5.1 线性化理论

接下来，我们需要由度规 (5.1) 构造出各种曲率张量。对每一个张量，我们都只在 h 的线性阶下进行计算。在最低阶近似下，逆度规张量为

$$g^{\mu \nu }={\eta }^{\mu \nu }-h^{\mu \nu }$$

于是克里斯托费尔符号为

$${\Gamma }_{\nu \rho }^{\sigma }=\frac{1}{2}{\eta }^{\sigma \lambda }\left({\partial }_{\nu }{h}_{\lambda \rho }+{\partial }_{\rho }{h}_{\nu \lambda }-{\partial }_{\lambda }{h}_{\nu \rho }\right)\text{\hspace{1em}(5.2)}$$

黎曼张量为

$$R_{\rho \mu \nu }^{\sigma }={\partial }_{\mu }{\Gamma }_{\nu \rho }^{\sigma }-{\partial }_{\nu }{\Gamma }_{\mu \rho }^{\sigma }+{\Gamma }_{\nu \rho }^{\lambda }{\Gamma }_{\mu \lambda }^{\sigma }-{\Gamma }_{\mu \rho }^{\lambda }{\Gamma }_{\nu \lambda }^{\sigma }$$

ΓΓ 项是 $h,$ 的二阶项，因此在线性阶下我们有

$$\begin{array}{rl}& R_{\rho \mu \nu }^{\sigma }={\partial }_{\mu }{\Gamma }_{\nu \rho }^{\sigma }-{\partial }_{\nu }{\Gamma }_{\mu \rho }^{\sigma }\\ & =\frac{1}{2}{\eta }^{\sigma \lambda }\left({\partial }_{\mu }{\partial }_{\rho }{h}_{\nu \lambda }-{\partial }_{\mu }{\partial }_{\lambda }{h}_{\nu \rho }-{\partial }_{\nu }{\partial }_{\rho }{h}_{\mu \lambda }+{\partial }_{\nu }{\partial }_{\lambda }{h}_{\mu \rho }\right)\end{array}\text{\hspace{1em}(5.3)}$$

于是里奇张量为

$$R_{\mu \nu }=\frac{1}{2}\left({\partial }^{\rho }{\partial }_{\mu }{h}_{\nu \rho }+{\partial }^{\rho }{\partial }_{\nu }{h}_{\mu \rho }-\square h_{\mu \nu }-{\partial }_{\mu }{\partial }_{\nu }h\right)$$

其中 $h=h^{\mu }{}_{\mu }$ 是 $h_{\mu \nu }$ 的迹，$\square ={\partial }^{\mu }{\partial }_{\mu }$ 为达朗贝尔算子。里奇标量为

$$R={\partial }^{\mu }{\partial }^{\nu }{h}_{\mu \nu }-\square h\text{\hspace{1em}(5.4)}$$

等到我们写出爱因斯坦张量时，已经积累起相当多的项了

$$G_{\mu \nu }=\frac{1}{2}[{\partial }^{\rho }{\partial }_{\mu }{h}_{\nu \rho }+{\partial }^{\rho }{\partial }_{\nu }{h}_{\mu \rho }-\square h_{\mu \nu }-{\partial }_{\mu }{\partial }_{\nu }h-({\partial }^{\rho }{\partial }^{\sigma }{h}_{\rho \sigma }-\square h){\eta }_{\mu \nu }]\text{\hspace{1em}(5.5)}$$

完整的爱因斯坦张量满足比安基恒等式 ${\nabla }^{\mu }{G}_{\mu \nu }=0$。对于线性化爱因斯坦张量，该式约化为

$${\partial }^{\mu }{G}_{\mu \nu }=0\text{\hspace{1em}(5.6)}$$

直接验证可知 (5.5) 确实满足这一关系。

于是爱因斯坦方程就变成了一组线性但略显复杂的偏微分方程

$${\partial }^{\rho }{\partial }_{\mu }{h}_{\nu \rho }+{\partial }^{\rho }{\partial }_{\nu }{h}_{\mu \rho }-\square h_{\mu \nu }-{\partial }_{\mu }{\partial }_{\nu }h-({\partial }^{\rho }{\partial }^{\sigma }{h}_{\rho \sigma }-\square h){\eta }_{\mu \nu }=16\pi G{T}_{\mu \nu }\text{\hspace{1em}(5.7)}$$

其中，为保持一致性，源 $T_{\mu \nu }$ 也必须足够小。该方程的左边应看作作用在 $h_{\mu \nu }$ 上的一个二阶线性微分算子。这个算子称为利赫内罗维奇算子(Lichnerowicz operator)。

菲尔兹-泡利作用量

线性化的运动方程可以由作用量原理导出，这一作用量最早由菲尔兹与泡利写出，

$$S_{FP}=\frac{1}{8\pi G}\int d^{4}x\left[-\frac{1}{4}{\partial }_{\rho }{h}_{\mu \nu }{\partial }^{\rho }{h}^{\mu \nu }+\frac{1}{2}{\partial }_{\rho }{h}_{\mu \nu }{\partial }^{\nu }{h}^{\rho \mu }+\frac{1}{4}{\partial }_{\mu }h{\partial }^{\mu }h-\frac{1}{2}{\partial }_{\nu }{h}^{\mu \nu }{\partial }_{\mu }h\right]\text{\hspace{1em}(5.8)}$$

这就是爱因斯坦-希尔伯特作用量按 h 展开到二阶的结果（其间做了一些分部积分）。（在线性阶，拉格朗日量的展开式等于线性化的里奇标量 (5.4)，而后者是一个全导数。）

对菲尔兹-泡利作用量作变分，并做一些分部积分，可得

$$\begin{array}{rl}\delta S_{FP}& =\frac{1}{8\pi G}\int d^{4}x\left[\frac{1}{2}{\partial }_{\rho }{\partial }^{\rho }{h}_{\mu \nu }-{\partial }^{\rho }{\partial }_{\nu }{h}_{\rho \mu }-\frac{1}{2}{\partial }^{\rho }{\partial }_{\rho }h{\eta }_{\mu \nu }+\frac{1}{2}{\partial }_{\nu }{\partial }_{\mu }h+\frac{1}{2}{\partial }_{\rho }{\partial }_{\sigma }{h}^{\rho \sigma }{\eta }_{\mu \nu }\right]\delta h^{\mu \nu }\\ & =\frac{1}{8\pi G}\int d^{4}x\left[-G_{\mu \nu }\delta h^{\mu \nu }\right]\end{array}\text{\hspace{1em}(5.9)}$$

我们看到，菲尔兹-泡利作用量确实给出了真空爱因斯坦方程 $G_{\mu \nu }=0$。于是我们可以通过在作用量中加入 $T_{\mu \nu }{h}^{\mu \nu }$ 来耦合物质。

5.1.1 规范对称性

线性化引力(linearised gravity)具有一个相当漂亮的规范“对称性”。这一对称性继承自完整理论的微分同胚。为看清这一点，我们重做4.1.3 节中对无穷小微分同胚的讨论。在无穷小坐标变换

$$x^{\mu }\to x^{\mu }-{\xi }^{\mu }(x)$$

之下（其中 $\xi$ 假定很小），度规按(4.6)变化

$$\delta g_{\mu \nu }=({\mathcal{L}}_{\xi }g{)}_{\mu \nu }={\nabla }_{\mu }{\xi }_{\nu }+{\nabla }_{\nu }{\xi }_{\mu }$$

当度规取(5.1)的形式时，这可以看作线性化场 $h_{\mu \nu }$ 的一个变换。由于 ξ 与 h 都很小，协变导数应当用闵可夫斯基空间的零联络来计算。于是有

$$h_{\mu \nu }\to h_{\mu \nu }+({\mathcal{L}}_{\xi }\eta {)}_{\mu \nu }=h_{\mu \nu }+{\partial }_{\mu }{\xi }_{\nu }+{\partial }_{\nu }{\xi }_{\mu }\text{\hspace{1em}(5.10)}$$

这与麦克斯韦理论的规范变换非常相似：在那里规范势按 $A_{\mu }\to A_{\mu }+{\partial }_{\mu }\alpha$ 平移。正如电磁场强 $F_{\mu \nu }=2{\partial }_{[\mu }{A}_{\nu ]}$ 是规范不变的，线性化黎曼张量 $R^{\sigma }{}_{\rho \mu \nu }$ 也是规范不变的。

我们可以很快验证菲尔兹-泡利作用量在规范对称性(5.10)下不变。由(5.9)，我们有

$$\delta S_{FP}=-\frac{1}{8\pi G}\int d^{4}x2G_{\mu \nu }{\partial }^{\mu }{\xi }^{\nu }=+\frac{1}{8\pi G}\int d^{4}x2({\partial }^{\mu }{G}_{\mu \nu }){\xi }^{\nu }=0$$

其中第二个等号处我们用了分部积分（并丢弃了边界项），第三个等号处则用到了线性化比安基恒等式(5.6)。事实上，这不过就是把我们在4.1.3 节中推导比安基恒等式时所用的论证反过来做一遍。

在做电磁学计算时，选取一个规范往往很有用。最常用的规范之一是洛伦兹规范，

$${\partial }^{\mu }{A}_{\mu }=0$$

一旦施加这一条件，麦克斯韦方程${\partial }^{\mu }{F}_{\mu \nu }=j_{\nu }$就化为波动方程

$$\square A_{\nu }=j_{\nu }$$

我们在电磁学课程中已经详细求解过这些方程。

在线性化引力中，我们也可以施加类似的规范固定条件。此时，洛伦兹规范的对应物称为德东德尔规范(de Donder gauge)

$${\partial }^{\mu }{h}_{\mu \nu }-\frac{1}{2}{\partial }_{\nu }h=0\text{\hspace{1em}(5.11)}$$

要看出这一点总是可以做到，可以这样想：假设别人交给你一个度规张量，它不满足德东德尔条件，而是对某些函数 $f_{\nu }$ 满足 ${\partial }^{\mu }{h}_{\mu \nu }-\frac{1}{2}{\partial }_{\nu }h=f_{\nu }$。那么作一个规范变换(5.10)，你的新规范势就会满足 ${\partial }^{\mu }{h}_{\mu \nu }-\frac{1}{2}{\partial }_{\nu }h+\bigsqcup {\xi }_{\nu }=f_{\nu }$。因此，只要选取一个满足 $\square {\xi }_{\mu }=f_{\mu }$ 的规范变换 ${\xi }_{\mu }$，你的新度规张量就会处于德东德尔规范之中。

德东德尔规范条件还有一个版本 (5.11)，可以在完整的非线性理论中写出来。本课程用不到它，但知道它存在是有益的。它就是

$$g^{\mu \nu }{\Gamma }_{\mu \nu }^{\rho }=0\text{\hspace{1em}(5.12)}$$

这不是一个张量方程，因为联络 ${\Gamma }_{\mu \nu }^{\rho }$ 不是张量。的确，如果一个张量在某一组坐标选择下为零，那么它在所有坐标选择下都为零；而规范固定条件的全部意义恰恰在于挑出一组特殊的坐标选择。如果把线性化的克里斯托费尔符号 (5.2) 代入，它就化为德东德尔规范条件。

非线性规范固定条件(5.12)有许多优点。例如，一般而言波算子（在黎曼流形上则称为拉普拉斯算符$△)$）为$\bigsqcup ={\nabla }^{\mu }{\nabla }_{\mu }=g^{\mu \nu }({\partial }_{\nu }{\partial }_{\mu }-{\Gamma }_{\nu \mu }^{\rho }{\partial }_{\rho })$。若固定规范(5.12)，那个恼人的联络项便消失了，于是我们简单地得到$\perp =g^{\mu \nu }{\partial }_{\mu }{\partial }_{\nu }$。在这个规范下计算一个1-形式的协变散度时，也会出现类似的简化：${\nabla }^{\mu }{\omega }_{\mu }=g^{\mu \nu }{\nabla }_{\mu }{\omega }_{\nu }=$ $g^{\mu \nu }({\partial }_{\mu }{\omega }_{\nu }-{\Gamma }_{\mu \nu }^{\rho }{\omega }_{\rho })={\partial }^{\mu }{\omega }_{\mu }$

回到我们的线性化世界，德东德尔规范使爱因斯坦方程式 (5.7)大大简化，它们现在变为

$$\square h_{\mu \nu }-\frac{1}{2}\square h{\eta }_{\mu \nu }=-16\pi G{T}_{\mu \nu }\text{\hspace{1em}(5.13)}$$

定义下式是有用的：

$${\bar{h}}_{\mu \nu }=h_{\mu \nu }-\frac{1}{2}h{\eta }_{\mu \nu }$$

对两边取迹得到$\bar{h}={\eta }^{\mu \nu }{\bar{h}}_{\mu \nu }=-h$，因此只要给定${\bar{h}}_{\mu \nu }$，我们就能轻易地把$h_{\mu \nu }$重构为

$$h_{\mu \nu }={\bar{h}}_{\mu \nu }-\frac{1}{2}\bar{h}{\eta }_{\mu \nu }\text{\hspace{1em}(5.14)}$$

用${\bar{h}}_{\mu \nu },$写出时，德东德尔规范(5.13)下的线性化爱因斯坦方程便再一次化为一组波动方程，

$$\square {\bar{h}}_{\mu \nu }=-16\pi G{T}_{\mu \nu }\text{\hspace{1em}(5.15)}$$

于是我们只需直接搬用电磁学中的解，就能对引力有所了解。稍后我们会看几个例子。

5.1.2 牛顿极限

在某些情形下，广义相对论的线性化方程会退化为我们所熟悉的牛顿引力理论。这些情形出现在物质分布密度很低且运动缓慢的时候。

为简单起见，我们考察一种定态物质分布。这意味着我们取

$$T_{00}=\rho (\mathbf{x})$$

其余分量均为零。由于没有任何量依赖于时间，我们可以在 ${\mathbf{R}}^3:\Theta =-{\partial }_t^2+{\nabla }^2={\nabla }^2$ 中把波算子换成拉普拉斯算符。于是爱因斯坦方程就简单地成为

$${\nabla }^2{\bar{h}}_{00}=-16\pi G\rho (\mathbf{x})\mathrm{and}{\nabla }^2{\bar{h}}_{0i}={\nabla }^2{\bar{h}}_{ij}=0$$

在适当的边界条件下，这些方程的解为

$${\bar{h}}_{00}=-4\Phi (\mathbf{x})\mathrm{and}{\bar{h}}_{0i}={\bar{h}}_{ij}=0\text{\hspace{1em}(5.16)}$$

其中场 Φ 被等同于牛顿引力势，它满足 (0.1)

$${\nabla }^2\Phi =4\pi G\rho$$

利用 (5.14) 把它换算回 $h_{\mu \nu }$ 时，我们借助 $\bar{h}=+4\Phi$ 得到

$$h_{00}=-2\Phi ,h_{ij}=-2\Phi {\delta }_{ij},h_{0i}=0$$

把它代回完整的度规张量 $g_{\mu \nu }={\eta }_{\mu \nu }+h_{\mu \nu }$，就有

$$d{s}^2=-(1+2\Phi )d{t}^2+(1-2\Phi )d\mathbf{x}\cdot d\mathbf{x}$$

若取 $\Phi =-GM/r$，正如对质点所预期的那样，我们会发现它与施瓦西度规 (4.8) 的领头阶展开相符。（其中 $g_{00}$ 项结果是精确的；$g_{ij}$ 项则是 $(1+2\Phi {)}^{-1}.$ 的领头阶泰勒展开。）

早在 1.2 节 中，我们就对弯曲时空作过一番朴素直观的讨论。当时我们已经预见到，牛顿势 Φ 会出现在度规 (1.26) 的 $g_{00}$ 分量中。然而，在求解爱因斯坦方程时我们得知，这必然伴随着 $\Phi$ 在 $g_{ij}$ 分量中的出现。归根结底，这正是我们在 1.3 节 中遇到的、牛顿理论与相对论对光线偏折的预言之间相差因子 2 的原因。

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