李括号 (Lie bracket)

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Szekeres · source-snapshot-bc3404156f6e

已登记出处中的最早位置：§15.5 · zh-CN。

位置	语言	登记角色
§15.5	zh-CN · 英文上下文	术语出现
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来源短摘录与定位

§15.5 · zh-CN · translation · unreviewed

设 $X$ 与 $Y$ 是可微流形 $M$ 的开子集 $U$ 上的光滑向量场。我们将其 对易子(commutator) 或 李括号(Lie bracket) [$X$, $Y$] 定义为 $U$ 上由下式定义的向量场

§15.5 · en · original_transcription · unreviewed

Let $X$ and $Y$ be smooth vector fields on an open subset $U$ of a differentiable manifold $M$. We define their commutator or Lie bracket [$X$, $Y$] as the vector field on $U$ defined by

Woit · 2025-10-20

已登记出处中的最早位置：§5.1 · zh-CN。

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§16.2	en · 中文上下文	术语出现

来源短摘录与定位

§5.1 · zh-CN · translation · unreviewed

定义 · 李括号(Lie bracket)

定义（李括号）。在 $\mathfrak{g}$ 上，李括号(Lie bracket)是由矩阵对易子给出的双线性反对称映射

$$[\cdot ,\cdot ]:(X,Y)\in \mathfrak{g}\times \mathfrak{g}\to [X,Y]=XY-YX\in \mathfrak{g}$$

§5.1 · en · original_transcription · ai-transcription-compared

Definition · Lie bracket

Definition (Lie bracket). The Lie bracket operation on $\mathfrak{g}$ is the bilinear antisymmetric map given by the commutator of matrices

$$[\cdot ,\cdot ]:(X,Y)\in \mathfrak{g}\times \mathfrak{g}\to [X,Y]=XY-YX\in \mathfrak{g}$$

§6.1 · zh-CN · machine_draft · machine-draft-not-reviewed

注意，这些对易关系与李代数 $\mathfrak{su}(2)$ 的基向量 $X_1,X_2,X_3$ 所满足的方程 3.5 完全相同，因此 $\mathfrak{so}(3)$ 与 $\mathfrak{su}(2)$ 是同构的李代数。二者都是带有相同李括号(Lie bracket)运算的向量空间(vector space) ${\mathbf{R}}^3$。这种运算在另一语境中也很熟悉：它就是标准基向量的叉积(cross product)：

§6.1 · en · machine_draft · machine-draft-not-reviewed

正文请在原位置阅读；长段落、数学边界或未定位引用不截断嵌入，精确范围与指纹保存在结构化索引。

§6.3 · zh-CN · machine_draft · machine-draft-not-reviewed

正文请在原位置阅读；长段落、数学边界或未定位引用不截断嵌入，精确范围与指纹保存在结构化索引。

§6.3 · en · machine_draft · machine-draft-not-reviewed

正文请在原位置阅读；长段落、数学边界或未定位引用不截断嵌入，精确范围与指纹保存在结构化索引。

§16.2 · zh-CN · machine_draft · machine-draft-not-reviewed

带有李括号(Lie bracket)

§16.2 · en · machine_draft · machine-draft-not-reviewed

with Lie bracket

原文中已定位的引用（不自动视为依赖）

• [方程 3.5](../chapter-03/02-commutation-relations-for-pauli-matrices#equation-3-5)
• [equation 3.5](../chapter-03/02-commutation-relations-for-pauli-matrices#equation-3-5)

编辑导读与作者比较

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Woit在矩阵李代数中定义李括号为 $[X,Y]=XY-YX$，并证明若 $X,Y\in \mathfrak{g}$，结果仍属于 $\mathfrak{g}$。 Woit · §5.1

Szekeres第15.5节对流形上的光滑向量场定义 $[X,Y]f=X(Yf)-Y(Xf)$；此处的对象与Woit的矩阵不同，不能把两种具体定义混写。 Szekeres · §15.5

Woit先讨论矩阵李代数，再定义矩阵括号并验证闭合；Szekeres从向量场对函数的复合差开始，随后验证结果仍为向量场。 Woit · §5.1；Szekeres · §15.5

Woit · 作者条件与约定

先定义矩阵李代数，随后把李括号定义为矩阵对易子并验证闭合。

条件：$X,Y\in \mathfrak{g}$ 且 $\mathfrak{g}$ 来自矩阵李群；$[X,Y]=XY-YX$。

记号：$[X,Y]$、$\mathfrak{g}$。

Woit · §5.1

Szekeres · 作者条件与约定

第15.5节先令 $X,Y$ 为流形开集上的光滑向量场，再以它们作用于函数的复合差定义括号；随后说明该运算确为向量场。

条件：$X,Y$ 是可微流形 $M$ 的开子集 $U$ 上的光滑向量场；对可微函数 $f$，$[X,Y]f=X(Yf)-Y(Xf)$。

记号：$[X,Y]$，亦称对易子；这里对象是向量场。

Szekeres · §15.5

来源覆盖、定位与记录

索引保留所有已登记出处，不受模型材料包八小节限额影响。中英上下文按已登记的书、版次与小节配对，不冒充另一语言的概念定义。没有穷尽全书未标记的术语；程序校验不提升原著或译文审阅资格。

登记位置 12；当前可定位出现 12。

永久身份：urn:uuid:2ec20f01-7d55-4d42-bfe7-cf436d149036。

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