稳地处于一个静止参考系中，且$u^{\mu }=(1,0,0,0)$。当引力波经过时，测地线将变为

$$u^{\mu }=(1,0,0,0)+\mathcal{O}(h)$$

幸运的是，我们无需计算其中的细节。我们只需在度规扰动$h,$的领头阶计算偏离，而黎曼张量本身已是$\mathcal{O}(h)$量级，这意味着其余各项中的修正都可以忽略。同样，我们可以把固有时$\tau$换成坐标时t。于是得到

$$\frac{d^2{S}^{\mu }}{d{t}^2}=R_{00\nu }^{\mu }{S}^{\nu }$$

线性化情形下的黎曼张量此前已在(5.3)中算出

$$R_{\rho \sigma \nu }^{\mu }=\frac{1}{2}{\eta }^{\mu \lambda }({\partial }_{\sigma }{\partial }_{\rho }{h}_{\nu \lambda }-{\partial }_{\sigma }{\partial }_{\lambda }{h}_{\nu \rho }-{\partial }_{\nu }{\partial }_{\rho }{h}_{\sigma \lambda }+{\partial }_{\nu }{\partial }_{\lambda }{h}_{\sigma \rho })$$

利用$h_{\mu 0}=0$，我们所需的那个分量就简单地是

$$R_{00\nu }^{\mu }=\frac{1}{2}{\partial }_0^2{h}_{\nu }^{\mu }$$

于是我们的测地偏离方程为

$$\frac{d^2{S}^{\mu }}{d{t}^2}=\frac{1}{2}\frac{d^2{h}_{\nu }^{\mu }}{d{t}^2}{S}^{\nu }\text{\hspace{1em}(5.23)}$$

我们看到，沿比如z方向传播、偏振矢量为(5.22)的引力波既不影响$S^0$，也不影响$S^3$。它对测地线的唯一影响发生在$(x,y)$平面内，即垂直于传播方向的横向。为简单起见，我们将在$z=0$平面内求解这个方程。

$H_{+}$偏振：若在(5.22)中取$H_X=0$，则测地线偏离式 (5.23)变为

$$\frac{d^2{S}^1}{d{t}^2}=-\frac{{\omega }^2}{2}{H}_{+}{e}^{i\omega t}{S}^1\mathrm{and}\frac{d^2{S}^2}{d{t}^2}=+\frac{{\omega }^2}{2}{H}_{+}{e}^{i\omega t}{S}^2$$

我们可以对 $H_{+}$ 作微扰求解。只保留 $\mathcal{O}(h)$ 阶的项，得到

$$S^1(t)=S^1(0)\left(1+\frac{1}{2}{H}_{+}{e}^{i\omega t}+\dots \right)\text{ and }{S}^2(t)=S^2(0)\left(1-\frac{1}{2}{H}_{+}{e}^{i\omega t}+\dots \right)\text{\hspace{1em}(5.24)}$$

其中，正如我们前面提到的，应当取右端的实部。（回忆一下，$H_{+}$ 也可以是复数。）

由这些解，我们可以确定经过的波对测地线的影响方式。把位移矢量 $S^{\mu }$ 看作从原点到相邻测地线的距离。我们将考虑一族相邻的测地线，它们对应于一群粒子，这些粒子在 $t=0,$ 时刻围绕半径为 R 的圆排列。这意味着我们有满足 $S^1(0{)}^2+S^2(0{)}^2=R^2$ 的初始条件 $S^a(t=0)$。

解 (5.24) 告诉我们这些测地线如何演化。两个方程之间的相对负号意味着：当测地线在比如 $x^1=x$ 方向上向外运动时，它们在 $x^2=y$ 方向上向内运动，反之亦然。最终结果是，随着时间推移，这些粒子将从圆演化为椭圆，然后再变回圆，其形变方式如下：

$H_X$ 偏振：若在 (5.22) 中取 $H_{+}=0$，则测地线偏离 式 (5.23) 变为

$$\frac{d^2{S}^1}{d{t}^2}=-\frac{{\omega }^2}{2}{H}_X{e}^{i\omega t}{S}^2\mathrm{and}\frac{d^2{S}^2}{d{t}^2}=-\frac{{\omega }^2}{2}{H}_X{e}^{i\omega t}{S}^1$$

我们同样对 $H_X$ 作微扰求解。得到

$$S^1(t)=S^1(0)+\frac{1}{2}{S}^2(0)H_X{e}^{i\omega t}+\dots \mathrm{and}{S}^2(t)=S^2(0)+\frac{1}{2}{S}^1(0)H_X{e}^{i\omega t}+\dots$$

位移与前面相同，只是旋转了 $45^{\circ }$。（要看出这一点，只需注意位移 $S^1(t)\pm S^2(t)$ 与 (5.24) 具有相同的函数形式。）这意味着这一次测地线的位移看起来是这样的：

我们也可以取各偏振态的线性组合。把上面两种偏振相加，就得到一种轴不断旋转的椭圆位移。这类似于光的圆偏振。

引力波引起的位移在旋转 π 下保持不变。这与光的偏振形成对比：光的偏振由矢量描述，因而只在 $2\pi$ 旋转下保持不变。这反映了引力子的自旋为 2，而光子的自旋为 1。

引力波探测器

引力波探测器(gravitational wave detector)就是干涉仪。它让光在两条臂之间来回反射，两端的反射镜则充当试验质量。

如果引力波垂直于探测器所在平面传播，它就会使一条臂缩短、另一条臂伸长。当两臂分别沿 x 轴和 y 轴放置时，长度的最大变化可由(5.24)读出，

$$L^{\prime }=L\left(1\pm \frac{H_{+}}{2}\right)\Rightarrow \frac{\delta L}{L}=\frac{H_{+}}{2}$$

要对此作一个粗略估计，我们需要知道，对于任何合理的天体物理源，$H_{+}$ 预计有多大。我们将在5.3.2 节中讨论这一点。结果表明，它其实并不很大：典型源的 $H_{+}\sim 10^{-21}$。LIGO 探测器每条臂的长度约为 $L\sim 3$ km，这意味着我们必须探测到 $\delta L\sim 10^{-18}\mathrm{m}$ 的长度变化。这似乎是一个小得离谱的数字：它比质子的半径还小，比干涉仪所用光的波长还小约 $10^{12}$ 倍。尽管如此，探测器的灵敏度足以胜任这一任务，LIGO 天文台于 2015 年首次探测到了引力波。为此，该合作组的三位成员获得了 2017 年诺贝尔奖。此后，LIGO 和 VIRGO 探测器又观测到了大量涉及黑洞和中子星的并合事件。

5.2.3 精确解

我们已经找到了线性化爱因斯坦方程的一个波状解。对于沿（比如说）正 z 方向传播的波，其度规张量具有如下形式

$$d{s}^2=-d{t}^2+({\delta }_{ab}+h_{ab}(z-t))d{x}^{a}d{x}^b+d{z}^2\text{\hspace{1em}(5.25)}$$

其中 $a,b=1,2$ 指标取遍与波的传播方向垂直的各个空间方向。由于波动方程是线性的，任何函数 $h_{ab}(z-t)$ 都是线性化爱因斯坦方程的解；我们在(5.18)中给出的形式，只不过是一般解的傅里叶分解。

由于引力波极其微弱，对于我们要计算的引力波的任何性质，线性化度规张量都完全够用。尽管如此，人们自然会问：这个解能否推广到完整的非线性爱因斯坦方程？颇为出人意料的是，答案是肯定的。

对于沿正 z 方向传播的波，我们首先引入光锥坐标

$$u=t-z,v=t+z$$

然后我们考虑平面波拟设，它有时被称为布林克曼度规

$$d{s}^2=-dudv+d{x}^{a}d{x}^a+H_{ab}(u)x^a{x}^{b}d{u}^2$$

注意，我们的线性化引力波(5.25)并不具有这种形式；需要经过某种（略显繁琐的）坐标变换，才能在这两个度规张量之间转换。可以证明，对于任何无迹的度规张量 $H_{ab}$，布林克曼度规都是里奇平坦的，因而满足真空爱因斯坦方程

$$R_{\mu \nu }=0\iff H_a^a(u)=0$$

一般的度规同样具有两个独立的偏振态，

$$H_{ab}(u)=\left(\begin{array}{cc}{H}_{11}(u)& H_{12}(u)\\ H_{12}(u)& -H_{11}(u)\end{array}\right)$$

在非线性偏微分方程中找到依赖于任意函数（如 $H_{11}(u)$ 和 $H_{12}(u)$）的解，是不寻常的。布林克曼度规是一个相当特殊的例外。

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来源版本：michaelmas-2019-source-20260923

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