5.3 制造波

上一节所述的引力波解是平面波：它们从无穷远处传来，又向无穷远处传去。然而在现实中，引力波是从某一点产生并向外辐射的。

我们将会看到，这里的情形与我们先前电磁学课程中所见的完全类似。在那里，人们通过晃动电荷来产生电磁波；同样地，我们通过晃动质量来产生引力波。本节的目的就是把这一点讲清楚。

5.3.1 波动方程的格林函数

我们的出发点是线性化爱因斯坦方程式 (5.15)，

$$\square {\bar{h}}_{\mu \nu }=-16\pi G{T}_{\mu \nu }\text{\hspace{1em}(5.26)}$$

它假定源（以能动张量$T_{\mu \nu },$的形式出现）与微扰度规${\bar{h}}_{\mu \nu }$都很小。这不过是一组相互解耦的波动方程。我们在电磁学讲义第 6 节中已经解过这些方程，这里的讨论将与那里的讲述方式平行。

我们将考虑物质场局域于某个空间区域 Σ 的情形。在该区域内，存在一个随时间变化的能量与动量源 $T_{\mu \nu }({\mathbf{x}}^{\prime },t)$，例如两个相互绕转的黑洞。在该区域之外，能动张量为零：当 ${\mathbf{x}}^{\prime }\notin \Sigma$ 时 $T_{\mu \nu }({\mathbf{x}}^{\prime },t)=0$。我们想知道在离区域 Σ 很远的地方度规$h_{\mu \nu }$是什么样子。(5.26) 在 $\Sigma$ 之外的解可以用（推迟的）格林函数给出，即

$${\bar{h}}_{\mu \nu }(\mathbf{x},t)=4G{\int }_{\Sigma }{d}^3{x}^{\prime }\frac{T_{\mu \nu }({\mathbf{x}}^{\prime },t_{\mathrm{ret}})}{|\mathbf{x}-{\mathbf{x}}^{\prime }|}\text{\hspace{1em}(5.27)}$$

其中 $t_{\mathrm{ret}}$ 是推迟时间(retarded time)，由下式给出

$$t_{\mathrm{ret}}=t-|\mathbf{x}-{\mathbf{x}}^{\prime }|$$

不难证明，只要能动张量守恒，即 ${\partial }^{\mu }{T}_{\mu \nu }=0$，这个解就满足德东德尔规范条件 ${\partial }^{\mu }{\bar{h}}_{\mu \nu }=0$。然而，这个解并不会自动满足时间条件与无迹条件 (5.21)。解 (5.27) 体现了波动方程的因果性：引力场 ${\bar{h}}_{\mu \nu }(\mathbf{x},t)$ 受到较早时刻 $t_{\mathrm{ret}}$ 位于 ${\mathbf{x}}^{\prime }$ 处的物质的影响，因此这一影响有足够的时间从 ${\mathbf{x}}^{\prime }$ 传播到 x。

我们把区域 Σ 的大小记为 d。我们关心的是距离为 $r=|\mathbf{x}|$ 的某点 x 处所发生的情况。若对所有的 ${\mathbf{x}}^{\prime }\in \Sigma$ 都有 $|\mathbf{x}-{\mathbf{x}}^{\prime }|\gg d$，则我们可以作如下近似

$$\left|\mathbf{x}-{\mathbf{x}}^{\prime }\right|=r-\frac{\mathbf{x}\cdot {\mathbf{x}}^{\prime }}{r}+\dots \Rightarrow \frac{1}{\left|\mathbf{x}-{\mathbf{x}}^{\prime }\right|}=\frac{1}{r}+\frac{\mathbf{x}\cdot {\mathbf{x}}^{\prime }}{r^3}+\dots \text{\hspace{1em}(5.28)}$$

我们还遇到一个位于 $t_{\mathrm{ret}}=t-|\mathbf{x}-{\mathbf{x}}^{\prime }|$ 之中的因子 $\left|\mathbf{x}-{\mathbf{x}}^{\prime }\right|$。这意味着我们还应当对能动张量的宗量作泰勒展开

$$T_{\mu \nu }({\mathbf{x}}^{\prime },t_{\mathrm{ret}})=T_{\mu \nu }({\mathbf{x}}^{\prime },t-r+\mathbf{x}\cdot {\mathbf{x}}^{\prime }/r+\dots )$$

现在我们想进一步把这个宗量展开。但要做到这一点，我们需要知道源在做什么。我们将假定物质的运动是非相对论的，从而在光穿过区域 Σ 所需的时间 $\tau \sim d$ 内，能动张量不会有太大变化。例如，若我们的系统由两个物体（比如中子星或黑洞）组成，它们以特征频率 $\omega$ 相互绕转，则 $T_{\mu \nu }\sim e^{-i\omega t}$，而运动为非相对论的要求就变成 $d\ll 1/\omega$。于是我们可以进一步对源作泰勒展开，写成

$$T_{\mu \nu }({\mathbf{x}}^{\prime },t_{\mathrm{ret}})=T_{\mu \nu }({\mathbf{x}}^{\prime },t-r)+{\dot{T}}_{\mu \nu }({\mathbf{x}}^{\prime },t-r)\frac{\mathbf{x}\cdot {\mathbf{x}}^{\prime }}{r}+\dots \text{\hspace{1em}(5.29)}$$

我们有两个泰勒展开，即(5.28)和(5.29)。在 $d/r$ 的领头阶，我们取这两个展开中的第一项，得到

$${\bar{h}}_{\mu \nu }(\mathbf{x},t)\approx \frac{4G}{r}{\int }_{\Sigma }{d}^3{x}^{\prime }{T}_{\mu \nu }({\mathbf{x}}^{\prime },t-r)$$

我们先来看 ${\bar{h}}_{00}$ 和 ${\bar{h}}_{0i}$ 的表达式。其中第一个是

$${\bar{h}}_{00}(\mathbf{x},t)\approx \frac{4G}{r}E\mathrm{with}E={\int }_{\Sigma }{d}^3{x}^{\prime }{T}_{00}({\mathbf{x}}^{\prime },t-r)\text{\hspace{1em}(5.30)}$$

这不过是对牛顿极限(5.16)的重述：远处的引力势由$\Phi =-GE/r$给出，其中 E 是区域 Σ 内的总能量。在我们所处理的线性阶上，流守恒${\partial }^{\mu }{T}_{\mu \nu }=0$保证了 Σ 内的能量 E 为常量，因此时间依赖项消失。

类似地，我们有

$${\bar{h}}_{0i}(\mathbf{x},t)\approx -\frac{4G}{r}{P}_i\mathrm{with}{P}_i=-{\int }_{\Sigma }{d}^3{x}^{\prime }{T}_{0i}({\mathbf{x}}^{\prime },t-r)\text{\hspace{1em}(5.31)}$$

这里$P_i$是 Σ 内物质的总动量，它同样守恒。我们总可以转到使这些物质静止的静止参考系，此时$P_i=0$，从而${\bar{h}}_{0i}=0$。这正是我们在描述牛顿极限(5.16)时隐含作出的选择。

${\bar{h}}_{00}$和${\bar{h}}_{0j}$的表达式都没有抓住我们感兴趣的物理。这些结果只知道区域 Σ 内的守恒量，却不知道它们如何运动。不过，当我们考察度规的空间分量时，情况就变得更有意思了，

$${\bar{h}}_{ij}(\mathbf{x},t)\approx \frac{4G}{r}{\int }_{\Sigma }{d}^3{x}^{\prime }{T}_{ij}({\mathbf{x}}^{\prime },t-r)$$

其中 $i,j=1,2,3$。此时右端的积分不再是守恒量。不过，仍可将它与 Σ 内部能量分布的某些性质联系起来。

命题

$${\int }_{\Sigma }{d}^3{x}^{\prime }{T}_{ij}({\mathbf{x}}^{\prime },t)=\frac{1}{2}{\ddot{I}}_{ij}(t)$$

其中 $I_{ij}$ 是能量四极矩(quadrupole moment of the energy)，

$$I_{ij}(t)={\int }_{\Sigma }{d}^{3}x{T}^{00}(\mathbf{x},t)x_i{x}_j\text{\hspace{1em}(5.32)}$$

证明

我们首先写出

$$T^{ij}={\partial }_k(T^{ik}{x}^j)-({\partial }_k{T}^{ik})x^j={\partial }_k(T^{ik}{x}^j)+{\partial }_0{T}^{0i}{x}^j$$

其中第二个等号用到了电流守恒 ${\partial }_{\mu }{T}^{\mu \nu }=0$。（注意，完整理论中的电流守恒是 ${\nabla }_{\mu }{T}^{\mu \nu }=0$，但在我们的线性化分析中它约化为 ${\partial }_{\mu }{T}^{\mu \nu }=0.)$。对于 $T^{0i}$ 项，我们再次使用同样的技巧。对 $(ij)$ 对称化，得到

$$T^{0(i}{x}^{j)}=\frac{1}{2}{\partial }_k(T^{0k}{x}^i{x}^j)-\frac{1}{2}({\partial }_k{T}^{0k})x^i{x}^j=\frac{1}{2}{\partial }_k(T^{0k}{x}^i{x}^j)+\frac{1}{2}{\partial }_0{T}^{00}{x}^i{x}^j$$

当我们在 $\Sigma ,$ 上对它积分时，可以丢掉那些空间全导数的项。剩下的就是

$${\int }_{\Sigma }{d}^3{x}^{\prime }{T}^{ij}({\mathbf{x}}^{\prime },t)=\frac{1}{2}{\partial }_0^2{\int }_{\Sigma }{d}^3{x}^{\prime }{T}^{00}({\mathbf{x}}^{\prime },t)x^{\prime i}{x}^{\prime j}$$

这正是所要证明的结果。

由此可知，在远离源的地方，度规张量具有如下形式

$${\bar{h}}_{ij}(\mathbf{x},t)\approx \frac{2G}{r}{\ddot{I}}_{ij}(t-r)\text{\hspace{1em}(5.33)}$$

这正是我们想要的物理：如果我们以某种方式晃动物质分布，那么一旦信号有足够时间传播出去，它就会影响度规张量。由于方程是线性的，如果物质以频率 $\omega$ 振动，时空就会以参数上相同的频率作出响应而产生波。（事实上，在双星系统的例子中我们会看到出现一个因子 2，见(5.36)。）

事实上，我们现在可以回过头来看另外两个分量 ${\bar{h}}_{00}$ 和 ${\bar{h}}_{0i}$。规范固定条件 ${\partial }^{\mu }{\bar{h}}_{\mu \nu }=0$ 告诉我们

$${\partial }_0{\bar{h}}_{0i}={\partial }_j{\bar{h}}_{ji}\mathrm{and}{\partial }_0{\bar{h}}_{00}={\partial }_i{\bar{h}}_{i0}$$

其中第一个方程给出

$${\partial }_0{\bar{h}}_{0i}\approx {\partial }_j\left(\frac{2G}{r}{\ddot{I}}_{ij}(t-r)\right)=-\frac{2G{\hat{x}}_j}{r^2}{\ddot{I}}_{ij}(t-r)-\frac{2G{\hat{x}}_j}{r}{\stackrel{...}{\ddot{I}}}_{ij}(t-r)\text{\hspace{1em}(5.34)}$$

这里我们用到了 ${\partial }_{j}r=x_j/r={\hat{x}}_j$ 这一事实。(5.34) 中这两项哪一个更大？随着我们离源越来越远，可以预期第二项，即 $1/r$ 项，会压过第一项，即 $1/r^2$ 项。但第二项多了一个时间导数，这意味着多出一个源的特征频率 ω 的因子。因此，只要 $r\gg 1/\omega$，或者说，用所发出的引力波的波长 λ 来表示，只要 $r\gg \lambda$，第二项就占主导。这被称为远场区(far-field zone)，有时也称为辐射区(radiation zone)。在这一区域内，我们有

$${\bar{h}}_{0i}\approx -\frac{2G{\hat{x}}_j}{r}{\ddot{I}}_{ij}(t-r)$$

这里我们对 (5.34) 作了积分。一般说来，积分常数由我们先前在 (5.31) 中看到的 $P_i$ 项给出。在上面的结果中，我们通过选取使 $P_i=0$ 的坐标，把这个积分常数取为零，也就是说，源的质心不动。现在我们可以重复这一做法来确定 ${\bar{h}}_{00}$。同样的论证意味着我们丢掉一项，而保留

$${\bar{h}}_{00}=\frac{4G}{r}E+\frac{2G{\hat{x}}_i{\hat{x}}_j}{r}{\ddot{I}}_{ij}(t-r)$$

如果我们试图直接从 (5.27) 出发计算 ${\bar{h}}_{00}$ 和 ${\bar{h}}_{0i}$ 中的这些 $\ddot{I}$ 项，就必须把展开做到更高阶。像上面那样实施规范固定条件，就省去了这番功夫。

5.3.2 一个例子：双星系统

作为例子，考虑两颗质量均为 M 的恒星（也可以是中子星或黑洞），它们相距 $R,$，在 $(x,y)$ 平面内绕转。用牛顿引力计算，这两颗星的绕转频率为

$${\omega }^2=\frac{2GM}{R^3}\text{\hspace{1em}(5.35)}$$

若把这两颗星视为质点，则能量密度就是若干 δ 函数的乘积

$$T^{00}(\mathbf{x},t)=M\delta (z)\left[\delta \left(x-\frac{R}{2}\cos \omega t\right)\delta \left(y-\frac{R}{2}\sin \omega t\right)+\delta \left(x+\frac{R}{2}\cos \omega t\right)\delta \left(y+\frac{R}{2}\sin \omega t\right)\right]$$

于是四极矩 (5.32) 很容易算出

$$\begin{array}{c}{I}_{ij}(t)=\frac{M{R}^2}{2}\left(\begin{array}{ccc}{\cos }^2\omega t& \cos \omega t\sin \omega t& 0\\ \cos \omega t\sin \omega t& {\sin }^2\omega t& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right)\\ =\frac{M{R}^2}{4}\left(\begin{array}{ccc}1+\cos 2\omega t& \sin 2\omega t& 0\\ \sin 2\omega t& 1-\cos 2\omega t& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right)\end{array}\text{\hspace{1em}(5.36)}$$

由此得到的度规扰动为

$${\bar{h}}_{ij}\approx -\frac{2GM{R}^2{\omega }^2}{r}\left(\begin{array}{ccc}\cos 2\omega t_{\mathrm{ret}}& \sin 2\omega t_{\mathrm{ret}}& 0\\ \sin 2\omega t_{\mathrm{ret}}& -\cos 2\omega t_{\mathrm{ret}}& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right)$$

其中 $t_{\mathrm{ret}}=t-r$ 是推迟时间。

这一引力波大致沿径向向外传播。若沿 z 轴方向观察，则它与我们此前见过的平面波 (5.22) 形式相同，只是现在 $H_{+}$ 与 $H_X$ 两种偏振组合在一起，相位相差 $\pi /2$，这也就是所谓的圆偏振。

我们可以借此粗略估计引力波的预期强度。用 (5.35) 替换频率，便得到

$$|h_{ij}|\sim \frac{G^2{M}^2}{Rr}$$

显然，质量 M 越大、轨道越近（即 R 越小），信号就越强。最致密的天体是黑洞，其大小由施瓦西半径 $R_s=2GM$ 给出。当两个黑洞彼此靠近时，取 $R\approx R_s$，便得到

$$|h_{ij}|\sim \frac{GM}{r}$$

一个质量为几个太阳质量的黑洞，其施瓦西半径约为 $R_s\sim 10$ km。接下来的问题就是这些黑洞离我们有多远。如果两个这样的黑洞在比如仙女座星系中绕转，而该星系距离我们 250 万光年，即 $r\approx 10^{18}$ km，那么我们得到 $h\sim 10^{-17}$。若距离为十亿光年，则得到 $h\sim 10^{-20}$。这些都是很小的数字。尽管如此，正如我们前面提到的，这正是引力波探测器已经达到的灵敏度。

5.3.3 与电磁学的比较

对于电磁波和引力波，都存在一个多极展开，它用源来确定远距离处的波动行为。（麦克斯韦理论中计算的完整细节可在电磁学讲义中找到。）在电磁学中，电荷分布 $\rho (\mathbf{x})$ 的多极矩是电荷

$$Q={\int }_{\Sigma }{d}^{3}x\rho (\mathbf{x})$$

偶极子

$$\mathbf{p}={\int }_{\Sigma }{d}^{3}x\rho (\mathbf{x})\mathbf{x}$$

四极子

$${\mathbb{Q}}_{ij}={\int }_{\Sigma }{d}^{3}x\rho (\mathbf{x})\left(3x_i{x}_j-{\delta }_{ij}{x}^2\right)$$

等等。电荷守恒告诉我们 $\dot{Q}=0:$ 总电荷不能改变，这意味着电磁波没有单极子贡献。相反，领头阶贡献来自偶极子。事实上，重复我们上面在麦克斯韦理论背景下所做的计算即可表明，电磁波的领头阶贡献为

$$\mathbf{A}(\mathbf{x},t)\approx \frac{{\mu }_0}{4\pi r}\dot{\mathbf{p}}(t-r)\text{\hspace{1em}(5.37)}$$

我们可以把它与引力中的情形作比较。能量分布 $T_{00}(\mathbf{x})$ 的多极矩是总能量

$$E={\int }_{\Sigma }{d}^{3}x{T}_{00}(\mathbf{x})$$

偶极子，在这里它与分布的质心有关

$$\mathbf{X}=\frac{1}{E}{\int }_{\Sigma }{d}^{3}x{T}_{00}(\mathbf{x})\mathbf{x}$$

四极子

$$I_{ij}(t)=\int d^{3}x{T}_{00}(\mathbf{x},t)x_i{x}_j$$

正是能量守恒，即 $\dot{E}=0$，使得引力辐射中没有单极子贡献。但正如我们在上面看到的，与电磁学不同，这里的偶极贡献也消失了。这一点同样可以追溯到一条守恒定律：我们有

$$E{\dot{X}}_i={\int }_{\Sigma }{d}^{3}x({\partial }_0{T}_{00})x_i={\int }_{\Sigma }{d}^{3}x({\partial }_j{T}_{j0})x_i=-{\int }_{\Sigma }{d}^{3}x{T}_{i0}=P_i$$

其中，在倒数第二个等式中我们做了分部积分，在最后一个等式中我们使用了(5.31)中定义的总动量 $P_i$ 的定义。但动量守恒意味着偶极子的二阶时间导数为零

$$E\ddot{\mathbf{X}}=\dot{\mathbf{P}}=0$$

这就是不存在引力偶极子的物理原因：它将违反动量守恒。

在电磁学中，规范势还有另一个偶极贡献，即

$${\mathbf{A}}^{\mathrm{MD}}(\mathbf{x},t)=-\frac{{\mu }_0}{4\pi r}\hat{\mathbf{x}}\times \dot{\mathbf{m}}(t-r)$$

其中磁偶极子 m 由下式定义

$$\mathbf{m}=\frac{1}{2}{\int }_{\Sigma }{d}^{3}x\mathbf{x}\times \mathbf{J}(\mathbf{x})$$

在我们的引力理论中，类似的项来自展开 (5.29) 中的 ${\dot{T}}_{ij}$。引力中磁偶极子的类比物是

$$J_i={\int }_{\Sigma }{d}^{3}x{ϵ}_{ijk}{x}_j{T}_{0k}$$

但这同样是我们熟悉的东西：它就是系统的角动量。它也是守恒的，即 $\dot{\mathbf{J}}=0$，这意味着偶极贡献在引力中同样消失。最低阶的效应是四极子。

5.3.4 辐射功率：四极矩公式

发出引力波的源会损失能量。我们想知道它究竟辐射出多少能量。换句话说，我们想弄清楚引力波携带了多少能量。

在电磁学的语境下，计算与之类似的量相当容易。电磁波中的能流由能动张量的 $T^{0i}$ 分量描述，这些分量更常见的名字是坡印廷矢量(Poynting vector)

$$\mathbf{S}=\frac{1}{{\mu }_0}\mathbf{E}\times \mathbf{B}$$

要计算电磁源辐射的功率 $\mathcal{P}$，只需把这个能流在包围该源的球面 ${\mathbf{S}}^2$ 上积分，

$$\mathcal{P}={\int }_{{\mathbf{S}}^2}{d}^2\mathbf{r}\cdot \mathbf{S}$$

利用电磁波的偶极近似 (5.37) 计算这一积分，并作适当的平均，就得到拉莫尔公式

$$\mathcal{P}=\frac{{\mu }_0}{6\pi c}|\ddot{\mathbf{p}}{|}^2$$

本节的任务就是对引力波做同样的计算。

这并不像听起来那么容易。问题正是我们在 4.5.5 节 中讨论过的那个：引力场没有局域的能动张量。这意味着引力波没有类似于坡印廷矢量的东西。看来我们陷入了困境。

不过，还是有一条出路。其想法是，我们尝试为引力波定义一个能动张量 $t_{\mu \nu }$，使它在线性化理论中满足

$${\partial }^{\mu }{t}_{\mu \nu }=0$$

问题在于，正如我们在4.5.5 节中提到的，无法以微分同胚不变的方式做到这一点。在完整的非线性理论中，这意味着$t_{\mu \nu }$实际上并不是一个张量。而在我们的线性化理论中，这意味着$t_{\mu \nu }$在(5.10)的规范变换下将不具有不变性。尽管如此，我们还是先定义一个合适的$t_{\mu \nu },$，然后再去操心缺乏规范不变性的问题。

一种快速而粗糙的做法：菲尔兹-泡利作用量

当被要求为度规扰动构造一个能动张量时，首先想到的就是回到菲尔兹-泡利作用量(5.8)。把它看作描述一个在闵可夫斯基空间中传播的自旋2场的作用量，我们便可以像对待任何其他经典场论那样对待它，用通常的办法计算能动张量。

例如，若我们在横向无迹规范下工作，即 $h=0$ 且 ${\partial }^{\mu }{h}_{\mu \nu }=0$，那么经过一次分部积分后，菲尔兹-泡利作用量变为

$$S_{FP}=-\frac{1}{8\pi G}\int d^{4}x\frac{1}{4}{\partial }_{\rho }{h}_{\mu \nu }{\partial }^{\rho }{h}^{\mu \nu }$$

它看起来就像一堆无质量标量场的作用量。于是能量密度具有如下示意形式

$$t^{00}\sim \frac{1}{G}{\dot{h}}_{\mu \nu }{\dot{h}}^{\mu \nu }$$

此外还有梯度项，但对于波动方程而言，它们所起的作用与时间导数相同。严格说来，我们应当用动量 $t^{0i}$ 来计算，但它的标度方式与此相同，而且用 $t^{00}$ 来计算会稍微容易一些。我们先前给出的、关于所发射引力波的表达式(5.33)并不是在横向无迹规范下写出的。若把它整理成这种形式，我们便得到

$$h_{ij}(\mathbf{x},t)\sim \frac{G}{r}{\ddot{\mathcal{Q}}}_{ij}(t-r)$$

其中 ${\mathcal{Q}}_{ij}$ 是四极矩的无迹部分，

$${\mathcal{Q}}_{ij}=I_{ij}-\frac{1}{3}{I}_{kk}{\delta }_{ij}$$

综合以上结果可以看出，能量密度在引力波中所携带的形式大致为

$$t^{00}\sim \frac{G}{r^2}{\ddot{\mathcal{Q}}}_{ij}^2$$

对远处的一个球面进行积分，可以看出引力波所损失的能量应当依赖于四极矩三阶导数的平方，

$$\mathcal{P}\sim G{\ddot{\mathcal{Q}}}_{ij}^2$$

事实证明这确实是对的。更精细的处理给出

$$\mathcal{P}=\frac{G}{5}{\stackrel{\dots }{\mathcal{Q}}}_{ij}{\stackrel{\dots }{\mathcal{Q}}}^{ij}\text{\hspace{1em}(5.38)}$$

其中，与前面所有公式一样，${\ddot{\mathcal{Q}}}_{ij}$ 应在推迟时间 $t_{\mathrm{ret}}=t-r$ 处取值。这就是四极矩公式(quadrupole formula)，它是拉莫尔公式在引力情形下的对应物。

在引力波被直接探测到之前，四极矩公式为我们提供了引力波存在的最佳观测证据。赫尔斯-泰勒脉冲星是一个双中子星系统，于1974年被发现。其中一颗中子星是脉冲星，每59毫秒发出一束锐利的脉冲。利用这一点可以非常精确地追踪这两颗星的轨道，并表明其周期——约为7.75小时——每年缩短约10 $\mu \mathrm{s}$。这与四极矩公式(5.38)相符。赫尔斯和泰勒因这一发现获得了1993年诺贝尔奖。

寻找更好的方法

任何试图改进上述讨论的尝试都会引出一大堆麻烦。要确定因子 $1/5$ 所需的计算相当繁重。然而更重要的是，我们还需要克服若干概念上的问题。我们不去解释给出因子 $1/5$ 的详细积分，而是集中讨论其中一些概念性的想法。

我们的第一项任务是更好地定义 $t_{\mu \nu }$。为此有若干种做法。

• 第一，我们可以尝试更认真地由菲尔兹-泡利作用量 (5.8) 计算能动张量 $t_{\mu \nu }$，而不那么敷衍了事。事实证明，这样做会遇到许多不确定性。例如，如果我们试图把 $t_{\mu \nu }$ 计算为对应于时空平移的诺特流，就会发现结果对 $\mu$ 和 $\nu ,$ 既不对称，也不规范不变。这并不奇怪，因为麦克斯韦理论中也是如此。于是我们可以尝试加上一个“改进”项

$$t_{\mu \nu }\to t_{\mu \nu }+{\partial }^{\rho }{\Theta }_{\rho \mu \nu }$$

其中 ${\Theta }_{\rho \mu \nu }=-{\Theta }_{\mu \rho \nu }$，这保证了 ${\partial }^{\mu }{\partial }^{\rho }{\Theta }_{\rho \mu \nu }=0$，并且附加项不会破坏电流守恒。在麦克斯韦理论中，可以加上这样的项，使所得的能动张量既对称又规范不变。而对于菲尔兹-泡利作用量，我们可以使它对称，却无法使它规范不变。

另一种类似的做法是：不再追究菲尔兹-泡利作用量的来源，而是尝试通过在“弯曲时空”中用度规张量 $g^{\mu \nu }$ 缩并指标、并把导数替换为 ${\nabla }_{\mu }$，来写出该作用量的推广。然后我们可以用通常的公式 (4.46) 计算能动张量，随后再限制到平直空间。这里同样存在不确定性，它们来自可以在作用量中纳入诸如 $R_{\mu \nu }{h}^{\mu \rho }{h}^{\nu }{}_{\rho }$ 或 $R_{\mu \nu \rho \sigma }{h}^{\mu \rho }{h}^{\nu \sigma }$ 这样的项。这些项在闵可夫斯基空间中为零，但会给出不同的能动张量。无论作何选择，结果仍然是对称的，但不是规范不变的。

• 另一种做法是认真对待物质场的能量不守恒，并试图把它解释为能量被转移到了引力场之中。为此，让我们再次考察协变守恒 ${\nabla }_{\mu }{T}^{\mu \nu }=0$。正如我们在 4.5.5 节 中所强调的，协变守恒并不等同于真正的守恒。特别地，我们可以把协变守恒方程改写为

$$\begin{array}{rl}& {\nabla }_{\mu }{T}_{\nu }^{\mu }=\frac{1}{\sqrt{-g}}{\partial }_{\mu }\left(\sqrt{-g}{T}_{\nu }^{\mu }\right)-{\Gamma }_{\mu \nu }^{\rho }{T}_{\rho }^{\mu }\\ & =\frac{1}{\sqrt{-g}}{\partial }_{\mu }\left(\sqrt{-g}{T}_{\nu }^{\mu }\right)-\frac{1}{2}{\partial }_{\nu }{g}_{\mu \rho }{T}^{\mu \rho }=0\end{array}$$

其中第二行用到了 $T^{\mu \rho }$ 的对称性。注意，只有当 $\nu$ 指标处于下方时，克里斯托费尔符号才能化简为 $g_{\mu \rho ,\nu }$；这正反映了我们是以非协变的方式书写这些方程的。接下来，我们用爱因斯坦方程把右端的 $T^{\mu \rho }$ 替换为 $\frac{1}{8\pi G}{G}^{\mu \rho }$。于是得到

$${\partial }_{\mu }\left(\sqrt{-g}{T}_{\nu }^{\mu }\right)=\frac{1}{16\pi G}\sqrt{-g}{\partial }_{\nu }{g}_{\mu \rho }\left(R^{\mu \rho }-\frac{1}{2}R{g}^{\mu \rho }\right)=\frac{1}{16\pi G}\sqrt{-g}{\partial }_{\nu }{g}_{\mu \rho }{R}^{\mu \rho }$$

思路是对右端进行一番整理，使该表达式变成

$${\partial }_{\mu }(\sqrt{-g}{T}_{\nu }^{\mu })=-{\partial }_{\mu }(\sqrt{-g}{t}_{\nu }^{\mu })$$

其中某个 $t^{\mu }{}_{\nu }$ 被称为朗道-利夫希茨伪张量。这个方程表明，物质能量 $T^{\mu }{}_{\nu }$ 与引力能量 $t^{\mu }{}_{\nu }$ 之和是守恒的。不过，这一说法应当受到怀疑，因为它依赖于坐标：伪张量 $t_{\mu \nu }$ 并不是真正的张量：它的表达式冗长而丑陋，包含许多项，每一项都是 Γ 的二次式，也是 $g.$ 的二次式（你可以在朗道与利夫希茨《理论物理学教程》第 2 卷的 (101.6) 中找到它，但它多半不会让你产生什么顿悟）。在线性化理论中，伪张量的表达式稍微好看一些，但也只是稍微而已。

• 最后一种方法也许是最不直观的，但它的优点是能给出一种直接而不含糊的途径，来找到合适的非张量 $t_{\mu \nu }$。基于“任何假定的 $t_{\mu \nu }$ 都应是 $h_{\mu \nu }.$ 的二次式”这一预期，我们把爱因斯坦方程展开到下一阶。我们保持 $g_{\mu \nu }={\eta }_{\mu \nu }+h_{\mu \nu }$ 不变。展开到二阶后，爱因斯坦方程变为

$${\left[R_{\mu \nu }-\frac{1}{2}R{g}_{\mu \nu }\right]}^{(1)}+{\left[R_{\mu \nu }-\frac{1}{2}R{g}_{\mu \nu }\right]}^{(2)}=8\pi G{T}_{\mu \nu }$$

其中下标 (n) 表示只保留 $h^n$ 阶的项。我们把它改写为

$${\left[R_{\mu \nu }-\frac{1}{2}R{g}_{\mu \nu }\right]}^{(1)}=8\pi G\left(T_{\mu \nu }+t_{\mu \nu }\right)\text{\hspace{1em}(5.39)}$$

此时，爱因斯坦张量的二阶展开恰好出现在等式右端，其位置颇具暗示性，在那里它被解释为引力能量动量非张量。

$$\begin{array}{rl}& t_{\mu \nu }=-\frac{1}{8\pi G}{\left[R_{\mu \nu }-\frac{1}{2}R{g}_{\mu \nu }\right]}^{(2)}\\ & =-\frac{1}{8\pi G}\left[R_{\mu \nu }^{(2)}-\frac{1}{2}{R}^{(2)}{\eta }_{\mu \nu }-\frac{1}{2}{R}^{(1)}{h}_{\mu \nu }\right]\end{array}$$

如果我们远离源，那么就可以忽略 $R^{(1)}$ 这一项，因为它会由运动方程而消失。（更准确地说，它在线性阶上为零，因而在我们所关心的二阶上不会有所贡献。）最终我们得到如下看似简单的表达式

$$t_{\mu \nu }=-\frac{1}{8\pi G}\left[R_{\mu \nu }^{(2)}-\frac{1}{2}{R}^{(2)}{\eta }_{\mu \nu }\right]\text{\hspace{1em}(5.40)}$$

线性化比安基恒等式为 ${\partial }^{\mu }{\left[R_{\mu \nu }-\frac{1}{2}R{g}_{\mu \nu }\right]}^{(1)}=0$。但这意味着，如果我们远离源，从而 $T^{\mu \nu }=0$，并且运动方程 (5.39) 得到满足，那么我们就必然有 ${\partial }^{\mu }{t}_{\mu \nu }=0$，这正符合守恒流应有的性质。剩下的全部工作就是把里奇张量计算到微扰 $h_{\mu \nu }$ 的二阶。这很繁琐。结果证明答案是

$$\begin{array}{rl}& R_{\mu \nu }^{(2)}[h]=\frac{1}{2}{h}^{\rho \sigma }{\partial }_{\mu }{\partial }_{\nu }{h}_{\rho \sigma }-h^{\rho \sigma }{\partial }_{\rho }{\partial }_{(\mu }{h}_{\nu )\sigma }+\frac{1}{4}{\partial }_{\mu }{h}_{\rho \sigma }{\partial }_{\nu }{h}^{\rho \sigma }+{\partial }^{\sigma }{h}_{\nu }^{\rho }{\partial }_{[\sigma }{h}_{\rho ]\mu }\\ & +\frac{1}{2}{\partial }_{\sigma }(h^{\sigma \rho }{\partial }_{\rho }{h}_{\mu \nu })-\frac{1}{4}{\partial }^{\rho }h{\partial }_{\rho }{h}_{\mu \nu }-({\partial }_{\sigma }{h}^{\rho \sigma }-\frac{1}{2}{\partial }^{\rho }h){\partial }_{(\mu }{h}_{\nu )\rho }\end{array}$$

很漂亮吧？把它代入 (5.40) 的表达式，就得到 $t_{\mu \nu }$ 的一个同样漂亮的表达式。然而，$t_{\mu \nu }$ 又一次不是规范不变的。

我们看到，构造引力波的能动张量 $t_{\mu \nu }$ 有许多不同的方法。但它们没有一个是规范不变的。为了把它与某种物理的东西联系起来，我们显然必须构造出规范不变的东西。

只要我们的时空是渐近闵可夫斯基的，就有可能从 $t_{\mu \nu }$ 中提取出某种规范不变的东西。例如，我们可以把 $t^{00}$ 在一个无限大的空间超曲面上积分。这就定义了所谓的ADM能量，可以证明它不随时间变化。

另一种做法是，把 $t^{0i}$ 在 ${\mathcal{T}}^{+}$ 处的一个球面上积分。这同样给出一个规范不变量，它就是所谓邦迪能量的时间依赖关系。这一点在完整的非线性理论中同样可以定义。

下面我们给出一个不那么严格、但稍微简单一些的构造。引力波和任何波一样，在某个典型长度尺度 λ 上变化。我们通过对这些振荡取平均，引入一个粗粒化能量张量

$$⟨t_{\mu \nu }⟩={\int }_V{d}^{4}xW(x-y)t_{\mu \nu }(y)$$

其中积分取在某个典型尺度为 a 的区域 V 上。权重函数 $W(x)$ 具有这样的性质：它在 V 上光滑变化，满足 $\begin{array}{r}{\int }_V{d}^{4}xW(x)=1\end{array}$，且在 $\partial V$ 上 $W(x)=0$。所谓粗粒化，是指全导数的平均值按 $⟨\partial X⟩\sim 1/a$ 的量级标度。当 a 很大时，这类项可以忽略。类似地，我们可以在平均值内部“分部积分”，从而有 $⟨X\partial Y⟩=-⟨(\partial X)Y⟩+\mathcal{O}(1/a)$。一个相当直接的计算表明，在横向无迹规范下，平均能动张量简单地就是

$$⟨t_{\mu \nu }⟩=\frac{1}{32\pi G}⟨{\partial }_{\mu }{h}_{\rho \sigma }{\partial }_{\nu }{h}^{\rho \sigma }⟩$$

这里我们忽略了全导数项。我们可以验证它确实是守恒的，

$${\partial }^{\mu }⟨t_{\mu \nu }⟩=\frac{1}{32\pi G}⟨(\square h_{\rho \sigma }){\partial }_{\nu }{h}^{\rho \sigma }+\frac{1}{2}{\partial }_{\nu }({\partial }_{\mu }{h}_{\rho \sigma }{\partial }^{\mu }{h}^{\rho \sigma })⟩=0$$

第一项由运动方程而消失，而第二项是一个全导数，因而可以忽略。更重要的是，在规范变换下

$$\delta ⟨t_{\mu \nu }⟩=\frac{1}{16\pi G}⟨{\partial }_{\mu }{h}_{\rho \sigma }{\partial }_{\nu }({\partial }^{\rho }{\xi }^{\sigma }+{\partial }^{\sigma }{\xi }^{\rho })⟩$$

但现在我们可以分部积分，并利用德东德尔规范条件 ${\partial }^{\rho }{h}_{\rho \sigma }=0$。我们看到，平均后的 $t_{\mu \nu }$ 是规范不变的，有 $\delta ⟨t_{\mu \nu }⟩=0$，只差一个量级为 $\mathcal{O}(1/a)$ 的全导数项。换句话说，$t_{\mu \nu }$ 几乎是规范不变的。对“几乎规范不变”更好的说法是“并非规范不变”。如果我们真的想要某个规范不变的东西——而我们确实想要——就必须取 $a\to \infty$，也就是说，要对整个时空取平均。

最后，我们可以通过下式来计算引力波在无穷远处发射的功率

$$\mathcal{P}={\int }_{{\mathbf{S}}^2}{d}^{2}x{\hat{n}}_i⟨t^{0i}⟩$$

其中 ${\hat{n}}_i$ 是 ${\mathbf{S}}_{\infty }^2$ 的法向量。经过一些繁琐的积分，我们便得到答案 (5.38)。

5.3.5 位于 Q 上的引力波源

我们可以做一些快速的、粗略的数量级估算，以便对引力波源发射多少能量有个概念。假设牛顿引力是一个好的近似，则相距为 R 的两个质量 M 将以如下频率绕转

$${\omega }^{2}R\sim \frac{GM}{R^2}$$

四极矩为 $\mathcal{Q}\sim M{R}^2$，因而 $\ddot{\mathcal{Q}}\sim {\omega }^{3}M{R}^2$。由此可知，发射的功率按 (5.38) 标度

$$\mathcal{P}\sim G{\stackrel{\dots }{\mathcal{Q}}}^2\sim \frac{G^4{M}^5}{R^5}\text{\hspace{1em}(5.41)}$$

要从中得出具体数值，我们需要把 c 的因子放回去。回想一下，一个物体的施瓦西半径为 $R_s=2GM/c^2$，而牛顿常数的量纲为 $[G]=M^{-1}{L}^3{T}^{-2}$。于是我们可以把它写成

$$\mathcal{P}={\left(\frac{R_s}{R}\right)}^5{L}_{\mathrm{Planck}}\text{\hspace{1em}(5.42)}$$

其中普朗克光度(Planck luminosity)为

$$L_{\mathrm{Planck}}=\frac{c^5}{G}\approx 3.6\times 10^{52}{\mathrm{Js}}^{-1}$$

这是一个荒唐的光度。太阳的光度为 $L_{\odot }\approx 10^{-26}{L}_{\mathrm{Planck}}$。若有 $10^{11}$ 颗恒星，则星系的光度为 $L_{\mathrm{galaxy}}\approx 10^{-15}{L}_{\mathrm{Planck}}$。可见宇宙中大约有 $10^{10}$ 个星系，这意味着所有星系中的所有恒星发出的总光度为 $\approx 10^{-5}{L}_{\mathrm{Planck}}$

然而，当两个黑洞相互绕转并螺旋靠近，在它们的间距与各自的施瓦西半径相当的时刻，由(5.42)可知，它们以引力波形式发射的功率约为$L_{\mathrm{Planck}}$。在碰撞前那短暂的一瞬间，螺旋靠近的黑洞所释放的能量，比可见宇宙中所有恒星发出的能量还要多。

既然黑洞碰撞所发射的功率大得如此离谱，我们或许会抱有几分希望：从更寻常的系统中也能获得可观的能量。例如，我们可以考察我们的太阳系。(5.42)假定绕转的两个物体质量相同。若两个质量分别为$M_1\gg M_2$的物体在轨道上绕转，则(5.41)应替换为

$$\mathcal{P}\sim \frac{G^4{M}_1^3{M}_2^2}{R^5}$$

（其推导见习题册 4。）木星的质量为$10^{-3}{M}_{\odot }$，绕太阳运行的轨道距离约为$10^9$ km。利用太阳的施瓦西半径为$R_s\approx 3$ km 这一事实，我们求得木星发射引力波的功率为

$$\mathcal{P}\approx 10^{-50}{L}_{\mathrm{Planck}}\approx 10^{-24}{L}_{\odot }$$

这完全可以忽略不计。我们可以把这一点追溯到(5.42)中的 5 次方，这意味着功率下降得很快：宇宙中的极端事件会以引力波的形式释放出荒唐巨大的能量，而仅仅涉及重物的事件则基本上不发射任何能量。

当然，我们真正想问的问题是：我们挥动胳膊，究竟能发出多少引力辐射？假设我们真的疯起来，做开合跳，总之表现得像个疯子。这一次，国际单位制单位派上了用场。我们胳膊的质量是几 kg，移动的距离约为 1 米，频率约为每秒一次。于是 $\mathcal{Q}\approx 1\mathrm{kg}{\mathrm{m}}^2$，$\ddot{\mathcal{Q}}\approx 1\mathrm{kg}{\mathrm{m}}^2{\mathrm{s}}^{-3}$。功率则为

$$\mathcal{P}\sim \frac{G{\stackrel{\cdots }{Q}}^2}{c^5}\approx 10^{-52}{\mathrm{Js}}^{-1}$$

为了看清这有多小，让我们提醒自己：归根结底世界是量子的，尽管我们毫无希望探测到单个引力子，但引力波无疑是以能量为 $E=\hslash \omega$ 的量子形式出现的。于是我们可以问：我们必须挥动胳膊多久，才能发出一个引力子？频率为 $\omega \approx 1{\mathrm{s}}^{-1}$ 的引力子，其能量为 $E\approx 10^{-34}J$。因此上面的计算告诉我们，如果我们挥动双手，可以预期要经过

$$T=10^{18}\mathrm{s}$$

这差不多就是宇宙的年龄。你可能是很多东西，但你不是制造引力子的工厂。

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来源版本：michaelmas-2019-source-20260923

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