4.3 基本群的例子

一般说来，并不存在计算基本群的固定程序。不过在若干情形下，只需相对简单的考虑即可得到它们。这里我们考察圆周 $S^1$ 以及与之相关的空间的基本群。

我们把 $S^1$ 表示为 $\{z\in \mathbb{C}||z|=1\}$。定义映射 $p:\mathbb{R}\to S^1$ 为 $p:x\mapsto \exp (\mathrm{i}x)$。在 $p$ 之下，点 $0\in \mathbb{R}$ 被映到 $1\in S^1$，我们取它为基点。可以想象，在 $p$ 之下 $\mathbb{R}$ 缠绕在 $S^1$ 上，如图 4.9所示。若 $x,y\in \mathbb{R}$ 满足 $x-y=2\pi m(m\in \mathbb{Z})$，则它们被映到 $S^1$ 中的同一点。这时我们记作 $x\sim y$。这是一个等价关系，等价类 $[x]=\{y|x-y=2\pi m\text{ for some }m\in \mathbb{Z}\}$ 与点 $\exp (\mathrm{i}x)\in S^1$ 等同起来。由此可得 $S^1\cong \mathbb{R}/2\pi \mathbb{Z}$。设 $\tilde{f}:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ 是连续映射，满足 $\tilde{f}(0)=0$ 与 $\tilde{f}(x+2\pi )\sim \tilde{f}(x)$。显然，对任意 $x\in \mathbb{R}$ 都有 $\tilde{f}(x+2\pi )=\tilde{f}(x)+2n\pi$，其中 $n$ 是某个固定整数。若 $x\sim y(x-y=2\pi m)$，则有

图 4.9. 由 $x\mapsto \exp (\mathrm{i}x)$ 定义的映射 $p:\mathbb{R}\to S^1$ 把 $x+2m\pi$ 投影到 $S^1$ 上的同一点；而满足 $\tilde{f}(0)=0$ 且对固定的 $n$ 有 $\tilde{f}(x+2\pi )=\tilde{f}(x)+2n\pi$ 的 $\tilde{f}:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ 则定义了一个映射 $f:S^1\to S^1$。整数 $n$ 确定了 $f$ 所属的同伦类。

$$\begin{array}{rl}\tilde{f}(x)-\tilde{f}(y)& =\tilde{f}(y+2\pi m)-\tilde{f}(y)\\ & =\tilde{f}(y)+2\pi mn-\tilde{f}(y)=2\pi mn\end{array}$$

从而有 $\tilde{f}(x)\sim \tilde{f}(y)$。因此，$\tilde{f}:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ 通过 $f([x])=p\circ \tilde{f}(x)$ 唯一地确定了一个连续映射 $f:\mathbb{R}/2\pi \mathbb{Z}\to \mathbb{R}/2\pi \mathbb{Z}$，如图 4.9所示。注意 $f$ 保持基点 $1\in S^1$ 不动。反之，给定一个保持 $1\in S^1$ 不动的映射 $f:S^1\to S^1$，我们可以定义一个映射 $\tilde{f}:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$，使得 $\tilde{f}(0)=0$ 且 $\tilde{f}(x+2\pi )=\tilde{f}(x)+2\pi n$。

总之，从 $S^1$ 到 $S^1$ 且满足 $f(1)=1$ 的映射之集合，与从 $\mathbb{R}$ 到 $\mathbb{R}$ 且满足 $\tilde{f}(0)=0$ 与 $\tilde{f}(x+2\pi )=\tilde{f}(x)+2\pi n$ 的映射之集合之间存在一一对应。整数 $n$ 称为 $f$ 的度(degree)，记作 $\mathrm{deg}(f)$。当 $x$ 绕 $S^1$ 一周时，$f(x)$ 绕 $S^1$ 共 $n$ 周。

引理 4.2

(1) 设 $f,g:S^1\to S^1$ 满足 $f(1)=g(1)=1$。则 $\mathrm{deg}(f)=\mathrm{deg}(g)$ 当且仅当 $f$ 与 $g$ 同伦。

(2) 对任意 $n\in \mathbb{Z}$，存在映射 $f:S^1\to S^1$ 使得 $\mathrm{deg}(f)=n$。

证明

(1) 设 $\mathrm{deg}(f)=\mathrm{deg}(g)$，并设 $\tilde{f},\tilde{g}:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ 为相应的映射。则 $\tilde{F}(x,t)\equiv t\tilde{f}(x)+(1-t)\tilde{g}(x)$ 是 $\tilde{f}(x)$ 与 $\tilde{g}(x)$ 之间的同伦。容易验证 $F\equiv p\circ \tilde{F}$ 是 $f$ 与 $g$ 之间的同伦。反之，若 $f\sim g:S^1\to S^1$，则存在同伦 $F:S^1\times I\to S^1$，使得对任意 $t\in I$ 都有 $F(1,t)=1$。$\tilde{f}$ 与 $\tilde{g}$ 之间相应的同伦 $\tilde{F}:\mathbb{R}\times I\to \mathbb{R}$ 对某个 $n\in \mathbb{Z}$ 满足 $\tilde{F}(x+2\pi ,t)=\tilde{F}(x,t)+2n\pi$。因此 $\mathrm{deg}(f)=\mathrm{deg}(g)$。

(2) $\tilde{f}:x\mapsto nx$ 诱导出映射 $f:S^1\to S^1$，且 $\mathrm{deg}(f)=n$。

由引理 4.2可知，把整数 $\mathrm{deg}(f)$ 对应到满足 $f(1)=1$ 的映射 $f:S^1\to S^1$，就在 ${\pi }_1(S^1,1)$ 与 $\mathbb{Z}$ 之间建立了双射。而且这还是同构。事实上，对 $f,g:S^1\to S^1$，按环路乘积定义的 $f\ast g$ 满足 $\mathrm{deg}(f\ast g)=\mathrm{deg}(f)+\mathrm{deg}(g)$。[设 $\tilde{f}(x+2\pi )=\tilde{f}(x)+2\pi n$，$\tilde{g}(x+2\pi )=\tilde{g}(x)+2\pi m$。则 $f\ast g(x+2\pi )=f\ast g(x)+2\pi (m+n)$。注意 $\ast$ 不是映射的复合，而是路径的乘积。] 至此我们证明了下面的定理。

定理 4.5

$S^1$ 的基本群同构于 $\mathbb{Z}$，

$${\pi }_1\left(S^1\right)\cong \mathbb{Z}.\text{\hspace{1em}(4.10)}$$

[由于 $S^1$ 是弧连通的，我们可以略去基点。]

尽管这个定理的证明并不十分显然，定理的陈述本身却连小孩子也容易理解。设想我们用一根橡皮筋绕住一个圆柱面。若它绕圆柱面 $n$ 圈，那么这种构形就不能连续形变为绕 $m(\ne n)$ 圈的构形。若一根橡皮筋先绕圆柱面 $n$ 圈，再绕 $m$ 圈，那么它总共绕圆柱面 $n+m$ 圈。

4.3.1 环面的基本群

定理 4.6

设 $X$ 与 $Y$ 是弧连通的拓扑空间，则 ${\pi }_1(X\times Y,(x_0,y_0))$ 同构于 ${\pi }_1(X,x_0)\oplus {\pi }_1(Y,y_0)$。

证明

定义投影映射(projection) $p_1:X\times Y\to X$ 与 $p_2:X\times Y\to Y$。若 $\alpha$ 是 $X\times Y$ 中基于 $(x_0,y_0)$ 的环路，则 ${\alpha }_1\equiv p_1(\alpha )$ 是 $X$ 中基于 $x_0$ 的环路，而 ${\alpha }_2\equiv p_2(\alpha )$ 是 $Y$ 中基于 $y_0$ 的环路。反之，$X$ 中基于 $x_0$ 的任一环路 ${\alpha }_1$ 与 $Y$ 中基于 $y_0$ 的任一环路 ${\alpha }_2$ 所构成的每一对，都唯一确定 $X\times Y$ 中基于 $(x_0,y_0)$ 的一个环路 $\alpha =({\alpha }_1,{\alpha }_2)$。定义同态(homomorphism) $\phi :{\pi }_1(X\times Y,(x_0,y_0))\to {\pi }_1(X,x_0)\oplus {\pi }_1(Y,y_0)$ 为

$$\phi ([\alpha ])=([{\alpha }_1],[{\alpha }_2]).$$

由构造可知，$\phi$ 有逆映射，因此它就是所求的同构，从而 ${\pi }_1(X\times Y,(x_0,y_0))\cong {\pi }_1(X,x_0)\oplus {\pi }_1(Y,y_0)$。

例 4.3

（1）设 $T^2=S^1\times S^1$ 为环面，则

$${\pi }_1\left(T^2\right)\cong {\pi }_1\left(S^1\right)\oplus {\pi }_1\left(S^1\right)\cong \mathbb{Z}\oplus \mathbb{Z}.\text{\hspace{1em}(4.11)}$$

类似地，对于 $n$ 维环面

$$T^n=\underset{n}{\underbrace{S^1\times S^1\times \cdots \times S^1}}$$

我们有

$${\pi }_1\left(T^n\right)\cong \underset{n}{\underbrace{\mathbb{Z}\oplus \mathbb{Z}\oplus \cdots \oplus \mathbb{Z}}}.\text{\hspace{1em}(4.12)}$$

（2）设 $X=S^1\times \mathbb{R}$ 为圆柱面。由于 ${\pi }_1(\mathbb{R})\cong \{e\}$，我们有

$${\pi }_1(X)\cong \mathbb{Z}\oplus \{e\}\cong \mathbb{Z}.\text{\hspace{1em}(4.13)}$$

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