雅可比恒等式 (Jacobi identity)

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Woit · 2025-10-20

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来源短摘录与定位

§5.4 · zh-CN · translation · unreviewed

这称为雅可比恒等式(Jacobi identity)。直接展开矩阵乘积也能更简单地推出这一恒等式；不过这里还可以从一个更抽象的角度理解它为何成立：伴随表示的存在。利用对易子的反对称性重新排列各项，还能得到其他等价形式；例如，对循环置换求和可得：

§5.4 · en · original_transcription · ai-transcription-compared

This is called the Jacobi identity. It could be derived more simply by expanding the matrix products, but here we see a more abstract reason it holds: the existence of the adjoint representation. Using antisymmetry of the commutator to rearrange the terms gives other equivalent forms; for example, summing over cyclic permutations yields

§5.4 · zh-CN · translation · unreviewed

定义 · 抽象李代数

定义（抽象李代数）。域 $k$ 上的一个 抽象李代数(abstract Lie algebra) 是 $k$ 上的一个向量空间 $A$，带有一个双线性运算

$$[\cdot ,\cdot ]:(X,Y)\in A\times A\mapsto [X,Y]\in A$$

满足

1. 反对称性：

$$[X,Y]=-[Y,X]$$

2. 雅可比恒等式(Jacobi identity)：

$$[[X,Y],Z]+[[Z,X],Y]+[[Y,Z],X]=0$$

来源覆盖、定位与记录

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