12.3 德拉姆复形

设 $M$ 是一个 $m$ 维的紧可定向流形，没有边界。至此我们对德拉姆复形已经很熟悉了：

$$\cdots \stackrel{\mathrm{d}}{\to }{\Omega }^{r-1}(M{)}^{\mathbb{C}}\stackrel{\mathrm{d}}{\to }{\Omega }^r(M{)}^{\mathbb{C}}\stackrel{\mathrm{d}}{\to }{\Omega }^{r+1}(M{)}^{\mathbb{C}}\stackrel{\mathrm{d}}{\to }\dots \text{\hspace{1em}(12.35)}$$

其中 ${\Omega }^r(M{)}^{\mathbb{C}}=\Gamma (M,{\wedge }^r{T}^{\ast }{M}^{\mathbb{C}})$。我们把微分形式复化，以便应用 AS 指标定理。外微分满足 ${\mathrm{d}}^2=0$。要证明 (12.35) 是椭圆复形，我们必须证明 $\mathrm{d}$ 是椭圆的。为求出 $\mathrm{d}$ 的符号，我们注意到

$$\sigma (\mathrm{d},\xi )\omega =\mathrm{d}(f\tilde{s}){|}_p=\mathrm{d}f\wedge \tilde{s}+f\mathrm{d}\tilde{s}{|}_p=\xi \wedge \omega$$

其中 $p\in M,\omega \in {\Omega }_p^r(M{)}^{\mathbb{C}},f(p)=0,\mathrm{d}f(p)=\xi ,\tilde{s}\in {\Omega }^r(M{)}^{\mathbb{C}}$，$\tilde{s}(p)=\omega$；见 (12.4)。于是得到

$$\sigma (\mathrm{d},\xi )=\xi \wedge .\text{\hspace{1em}(12.36)}$$

这就定义了一个映射 ${\Omega }^r(M{)}^{\mathbb{C}}\to {\Omega }^{r+1}(M{)}^{\mathbb{C}}$，并且当 $\xi \ne 0$ 时它是非奇异的。于是我们证明了 $\mathrm{d}:{\Omega }^r(M{)}^{\mathbb{C}}\to {\Omega }^{r+1}(M{)}^{\mathbb{C}}$ 是椭圆的，从而(12.35)是一个椭圆复形。但要注意，算子 $\mathrm{d}:{\Omega }^k(M)\to {\Omega }^{k+1}(M)$ 并不是弗雷德霍姆的，因为 $\ker d$ 是无穷维的。要把指标定理应用于这个复形，我们必须转而考虑德拉姆上同调群 $H^r(M)$。算子 $\mathrm{d}$ 在这个空间上当然是弗雷德霍姆的。

我们来求出这个复形的指标定理。注意到 ${\dim }_{\mathbb{C}}{H}^r(M;\mathbb{C})={\dim }_{\mathbb{R}}{H}^r(M;\mathbb{R})$。因此，解析指标为

$$\begin{array}{rl}\mathrm{ind}\mathrm{d}& =\sum _{r=0}^m(-1{)}^r{\dim }_{\mathbb{C}}{H}^r(M;\mathbb{C})\\ & =\sum (-1{)}^r{\dim }_{\mathbb{R}}{H}^r(M;\mathbb{R})=\chi (M)\end{array}\text{\hspace{1em}(12.37)}$$

其中 $\chi (M)$ 是 $M$ 的欧拉示性数。设 $M$ 是偶数维的，$m=2l$。(12.33)的右端给出拓扑指标

$$(-1{)}^{l(2l+1)}{\int }_M\mathrm{ch}\left(\underset{r=0}{\overset{m}{⨁}}(-1{)}^r{\wedge }^r{T}^{\ast }{M}^{\mathbb{C}}\right)\frac{\mathrm{Td}\left(T{M}^{\mathbb{C}}\right)}{e(TM)}{|}_{\text{v o l}}.\text{\hspace{1em}(12.38)}$$

分裂原理给出

$$\begin{array}{rl}& \mathrm{ch}\left(\underset{r=0}{\overset{m}{⨁}}(-1{)}^r{\wedge }^r{T}^{\ast }{M}^{\mathbb{C}}\right)\\ & =1-\mathrm{ch}\left(T^{\ast }{M}^{\mathbb{C}}\right)+\mathrm{ch}\left({\wedge }^2{T}^{\ast }{M}^{\mathbb{C}}\right)+\cdots +(-1{)}^m\mathrm{ch}\left({\wedge }^m{T}^{\ast }{M}^{\mathbb{C}}\right)\\ & =1-\sum _{i=1}^m{\mathrm{e}}^{-x_i}\left(T{M}^{\mathbb{C}}\right)+\sum _{i<j}{\mathrm{e}}^{-x_i}{\mathrm{e}}^{-x_j}\left(T{M}^{\mathbb{C}}\right)+\dots \\ & +(-1{)}^m{\mathrm{e}}^{-x_1}{\mathrm{e}}^{-x_2}\dots {\mathrm{e}}^{-x_m}(T{M}^{\mathbb{C}})\\ & =\prod _{i=1}^m\left(1-{\mathrm{e}}^{-x_i}\right)\left(T{M}^{\mathbb{C}}\right)\end{array}$$

这里我们注意到 $x_i(T^{\ast }{M}^{\mathbb{C}})=-x_i(T{M}^{\mathbb{C}})$。[设 $L$ 为复线丛，$L^{\ast }$ 为其对偶丛。$L\otimes L^{\ast }$ 是一个丛，其截面是 $L$ 的每个纤维上的映射 $\mathbb{C}\to \mathbb{C}$。$L\otimes L^{\ast }$ 有一个处处不为零的整体截面（例如恒等映射），由此可以证明 $L\otimes L^{\ast }$ 是平凡丛。我们有 $c_1(L\otimes L^{\ast })=c_1(L)+c_1(L^{\ast })=0$，从而 $x(L^{\ast })=-x(L)$。分裂原理给出 $x_i(T^{\ast }{M}^{\mathbb{C}})=-x_i(T{M}^{\mathbb{C}})$。]我们还有

$$\mathrm{Td}\left(T{M}^{\mathbb{C}}\right)=\prod _{i=1}^m\frac{x_i}{1-{\mathrm{e}}^{-x_i}}\left(T{M}^{\mathbb{C}}\right)$$

$$e(TM)=\prod _{i=1}^l{x}_i(T{M}^{\mathbb{C}}).$$

将这些代入(12.38)，便得到

$$\mathrm{ind}\mathrm{d}={\int }_M(-1{)}^{l(2l+1)}(-1{)}^l\left(\prod _{i=1}^l{x}_i\left(T{M}^{\mathbb{C}}\right)\right)={\int }_{M}e(TM).\text{\hspace{1em}(12.39)}$$

若 $m$ 为奇数，则可证明（Shanahan (1978), p22）

$$\mathrm{ind}\mathrm{d}=0\text{\hspace{1em}(12.40)}$$

这与当 $\dim M$ 为奇数时 $e(TM)=0$ 这一事实相符。无论如何，德拉姆复形的指标定理为

$$\chi (M)={\int }_{M}e(TM).\text{\hspace{1em}(12.41)}$$

例 12.3

设 $M$ 为无边界的二维可定向流形。由式 (12.41)可得

$$\chi (M)=\frac{1}{4\pi }{\int }_M{ϵ}^{\alpha \beta }{\mathcal{R}}_{\alpha \beta }=\frac{1}{2\pi }{\int }_M{\mathcal{R}}_{12}(12.42\mathrm{a})$$

这正是著名的高斯-博内定理。当 $\dim M=4$ 时，它写成

$$\chi (M)=\frac{1}{32{\pi }^2}{\int }_M{ϵ}^{\alpha \beta \gamma \delta }{\mathcal{R}}_{\alpha \beta }\wedge {\mathcal{R}}_{\gamma \delta }.\text{\hspace{1em}(12.42b)}$$

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