3.3 平行移动

至此我们已经认识了联络的若干性质，但还没有解释它为什么叫这个名字。它究竟“联络”了什么？

答案是：联络把流形上不同点处的切空间联系起来，更一般地说，把不同点处的任何张量向量空间联系起来。这种映射称为平行移动(parallel transport)。正如我们前面所强调的，要定义微分，这样的映射是必不可少的。

取一个向量场 X，并考虑与之相关的某条积分曲线 C，其坐标为 $x^{\mu }(\tau )$，使得

$$X^{\mu }{|}_C=\frac{d{x}^{\mu }(\tau )}{d\tau }\text{\hspace{1em}(3.25)}$$

我们说一个张量场 T 沿 C 被平行移动，如果

$${\nabla }_{X}T=0\text{\hspace{1em}(3.26)}$$

设曲线 C 连接两个点 $p\in M$ 与 $q\in M$，则条件 (3.26) 给出了一个从 p 处定义的向量空间到 q 处定义的向量空间的映射。

为说明这一点，考虑第二个向量场 Y 的平行移动。写成分量形式，条件 (3.26) 即为

$$X^{\nu }\left({\partial }_{\nu }{Y}^{\mu }+{\Gamma }_{\nu \rho }^{\mu }{Y}^{\rho }\right)=0$$

若我们现在在曲线 $C,$ 上计算它，就可以把 $Y^{\mu }=Y^{\mu }(x(\tau ))$ 看作满足

$$\frac{d{Y}^{\mu }}{d\tau }+X^{\nu }{\Gamma }_{\nu \rho }^{\mu }{Y}^{\rho }=0\text{\hspace{1em}(3.27)}$$

这是一组耦合的常微分方程。给定某一点（比如 $\tau =0$，对应于点 $p,$）处的初始条件，就可以解出这些方程，从而得到沿该曲线上每一点处的唯一向量。

平行移动依赖于路径。它既依赖于联络，也依赖于底层的路径，而在此情形下，这条路径由向量场 X 刻画。

这是我们第二次用向量场 X 来构造流形上不同点处张量之间的映射。在2.2.2 节中，我们用 X 生成一个流 ${\sigma }_t:M\to M$，然后就可以用它把张量从一个点拉回或推前到另一个点。这正是李导数的基础。它与现在的映射并不相同。这里我们只用 X 来定义曲线，而由联络来完成沿曲线联系各个向量空间的工作。

3.3.1 重访测地线

测地线(geodesic)是与某个向量场 X 相切、且满足下式的曲线

$${\nabla }_{X}X=0\text{\hspace{1em}(3.28)}$$

沿曲线 $C,$，我们可以把 (3.25) 中的表达式代入 (3.27)，得到

$$\frac{d^2{x}^{\mu }}{d{\tau }^2}+{\Gamma }_{\rho \nu }^{\mu }\frac{d{x}^{\rho }}{d\tau }\frac{d{x}^{\nu }}{d\tau }=0\text{\hspace{1em}(3.29)}$$

这正是我们在第 1 节中通过考虑粒子在时空中运动的作用量而导出的测地线方程 式 (1.30)。事实上我们发现，条件 (3.28) 给出的正是具有仿射参数的测地线。

对于列维-奇维塔联络，有 ${\nabla }_{X}g=0$。这就保证了：对任何沿测地线 X 平行移动的向量场 Y，即满足 ${\nabla }_{X}Y={\nabla }_{X}X=0$ 的 Y，都有

$$\frac{d}{d\tau }g(X,Y)=0$$

这说明向量场 Y 与切向量在测地线各点处所成的角相同。

3.3.2 正规坐标

测地线为构造一种特别有用的坐标系提供了便利。在黎曼流形上，在点 $p\in M$ 的邻域内，我们总能找到坐标，使得

$$g_{\mu \nu }(p)={\delta }_{\mu \nu }\mathrm{and}{g}_{\mu \nu ,\rho }(p)=0\text{\hspace{1em}(3.30)}$$

对洛伦兹流形也有同样的结论，只是此时 $g_{\mu \nu }(p)={\eta }_{\mu \nu }$。这样的坐标称为正规坐标(normal coordinates)。由于度规张量的一阶导数为零，正规坐标具有如下性质：在点 p 处，克里斯托费尔符号为零，即 ${\Gamma }_{\nu \rho }^{\mu }(p)=0$。一般而言，在离开 p 的地方则有 ${\Gamma }_{\nu \rho }^{\mu }\ne 0$。不过要注意，一般并不能保证度规张量的二阶导数也为零。这也就意味着，不可能选取坐标使黎曼张量在给定点处为零。

证明坐标 (3.30) 的存在有多种方法。最直接的办法是：从坐标 ${\tilde{x}}^{\mu }$ 下的某个度规张量 ${\tilde{g}}_{\mu \nu }$ 出发，设法找到一个坐标变换 $x^{\mu }(\tilde{x})$ 来达到目的。在新坐标下，

$$\frac{\partial {\tilde{x}}^{\rho }}{\partial x^{\mu }}\frac{\partial {\tilde{x}}^{\sigma }}{\partial x^{\nu }}{\tilde{g}}_{\rho \sigma }=g_{\mu \nu }\text{\hspace{1em}(3.31)}$$

我们取点 p 为这两组坐标的原点。于是可以作泰勒展开

$${\tilde{x}}^{\rho }={\frac{\partial {\tilde{x}}^{\rho }}{\partial x^{\mu }}|}_{x=0}{x}^{\mu }+\frac{1}{2}{\frac{{\partial }^2{\tilde{x}}^{\rho }}{\partial x^{\mu }\partial x^{\nu }}|}_{x=0}{x}^{\mu }{x}^{\nu }+\dots$$

把它代入(3.31)，同时把${\tilde{g}}_{\rho \sigma }$作泰勒展开，再设法求解由此得到的偏微分方程，以找出能完成这一任务的系数$\partial \tilde{x}/\partial x$与${\partial }^2\tilde{x}/\partial x^2$。例如，第一个要求是

$${\frac{\partial {\tilde{x}}^{\rho }}{\partial x^{\mu }}|}_{x=0}{\frac{\partial {\tilde{x}}^{\sigma }}{\partial x^{\nu }}|}_{x=0}{\tilde{g}}_{\rho \sigma }(p)={\delta }_{\mu \nu }$$

给定任意${\tilde{g}}_{\rho \sigma }(p)$，总能找到$\partial \tilde{x}/\partial x$使之得到满足。事实上，稍作计数便可看出，这样的选择有很多。若维数$M=n$，则矩阵$\partial \tilde{x}/\partial x$中有$n^2$个独立系数。上面的方程对这些系数施加了$\frac{1}{2}n(n+1)$个条件，于是还剩下$\frac{1}{2}n(n-1)$个参数未被确定。不过这是意料之中的：这恰好就是旋转群$SO(n)$（或使平坦度规保持不变的洛伦兹群$SO(1,n-1))$的维数。

我们可以对下一阶做类似的计数。系数 ${\partial }^2{\tilde{x}}^{\rho }/\partial x^{\mu }\partial x^{\nu }$ 中共有 $\frac{1}{2}{n}^2(n+1)$ 个独立元素，这恰好与要求 $g_{\mu \nu ,\rho }(p)=0$ 中所含条件的数目相同。

我们也可以看出，为什么不应指望把度规的二阶导数取为零。要求 $g_{\mu \nu ,\rho \sigma }=0$ 相当于 $\frac{1}{4}{n}^2(n+1{)}^2$ 个约束。与此同时，泰勒展开中的下一项是 ${\partial }^3{\tilde{x}}^{\rho }/\partial x^{\mu }\partial x^{\nu }\partial x^{\lambda }$，它有 $\frac{1}{6}{n}^2(n+1)(n+2)$ 个独立系数。可见两者的数目不再相等。这一次条件不够用，还剩下

$$\frac{1}{4}{n}^2(n+1{)}^2-\frac{1}{6}{n}^2(n+1)(n+2)=\frac{1}{12}{n}^2(n^2-1)$$

个参数未被确定。因此，这就是在无法通过坐标变换消除的方式下刻画度规二阶导数的途径数目。事实上，不难证明这恰好就是黎曼张量中独立系数的个数。（对于 $n=4$，黎曼张量有 20 个系数。）

指数映射

有一种相当漂亮而直接的方法来构造坐标 (3.30)，它要用到测地线。粗略的想法是：给定一个切向量 $X_p\in T_p(M)$，就存在唯一一条过 p、且在 $p.$ 处切向量为 $X_p$ 的仿射参数化测地线。于是，对于 $p$ 邻域内的任意一点 $q$，我们用那条在固定时间内把我们带到 $q$ 的测地线的坐标来标记它。这就像朝所有可能的方向抛球，再用球在比如 1 秒内到达该点所需的初速度来标记各点。

图 17. 从一个切向量出发，沿由此得到的测地线前进，就得到指数映射。

下面把这个想法具体化。我们在 $p.$ 的邻域内引入任意一个坐标系（不必是正规坐标）${\tilde{x}}^{\mu }$。于是，我们要找的测地线满足 式 (3.29)，并满足条件

$${\frac{d{\tilde{x}}^{\mu }}{d\tau }|}_{\tau =0}={\tilde{X}}_p^{\mu }\mathrm{with}{\tilde{x}}^{\mu }(\tau =0)=0$$

其解是唯一的。

这一观察意味着我们可以定义一个映射，

$$\mathrm{Exp}:T_p(M)\to M$$

给定 $X_p\in T_p(M)$，构造相应的测地线，然后沿它走过某段仿射距离，我们取这段仿射距离为 $\tau =1$。这样就得到一个点 $q\in M$。这个映射称为指数映射(exponential map)，如图 17 所示。

没有理由认为指数映射能覆盖整个流形 M。完全可能存在这样的点：它们无法由从 $p$ 出发的测地线到达。此外，也可能存在某些切向量 $X_p$，使指数映射对它们没有良好定义。在广义相对论中，如果时空带有奇点，就会出现这种情况。这两个问题都与我们当前的目的无关。

现在取 $T_p(M)$ 的一个基 $\{e_{\mu }\}$。指数映射意味着切向量 $X_p=X^{\mu }{e}_{\mu }$ 定义了 $p.$ 邻域内的一个点 $q$。我们只需给这个点指定坐标

$$x^{\mu }(q)=X^{\mu }$$

这就是正规坐标。

如果我们选取初始基 $\{e_{\mu }\}$ 为正交归一的，那么各条测地线将指向相互正交的方向，这就保证了度规张量具有形式 $g_{\mu \nu }(p)={\delta }_{\mu \nu }$

为了看出度规的一阶导数也消失，我们先固定与给定切向量 $X\in T_p(M)$ 相对应的点 q。这说明点 q 位于沿测地线距离为 $\tau =1$ 处。现在可以问：哪个切向量会让我们沿同一条测地线走过另一段距离？由于测地线 式 (3.29) 关于 $\tau ,$ 是齐次的，所以如果把 X 的长度减半，我们就只沿测地线走过一半的距离，即到达 $\tau =1/2$。一般地，切向量 $\tau X$ 将带我们沿测地线走过距离 $\tau$

$$\mathrm{Exp}:\tau X_p\to x^{\mu }(\tau )=\tau X^{\mu }$$

这意味着，在这些坐标下，测地线具有特别简单的形式

$$x^{\mu }(\tau )=\tau X^{\mu }$$

由于它们是测地线，就必须满足测地线方程式 (3.29)。不过，对于随时间线性变化的轨迹，该方程只是

$${\Gamma }_{\rho \nu }^{\mu }(x(\tau ))X^{\rho }{X}^{\nu }=0$$

该式在测地线上的任意一点都成立。在大多数点 $x(\tau )$ 处，这个方程只对某些特定的 $X^{\rho }$ 选择成立，而这些选择正是最初把我们带上这条测地线的那些。然而，在 $x(\tau )=0$ 处，也就是对应于所关心的点 $p$ 处，该方程必须对任意切向量 $X^{\mu }$ 都成立。这意味着 ${\Gamma }_{(\rho \nu )}^{\mu }(p)=0$；而对于无挠联络，这又保证了 ${\Gamma }_{\rho \nu }^{\mu }(p)=0$

克里斯托费尔符号为零意味着度规张量的导数为零。对于列维-奇维塔联络，只要写出 $2g_{\mu \sigma }{\Gamma }_{\rho \nu }^{\sigma }=g_{\mu \rho ,\nu }+g_{\mu \nu ,\rho }-g_{\rho \nu ,\mu }.$ 即可得到这一点。对 $(\mu \rho )$ 作对称化会使最后两项相消，于是在 $p.$ 处取值时就只剩下 $g_{\mu \rho ,\nu }=0$

等效原理

正规坐标在广义相对论中起着重要的概念性作用。位于点 $p$ 处的任何观测者，若用由测地线构造的坐标来参数化其周围环境，就会体验到一种局部平坦度规，其含义如(3.30)所示。

这正是爱因斯坦等效原理背后的数学。该原理断言：任何自由下落的观测者做局部实验时，都不会感受到引力场。这里“自由下落”是指观测者沿测地线运动，正如我们在第 1 节中所见，并且自然会使用正规坐标。在此语境下，这种坐标称为局部惯性系(local inertial frame)。不存在引力场，就是断言 $g_{\mu \nu }(p)={\eta }_{\mu \nu }$

理解等效原理的意义与局限，关键在于“局部”一词。要判断在 $p:$ 处是否存在引力场，有一种办法：计算黎曼张量。它依赖于度规的二阶导数，一般而言并不为零。然而，要测量黎曼张量的效应，通常必须把在 $p$ 处做实验的结果与在邻近点 $q:$ 处做实验的结果相比较；就等效原理而言，这被视为一种“非局部”的观测。在接下来的两个小节中，我们将给出依赖于黎曼张量的物理学的例子。

3.3.3 路径依赖性：曲率与挠率

取一个切向量 $Z_p\in T_p(M)$，沿曲线 $C$ 将它平行移动到某点 $r\in M$。再沿另一条曲线 $C^{\prime }$ 将它平行移动到同一点 $r.$。所得的两个向量相差多少？

为回答这个问题，我们把曲线 C 与 $C^{\prime }$ 各自构造成由两个线段组成的折线，这两段分别由线性无关的向量场 X 与 Y 生成，并满足 $[X,Y]=0$，如图 18 所示。为简便起见，我们取点 r 靠近原来的点 $p.$。

我们选取正规坐标 $x^{\mu }=(\tau ,\sigma ,0,\dots )$，使起点位于 $x^{\mu }(p)=0$，而切向量沿坐标方向对齐，即 $X=\partial /\partial \tau$ 与 $Y=\partial /\partial \sigma$。于是其余各角点为 $x^{\mu }(q)=(\delta \tau ,0,0,...),x^{\mu }(r)=(\delta \tau ,\delta \sigma ,0,...)$ 与 $x^{\mu }(s)=(0,\delta \sigma ,0,...)$，其中 $\delta \tau$ 与 δσ 都取得很小。这一设置如图 18 所示。

首先，我们沿 X 将 $Z_p$ 平行移动到 $Z_q$。沿这条曲线，$Z^{\mu }$ 满足 (3.27)

$$\frac{d{Z}^{\mu }}{d\tau }+X^{\nu }{\Gamma }_{\rho \nu }^{\mu }{Z}^{\rho }=0\text{\hspace{1em}(3.32)}$$

我们将解作泰勒展开：

$$Z_q^{\mu }=Z_p^{\mu }+{\frac{d{Z}^{\mu }}{d\tau }|}_{\tau =0}\delta \tau +\frac{1}{2}{\frac{d^2{Z}^{\mu }}{d{\tau }^2}|}_{\tau =0}\delta {\tau }^2+\mathcal{O}(\delta {\tau }^3)$$

图 18. 沿两条不同路径平行移动向量 $Z_p$，所得结果并不相同。

由(3.32)可知 $d{Z}^{\mu }/d\tau {|}_0=0$，这是因为在正规坐标下 ${\Gamma }^{\mu }{}_{\rho \nu }(p)=0$。对(3.32)求导，便可算出二阶导数：

$$\begin{array}{rl}& {\frac{d^2{Z}^{\mu }}{d{\tau }^2}|}_{\tau =0}=-\left(X^{\nu }{Z}^{\rho }\frac{d{\Gamma }_{\rho \nu }^{\mu }}{d\tau }+\frac{d{X}^{\nu }}{d\tau }{Z}^{\rho }{\Gamma }_{\rho \nu }^{\mu }+X^{\nu }\frac{d{Z}^{\rho }}{d\tau }{\Gamma }_{\rho \nu }^{\mu }\right){|}_p\\ & =-{X^{\nu }{Z}^{\rho }\frac{d{\Gamma }_{\rho \nu }^{\mu }}{d\tau }|}_p\\ & =-(X^{\nu }{X}^{\sigma }{Z}^{\rho }{\Gamma }_{\rho \nu ,\sigma }^{\mu }{)}_p\end{array}\text{\hspace{1em}(3.33)}$$

这里第二行成立，是因为我们在 $p,$ 处使用正规坐标；最后一行成立，则是因为 $\tau$ 是 $X$ 的积分曲线的参数，故有 $d/d\tau =X^{\sigma }{\partial }_{\sigma }$。于是得到

$$Z_q^{\mu }=Z_p^{\mu }-\frac{1}{2}(X^{\nu }{X}^{\sigma }{Z}^{\rho }{\Gamma }_{\rho \nu ,\sigma }^{\mu }{)}_p\delta {\tau }^2+\dots \text{\hspace{1em}(3.34)}$$

现在我们再作一次平行移动，这次沿 $Y$ 移动到 $Z_r^{\mu }$。此时泰勒展开具有如下形式

$$Z_r^{\mu }=Z_q^{\mu }+{\frac{d{Z}^{\mu }}{d\sigma }|}_q\delta \sigma +\frac{1}{2}{\frac{d^2{Z}^{\mu }}{d{\sigma }^2}|}_q\delta {\sigma }^2+\mathcal{O}(\delta {\sigma }^3)\text{\hspace{1em}(3.35)}$$

我们仍可利用平行移动 式 (3.32) 的类似公式来计算一阶导数 $d{Z}^{\mu }/d\sigma {|}_q$，

$${\frac{d{Z}^{\mu }}{d\sigma }|}_q=-(Y^{\nu }{Z}^{\rho }{\Gamma }_{\rho \nu }^{\mu }{)}_q$$

由于我们是在关于 $p$ 而非 $q,$ 的正规坐标下工作，因此不能再断言这一项为零。于是改为关于 $p$ 作泰勒展开，得到

$$(Y^{\nu }{Z}^{\rho }{\Gamma }_{\rho \nu }^{\mu }{)}_q=(Y^{\nu }{Z}^{\rho }{X}^{\sigma }{\Gamma }_{\rho \nu ,\sigma }^{\mu }{)}_p\delta \tau +\dots$$

注意，原则上我们还应对 $Y^{\nu }$ 和 $Z^{\rho }$ 作泰勒展开，但在首阶上它们将与 ${\Gamma }_{\rho \nu }^{\mu }(p)=0$ 相乘，因此只对更高一阶有贡献。泰勒展开 (3.35) 中的二阶项涉及 $d^2{Z}^{\mu }/d{\sigma }^2{|}_q$，并且有与 (3.33) 类似的表达式。在首阶上，$d{X}^{\nu }/d\sigma$ 与 $d{Z}^{\rho }/d\sigma$ 项同样不出现，因为它们乘以 ${\Gamma }_{\rho \nu }^{\mu }(q)=d{\Gamma }_{\rho \nu }^{\mu }/d\tau {|}_p\delta \tau$。于是得到

$$\begin{array}{rl}& \frac{d^2{Z}^{\mu }}{d{\sigma }^2}{|}_q=-(Y^{\nu }{Y}^{\sigma }{Z}^{\rho }{\Gamma }_{\rho \nu ,\sigma }^{\mu }{)}_q+\dots \\ & =-(Y^{\nu }{Y}^{\sigma }{Z}^{\rho }{\Gamma }_{\rho \nu ,\sigma }^{\mu }{)}_p+\dots \end{array}$$

这里我们把点 q 换成了点 p，因为二者只相差正比于 $\delta \tau$ 的次领头项。由此可见，这一次 $Z_r^{\mu }$ 与 $Z_q^{\mu }$ 之差包含两项，

$$Z_r^{\mu }=Z_q^{\mu }-(Y^{\nu }{Z}^{\rho }{X}^{\sigma }{\Gamma }_{\rho \nu ,\sigma }^{\mu }{)}_p\delta \tau \delta \sigma -\frac{1}{2}(Y^{\nu }{Y}^{\sigma }{Z}^{\rho }{\Gamma }_{\rho \nu ,\sigma }^{\mu }{)}_p\delta {\sigma }^2+\dots$$

最后，我们可以利用先前导出的 (3.34) 把 $Z_q^{\mu }$ 与 $Z_p^{\mu }$ 联系起来。最终得到

$$Z_r^{\mu }=Z_p^{\mu }-\frac{1}{2}({\Gamma }_{\rho \nu ,\sigma }^{\mu }{)}_p{\left[X^{\nu }{X}^{\sigma }{Z}^{\rho }\delta {\tau }^2+2Y^{\nu }{Z}^{\rho }{X}^{\sigma }\delta \sigma \delta \tau +Y^{\nu }{Y}^{\sigma }{Z}^{\rho }\delta {\sigma }^2\right]}_p+\dots$$

其中 … 表示小量的三次及更高次的任意项。

现在假设我们沿路径 $C^{\prime },$ 先经过点 s，再前往 r。此时只需把上面的结果中的 X 与 Y、$\sigma$ 与 $\tau ;$ 互换，即可直接读出答案，只有中间那一项发生变化，

$$Z_r^{\prime \mu }=Z_p^{\mu }-\frac{1}{2}({\Gamma }_{\rho \nu ,\sigma }^{\mu }{)}_p{\left[X^{\nu }{X}^{\sigma }{Z}^{\rho }\delta {\tau }^2+2X^{\nu }{Z}^{\rho }{Y}^{\sigma }\delta \sigma \delta \tau +Y^{\nu }{Y}^{\sigma }{Z}^{\rho }\delta {\sigma }^2\right]}_p+\dots$$

我们得到

$$\begin{array}{rl}& \Delta Z_r^{\mu }=Z_r^{\mu }-Z_r^{\prime \mu }=-({\Gamma }_{\rho \nu ,\sigma }^{\mu }-{\Gamma }_{\rho \sigma ,\nu }^{\mu }{)}_p(Y^{\nu }{Z}^{\rho }{X}^{\sigma }{)}_p\delta \sigma \delta \tau +\dots \\ & =(R_{\rho \sigma \nu }^{\mu }{Y}^{\nu }{Z}^{\rho }{X}^{\sigma }{)}_p\delta \sigma \delta \tau +\dots \end{array}$$

其中最后一步等号用到了黎曼张量的分量表达式 (3.15)，它在正规坐标下简化为 ${\Gamma }_{\rho \sigma }^{\mu }(p)=0$。注意，在我们所工作的阶数上，我们同样可以在点 $r;$ 处计算 $R^{\mu }{}_{\rho \sigma \nu }{X}^{\nu }{Z}^{\rho }{Y}^{\sigma }$，二者只相差更高阶的项。

尽管我们的计算是在特定的坐标选取下进行的，但最终结果被写成张量之间的等式，因此它在任何坐标系中都必定成立。这是我们在这些课程中将反复使用的一个技巧：在正规坐标下计算要容易得多；但只要所得表达式联系的是张量，最终结果就必定在任何坐标系中都成立。

我们由此得到了对黎曼张量一个相当漂亮的解释：它告诉我们平行移动的路径依赖性。上面的计算与和乐这一概念密切相关。所谓和乐，就是把一个矢量沿闭曲线 C 移动一周，然后考察所得的矢量与原来的矢量相比有何不同。这一点同样由黎曼张量刻画。非平凡和乐的一个特别简单的例子来自球面上矢量的平行移动：你最终所指的方向取决于你所走的路径。

挠率的意义

我们几乎刚一接触挠率就把它丢开了，转而采用挠率为零的列维-奇维塔联络，即 ${\Gamma }_{\mu \nu }^{\rho }={\Gamma }_{\nu \mu }^{\rho }$。此外，正如我们将在第 4 节中看到的，广义相对论的理论使用的是列维-奇维塔联络，其中挠率并不起作用。尽管如此，人们自然会问：挠率的几何意义是什么？对此有一个答案，它要用到我们上面所用的那类平行移动论证。

这一次，我们从两个向量 $X,Y\in$ $T_p(M)$ 出发。我们选取坐标 $x^{\mu }$，把这两个向量写成 $X=X^{\mu }{\partial }_{\mu }$ 和 $Y=Y^{\mu }{\partial }_{\mu }$。从 $p\in M$ 出发，我们可以用这两个向量构造出与 $p.$ 无限接近的两个点。我们分别称这两个点为 r 和 s：它们的坐标为

$$r:x^{\mu }+X^{\mu }ϵ\mathrm{and}s:x^{\mu }+Y^{\mu }ϵ$$

其中 ϵ 是某个无穷小参数。

现在我们把向量 $X\in T_p(M)$ 沿 $Y$ 的方向平行移动，得到一个新向量 $X^{\prime }\in T_s(M)$。类似地，我们把 Y 沿 X 的方向平行移动，得到一个新向量 $Y^{\prime }\in T_r(M)$。这些新向量的分量为

$$X^{\prime }=(X^{\mu }-ϵ{\Gamma }_{\nu \rho }^{\mu }{Y}^{\nu }{X}^{\rho }){\partial }_{\mu }\mathrm{and}{Y}^{\prime }=(Y^{\mu }-ϵ{\Gamma }_{\nu \rho }^{\mu }{X}^{\nu }{Y}^{\rho }){\partial }_{\mu }$$

现在，这些切向量中的每一个都定义出一个新的点。从点 s 出发，沿 $X^{\prime }$ 的方向移动，我们就得到一个新的点 $q$，其坐标为

$$q:x^{\mu }+(X^{\mu }+Y^{\mu })ϵ-{ϵ}^2{\Gamma }_{\nu \rho }^{\mu }{Y}^{\nu }{X}^{\rho }$$

与此同时，若我们位于点 r 处并沿 $Y^{\prime }$ 的方向移动，则会到达一个通常与之不同的点 $t,$，其坐标为

$$t:x^{\mu }+(X^{\mu }+Y^{\mu })ϵ-{ϵ}^2{\Gamma }_{\nu \rho }^{\mu }{X}^{\nu }{Y}^{\rho }$$

我们看到，如果联络具有挠率，即 ${\Gamma }_{\nu \rho }^{\mu }\ne {\Gamma }_{\rho \nu }^{\mu }.$，那么这两个点 $q$ 与 t 就不重合。换言之，挠率衡量的是图中所示平行四边形无法闭合的程度。

3.3.4 测地线偏离

现在考虑一族单参数测地线，其坐标为 $x^{\mu }(\tau ;s)$。这里 $\tau$ 是沿这些测地线的仿射参数，所有这些测地线都与向量场 X 相切，于是，在由 $x^{\mu }(\tau ,s)$ 张成的曲面上，有

$$X^{\mu }={\frac{\partial x^{\mu }}{\partial \tau }|}_s$$

与此同时，s 标记不同的测地线，如图 19 所示。我们取 s 方向的切向量由第二个向量场 S 生成，于是有

$$S^{\mu }={\frac{\partial x^{\mu }}{\partial s}|}_{\tau }$$

切向量 $S^{\mu }$ 有时被称为偏离向量(deviation vector)；它把我们从一条测地线带到具有相同仿射参数 $\tau .$ 的一条邻近测地线上。

这族测地线扫出一张嵌入在流形中的曲面。这就使我们在如何指定坐标 s 与 τ 上有了一定的自由度。事实上，我们总可以在该曲面上选取坐标 s 与 τ，使得 $S=\partial /\partial s$ 且 $X=\partial /\partial t$，从而保证

$$[S,X]=0$$

粗略地说，只要把 τ 与 s 用作 M 的某个子流形上的坐标，我们就能做到这一点。这时这些向量场可以简单地写成 $X=\partial /\partial \tau$、$S=\partial /\partial s$ 以及 $[X,S]=0$。

图 19. 黑线是由 X 生成的测地线。红线标记常数 τ，由 S 生成，且 $[X,S]=0$

我们可以问：相邻的测地线会如何表现？它们是会聚拢，还是会越离越远？现在考虑一个联络 Γ，其挠率为零，于是有 ${\nabla }_{X}S-{\nabla }_{S}X=[X,S]$。由于 $[X,S]=0$，我们有

$${\nabla }_X{\nabla }_{X}S={\nabla }_X{\nabla }_{S}X={\nabla }_S{\nabla }_{X}X+R(X,S)X$$

其中第二个等号处，我们使用了黎曼张量作为微分算子的表达式 (3.14)。但 ${\nabla }_{X}X=0$，因为 X 与测地线相切，于是我们得到

$${\nabla }_X{\nabla }_{X}S=R(X,S)X$$

用指标记号写出，这就是

$$X^{\nu }{\nabla }_{\nu }(X^{\rho }{\nabla }_{\rho }{S}^{\mu })=R_{\nu \rho \sigma }^{\mu }{X}^{\nu }{X}^{\rho }{S}^{\sigma }$$

如果我们进一步限制到与向量场 $X$ 相关联的积分曲线 C 上，如(3.25)那样，那么这个方程有时被写成

$$\frac{D^2{S}^{\mu }}{D{\tau }^2}=R_{\nu \rho \sigma }^{\mu }{X}^{\nu }{X}^{\rho }{S}^{\sigma }\text{\hspace{1em}(3.36)}$$

其中 $D/D\tau$ 是沿曲线 $C,$ 的协变导数，由 $\begin{array}{r}D/D\tau =\frac{\partial x^{\mu }}{\partial \tau }{\nabla }_{\mu }\end{array}$ 定义。左端告诉我们偏离向量 $S^{\mu }$ 在沿测地线移动时如何变化。换句话说，它就是相邻测地线的相对加速度。我们由此得知，这一相对加速度由黎曼张量控制。

在实验上，这种测地线偏离被称为潮汐力。我们在1.2.4 节中遇到过它的一个简单例子。

一个例子：再论球面 ${\mathbf{S}}^2$

确定半径为 r 的球面 ${\mathbf{S}}^2$ 上的测地线并不困难。利用克里斯托费尔符号 (3.19)，测地线方程为

$$\frac{d^2\theta }{d{\tau }^2}=\sin \theta \cos \theta {\left(\frac{d\varphi }{d\tau }\right)}^2\mathrm{and}\frac{d^2\varphi }{d{\tau }^2}=-2\frac{\cos \theta }{\sin \theta }\frac{d\varphi }{d\tau }\frac{d\theta }{d\tau }$$

其解是大圆。通解在这些坐标下写起来有些麻烦，但有两个简单的解。

• 我们可以取 $\theta =\pi /2$、$\dot{\theta }=0$ 和 $\dot{\varphi }=\mathrm{constant}$。这是一个质点沿赤道运动的解。注意，这个解对其他 θ 值并不成立。

• 我们可以取 $\dot{\varphi }=0$ 和 $\dot{\theta }=\mathrm{constant}$。这些是经度恒定的路径，对任意常数值的 $\varphi .$ 都是测地线。不过要注意，我们的坐标在两极 $\theta =0$ 和 $\theta =\pi$ 处会变得有些混乱。

为了说明测地线偏离，我们来看第二类解：质点沿 $\theta =v\tau$ 运动，角度 $\varphi$ 指定了所沿的测地线。这一设置足够简单，我们无需借助任何复杂的黎曼张量技巧：只用简单的几何就能理解测地线偏离。位于 $\varphi =0$ 的测地线与位于另一经度 $\varphi$ 的测地线之间的距离为

$$s(\tau )=r\varphi \sin \theta =r\varphi \sin (v\tau )\text{\hspace{1em}(3.37)}$$

现在让我们用这套“高级”技术重新推导这一结果。这些测地线由向量场 $X^{\theta }=v$ 生成。与此同时，在固定的 $\tau$ 处，不同测地线之间的间隔为 $S^{\varphi }=s(\tau )$。写成 (3.36) 形式的测地偏离方程(geodesic deviation equation)为

$$\frac{d^{2}s}{d{\tau }^2}=v^2{R}_{\theta \theta \varphi }^{\varphi }s(\tau )$$

我们在 (3.20) 中计算过 ${\mathbf{S}}^2$ 的黎曼张量；相关的分量为

$$R_{\varphi \theta \theta \varphi }=-r^2{\sin }^2\theta \Rightarrow R_{\theta \theta \varphi }^{\varphi }=g^{\varphi \varphi }{R}_{\varphi \theta \theta \varphi }=-1\text{\hspace{1em}(3.38)}$$

于是测地偏离方程就简化为

$$\frac{d^{2}s}{d{\tau }^2}=-v^{2}s$$

它确实可以由 (3.37) 解出。

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