12.1 椭圆算子与弗雷德霍姆算子

下面我们将讨论定义在无边紧流形 $M$ 上的向量丛上的微分算子。我们只处理一类性质良好的微分算子，即所谓的弗雷德霍姆算子(Fredholm operator)。

12.1.1 椭圆算子

设 $E$ 与 $F$ 是$M$上的复向量丛。$D$ 是一个微分算子，即一个线性映射

$$D:\Gamma (M,E)\to \Gamma (M,F).\text{\hspace{1em}(12.1)}$$

取 $M$ 的一个坐标卡 $U$，使得 $E$ 与 $F$ 在其上都是平凡的。我们把 $U$ 的局部坐标记作 $x^{\mu }$。下面引入多重指标记号：

$$M\equiv ({\mu }_1,{\mu }_2,\dots ,{\mu }_m){\mu }_j\in \mathbb{Z},{\mu }_j\ge 0$$

$$\left|M\right|\equiv {\mu }_1+{\mu }_2+\cdots +{\mu }_m$$

$$D_M=\frac{{\partial }^{|M|}}{\partial x^M}\equiv \frac{{\partial }^{{\mu }_1+\cdots +{\mu }_m}}{\partial (x^1{)}^{{\mu }_1}\dots \partial (x^m{)}^{{\mu }_m}}.$$

若 $\dim E=k$，$\dim F=k^{\prime }$，则 $D$ 的最一般形式为

$$[Ds(x){]}^{\alpha }=\sum _{\begin{array}{c}|M|\le N\\ 1\le a\le k\end{array}}{A}_a^{M\alpha }(x)D_M{s}^a(x)1\le \alpha \le k^{\prime }\text{\hspace{1em}(12.2)}$$

其中 $s(x)$ 是 $E$ 的一个截面。注意，$x$ 表示一个其坐标为 $x^{\mu }$ 的点。这种轻微的滥用简化了记号。$A^M\equiv (A^M{)}_a^{\alpha }$ 是一个 $k\times k^{\prime }$ 矩阵，它可以依赖于位置 $x$。(12.2) 中的正整数 $N$ 称为 $D$ 的阶。我们感兴趣的是 $N=1$（狄拉克算符）与 $N=2$（拉普拉斯算符）的情形。例如，若 $F$ 是 $M$ 上的一个自旋丛，则狄拉克算符 $D\equiv \mathrm{i}{\gamma }^{\mu }{\partial }_{\mu }+m:\Gamma (M,E)\to \Gamma (M,E)$ 作用在 $E$ 的截面 $\psi (x)$ 上为

$$[D\psi (x){]}^{\alpha }=\mathrm{i}({\gamma }^{\mu }{)}_{\beta }^{\alpha }{\partial }_{\mu }{\psi }^{\beta }(x)+m{\psi }^{\alpha }(x).$$

$D$ 的符号是一个 $k\times k^{\prime }$ 矩阵

$$\sigma (D,\xi )\equiv \sum _{|M|=N}{A}_a^{M\alpha }(x){\xi }_M\text{\hspace{1em}(12.3)}$$

其中 $\xi$ 是一个实 $m$ 元组 $\xi =({\xi }_1,\dots ,{\xi }_m)$。符号也可以不依赖于坐标而定义如下。设 $E\stackrel{\pi }{\to }M$ 是一个向量丛，并设 $p\in M$、$\xi \in T_p^{\ast }M$ 和 $s\in {\pi }_E^{-1}(p)$。取截面 $\tilde{s}\in \Gamma (M,E)$ 使得 $\tilde{s}(p)=s$，并取函数 $f\in \mathcal{F}(M)$ 使得 $f(p)=0$ 且 $\mathrm{d}f(p)=\xi \in T_p^{\ast }M$。于是符号可由下式定义

$$\sigma (D,\xi )s=\frac{1}{N!}D\left(f^N\tilde{s}\right){|}_p.\text{\hspace{1em}(12.4)}$$

由于条件 $f(p)=0$，因子 $f^N$ 会自动提取出 $N$ 阶项。式 (12.4) 给出的符号与 (12.3) 相同。

若矩阵 $\sigma (D,\xi )$ 对每个 $x\in M$ 和每个 $\xi \in {\mathbb{R}}^m-\{0\}$ 都可逆，则称算子 $D$ 是椭圆的。显然，这一椭圆性定义仅当 $k=k^{\prime }$ 时才有意义。应当注意，复合算子 $D=D_1\circ D_2$ 的符号是各符号的复合，即 $\sigma (D,\xi )=\sigma (D_1,\xi )\sigma (D_2,\xi )$。这表明椭圆算子的复合仍是椭圆算子。一般地，椭圆算子的幂与根也是椭圆算子。

例 12.1

设 $x^{\mu }$ 是 ${\mathbb{R}}^m$ 中的自然坐标。若 $E$ 与 $F$ 是 ${\mathbb{R}}^m$ 上的实线丛，则拉普拉斯算符(Laplacian) $\Delta :\Gamma ({\mathbb{R}}^m,E)\to \Gamma ({\mathbb{R}}^m,F)$ 定义为

$$\Delta \equiv \frac{{\partial }^2}{\partial {\left(x^1\right)}^2}+\cdots +\frac{{\partial }^2}{\partial {\left(x^m\right)}^2}.\text{\hspace{1em}(12.5)}$$

由(12.3)可知，其符号为

$$\sigma (\Delta ,\xi )=\sum _{\mu }({\xi }_{\mu }{)}^2.$$

这与由(12.4)得到的结果一致，

$$\begin{array}{rl}\sigma (\Delta ,\xi )s& =\frac{1}{2}\Delta (f^2\tilde{s}){|}_p=\frac{1}{2}\sum \frac{{\partial }^2}{\partial (x^{\mu }{)}^2}(f^2\tilde{s}){|}_p\\ & =\frac{1}{2}\left(f^2\Delta \tilde{s}+2f\Delta f\tilde{s}+2f\sum \frac{\partial f}{\partial x^{\mu }}\frac{\partial \tilde{s}}{\partial x^{\mu }}+2\sum \frac{\partial f}{\partial x^{\mu }}\frac{\partial f}{\partial x^{\mu }}\tilde{s}\right){|}_p\\ & =\sum ({\xi }_{\mu }{)}^{2}s.\end{array}$$

显然，该符号对 $\xi \ne 0$ 可逆，因此 $\Delta$ 是椭圆算子。

然而，达朗贝尔算子

$$\square \equiv \frac{{\partial }^2}{\partial {\left(x^1\right)}^2}+\cdots +\frac{{\partial }^2}{\partial {\left(x^{m-1}\right)}^2}-\frac{{\partial }^2}{\partial {\left(x^m\right)}^2}\text{\hspace{1em}(12.6)}$$

不是椭圆算子，因为其符号

$$\sigma (\square ,\xi )=({\xi }^1{)}^2+\cdots +({\xi }^{m-1}{)}^2-({\xi }^m{)}^2$$

在整个光锥上处处为零，

$$({\xi }^m{)}^2=({\xi }^1{)}^2+\cdots +({\xi }^{m-1}{)}^2.$$

练习 12.1

设 $M={\mathbb{R}}^2$，并考虑一个二阶微分算子 $D$。$D$ 的符号具有如下形式

$$\sigma (D,\xi )=A_{11}{\xi }^1{\xi }^1+2A_{12}{\xi }^1{\xi }^2+A_{22}{\xi }^2{\xi }^2.$$

证明：$D$ 是椭圆的，当且仅当 $\sigma (D,\xi )=1$ 是 $\xi$ 空间中的椭圆。

12.1.2 弗雷德霍姆算子

设 $D:\Gamma (M,E)\to \Gamma (M,F)$ 为椭圆算子。$D$ 的核就是零特征向量的集合

$$\ker D\equiv \{s\in \Gamma (M,E)|Ds=0\}.\text{\hspace{1em}(12.7)}$$

设 $E$ 与 $F$ 分别配有纤维度量，记作 $⟨,{⟩}_E$ 与 $⟨,{⟩}_F$。$D$ 的伴随 $D^{†}:\Gamma (M,F)\to \Gamma (M,E)$ 由下式定义

$$⟨s^{\prime },Ds{⟩}_F\equiv ⟨D^{†}{s}^{\prime },s{⟩}_E\text{\hspace{1em}(12.8)}$$

其中 $s\in \Gamma (M,E)$，$s^{\prime }\in \Gamma (M,F)$。我们定义 $D$ 的余核为

$$\mathrm{coker}D\equiv \Gamma (M,F)/\mathrm{im}D.\text{\hspace{1em}(12.9)}$$

在椭圆算子中，我们关心的是核与余核均为有限维的一类算子。满足这一条件的椭圆算子 $D$ 称为弗雷德霍姆算子。解析指标

$$\mathrm{ind}D\equiv \dim \ker D-\dim \mathrm{coker}D\text{\hspace{1em}(12.10)}$$

对弗雷德霍姆算子而言是有定义的。此后我们只讨论弗雷德霍姆算子。由算子的一般理论可知，紧流形上的椭圆算子都是弗雷德霍姆算子。如定理 12.1所示，$\mathrm{ind}D$ 也可表示为

$$\mathrm{ind}D=\dim \ker D-\dim \ker D^{†}.\text{\hspace{1em}(12.11)}$$

定理 12.1

设 $D:\Gamma (M,E)\to \Gamma (M,F)$ 为弗雷德霍姆算子，则

$$\mathrm{coker}D\cong \ker D^{†}\equiv \{s\in \Gamma (M,F)|D^{†}s=0\}.\text{\hspace{1em}(12.12)}$$

证明

设 $[s]\in \mathrm{coker}D$ 由下式给出：

$$[s]=\{s^{\prime }\in \Gamma (M,F)|s^{\prime }=s+Du,u\in \Gamma (M,E)\}.$$

我们证明存在一个满射 $\ker D^{†}\to \mathrm{coker}D$，即任意 $[s]\in \mathrm{coker}D$ 都有一个代表元 $s_0\in \ker D^{†}$。定义 $s_0$ 为

$$s_0\equiv s-D\frac{1}{D^{†}D}{D}^{†}s.\text{\hspace{1em}(12.13)}$$

由 $D^{†}{s}_0=D^{†}s-D^{†}D(D^{†}D{)}^{-1}{D}^{†}s=D^{†}s-D^{†}s=0$ 可知 $s_0\in \ker D^{†}$。其次，设 $s_0,s_0^{\prime }\in \ker D^{†}$ 且 $s_0\ne s_0^{\prime }$。我们证明在 $\Gamma (M,F)/\mathrm{im}D$ 中 $[s_0]\ne [s_0^{\prime }]$。若 $[s_0]=[s_0^{\prime }]$，则存在元素 $u\in \Gamma (M,E)$ 使得 $s_0-s_0^{\prime }=Du$。于是 $0=⟨u,D^{†}(s_0-s_0^{\prime }){⟩}_E=⟨u,D^{†}Du{⟩}_E=⟨Du,Du{⟩}_F\ge 0$，从而 $Du=0$，这与我们的假设 $s_0\ne s_0^{\prime }$ 矛盾。因此，映射 $s_0\mapsto [s]$ 是一个双射，并且我们已证明 $\mathrm{coker}D\cong \ker D^{†}$。

12.1.3 椭圆复形

考虑一列弗雷德霍姆算子：

$$\cdots \to \Gamma (M,E_{i-1})\stackrel{D_{i-1}}{\to }\Gamma (M,E_i)\stackrel{D_i}{\to }\Gamma (M,E_{i+1})\stackrel{D_{i+1}}{\to }\dots \text{\hspace{1em}(12.14)}$$

其中 $\{E_i\}$ 是紧流形 $M$ 上的一列向量丛。若对任意 $i$，$D_i$ 都是幂零的（即 $D_i\circ D_{i-1}=0$），则称序列 $(E_i,D_i)$ 为椭圆复形(elliptic complex)。读者可参见 $\Gamma (M,E_i)={\Omega }_i(M)$ 与 $D_i=\mathrm{d}$（外微分）作为例子。$D_i:\Gamma (M,E_i)\to \Gamma (M,E_{i+1})$ 的伴随记为

$$D_i^{†}:\Gamma (M,E_{i+1})\to \Gamma (M,E_i).$$

拉普拉斯算符 ${\Delta }_i:\Gamma (M,E_i)\to \Gamma (M,E_i)$ 为

$${\Delta }_i\equiv D_{i-1}{D}_{i-1}^{†}+D_i^{†}{D}_i.\text{\hspace{1em}(12.15)}$$

霍奇分解也适用于当前情形：

$$s_i=D_{i-1}{s}_{i-1}+D_i^{†}{s}_{i+1}+h_i\text{\hspace{1em}(12.16)}$$

其中 $s_{i\pm 1}\in \Gamma (M,E_{i\pm 1})$，而 $h_i$ 属于 ${\Delta }_i$ 的核，即 ${\Delta }_i{h}_i=0$。

与德拉姆上同调群类似，我们定义

$$H^i(E,D)\equiv \ker D_i/\mathrm{im}{D}_{i-1}.\text{\hspace{1em}(12.17)}$$

与德拉姆理论的情形一样，可以证明 $H^i(E,D)$ 同构于 ${\Delta }_i$ 的核。因此有

$$\dim H^i(E,D)=\dim {\mathrm{Harm}}^i(E,D)\text{\hspace{1em}(12.18)}$$

其中 ${\mathrm{Harm}}^i(E,D)$ 是由 $\{h_i\}$ 张成的向量空间。这个椭圆复形的指标定义为

$$\mathrm{ind}D\equiv \sum _{i=0}^m(-1{)}^i\dim H^i(E,D)=\sum _{i=0}^m(-1{)}^i\dim \ker {\Delta }_i.\text{\hspace{1em}(12.19)}$$

这样定义的指标推广了欧拉示性数，见例 12.2。

它与(12.10)有何关系？考虑复形 $\Gamma (M,E)\stackrel{D}{\to }\Gamma (M,F)$ 。我们可以形式地在两边加上零，

$$0\stackrel{i}{\to }\Gamma (M,E)\stackrel{D}{\to }\Gamma (M,F)\stackrel{\phi }{\to }0\text{\hspace{1em}(12.20)}$$

其中 $i$ 是包含映射。按(12.19)，其指标为

dim ker $D-\{\dim \Gamma (M,F)-\dim \mathrm{im}D\}=\dim \ker D-\dim \mathrm{coker}D$

这里我们注意到 $\dim \mathrm{im}i=0$ ， $\ker \phi =\Gamma (M,F)$ 以及 $\mathrm{coker}D=\ker \phi /\mathrm{im}D$ 。因此，(12.19) 给出的指标与 (12.10) 相同。

通常方便的做法是用一个与原椭圆复形 $(E,D)$ 具有相同指标的两项椭圆复形来处理。这种卷起（rolling up）是通过定义

$$E_{+}\equiv \underset{r}{⨁}{E}_{2r},E_{-}\equiv \underset{r}{⨁}{E}_{2r+1}\text{\hspace{1em}(12.21)}$$

来实现的，它们分别称为偶丛(even bundle)与奇丛。相应地，我们考虑算子

$$A\equiv \underset{r}{⨁}\left(D_{2r}+D_{2r-1}^{†}\right),A^{†}\equiv \underset{r}{⨁}\left(D_{2r+1}+D_{2r}^{†}\right).\text{\hspace{1em}(12.22)}$$

容易验证 $A:\Gamma (M,E_{+})\to \Gamma (M,E_{-})$ 与 $A^{†}:\Gamma (M,E_{-})\to \Gamma (M,E_{+})$。由 $A$ 和 $A^{†}$，我们构造出两个拉普拉斯算符

$$\begin{array}{rl}{\Delta }_{+}\equiv A^{†}A& =\underset{r,s}{⨁}(D_{2r+1}+D_{2r}^{†})(D_{2s}+D_{2s-1}^{†})\\ & ={\oplus }_r\left(D_{2r-1}{D}_{2r-1}^{†}+D_{2r}^{†}{D}_{2r}\right)={\oplus }_r{\Delta }_{2r}\end{array}\text{\hspace{1em}(12.23a)}$$

$${\Delta }_{-}\equiv A{A}^{†}={\oplus }_r{\Delta }_{2r+1}.\text{\hspace{1em}(12.23b)}$$

于是我们有

$$\begin{array}{rl}\mathrm{ind}\left(E_{\pm },A\right)& =\dim \ker {\Delta }_{+}-\dim \ker {\Delta }_{-}\\ & =\sum (-1{)}^r\dim \ker {\Delta }_r=\mathrm{ind}(E,D).\end{array}\text{\hspace{1em}(12.24)}$$

例 12.2

考虑无边紧流形 $M$ 上的德拉姆复形 $\Omega (M)$，

$$0\stackrel{i}{\to }{\Omega }^0(M)\stackrel{\mathrm{d}}{\to }{\Omega }^1(M)\stackrel{\mathrm{d}}{\to }\cdots \stackrel{\mathrm{d}}{\to }{\Omega }^m(M)\stackrel{\mathrm{d}}{\to }0\text{\hspace{1em}(12.25)}$$

其中 $m=\dim M$，而 $\mathrm{d}$ 表示 ${\mathrm{d}}_r:{\Omega }^r(M)\to {\Omega }^{r+1}(M)$。由(12.25)定义的 $H^r(E,D)$ 与德拉姆上同调群 $H_r(M,\mathbb{R})$ 一致。该指标等于欧拉示性数，

$$\mathrm{ind}\left({\Omega }^{\ast }(M),\mathrm{d}\right)=\sum _{r=0}^m(-1{)}^r\dim H^r(M;\mathbb{R})=\chi (M).\text{\hspace{1em}(12.26)}$$

我们在第 7 章中已经知道，$b^r\equiv \dim H^r(M,\mathbb{R})$ 等于线性无关的调和 $r$-形式的个数：$\dim H^r(M,\mathbb{R})=\dim {\mathrm{Harm}}^r(M)=\dim \ker {\Delta }_r$，其中 ${\Delta }_r$ 是拉普拉斯算符

$${\Delta }_r={\left(\mathrm{d}+{\mathrm{d}}^{†}\right)}^2={\mathrm{d}}_{r-1}{\mathrm{d}}_{r-1}^{†}+{\mathrm{d}}_r^{†}{\mathrm{d}}_r\text{\hspace{1em}(12.27)}$$

而 ${\mathrm{d}}_r^{†}:{\Omega }^{r+1}(M)\to {\Omega }^r(M)$ 是 ${\mathrm{d}}_r$ 的伴随。于是我们得到

$$\chi (M)=\sum _{r=0}^m(-1{)}^r\dim \ker {\Delta }_r.\text{\hspace{1em}(12.28)}$$

这个关系式很有意思：左端是纯拓扑的量，例如可以通过对 $M$ 作三角剖分来计算；而右端则由解析方程 ${\Delta }_{r}u=0$ 的解给出。我们在例 11.6中指出，$\chi (M)$ 由欧拉类在 $M$ 上的积分给出：$\chi (M)={\int }_{M}e(TM)$。于是(12.28) 可写成

$$\sum _{r=1}^m(-1{)}^r\dim \ker {\Delta }_r={\int }_{M}e(TM).\text{\hspace{1em}(12.29)}$$

这是指标定理的典型形式。右端是解析指标，而左端是由某些示性类的积分给出的拓扑指标。在12.3 节中，我们将由阿蒂亚-辛格指标定理导出(12.29)。

该两项复形由下式给出

$${\Omega }^{+}(M)\equiv \underset{r}{⨁}{\Omega }^{2r}(M){\Omega }^{-}(M)\equiv \underset{r}{⨁}{\Omega }^{2r+1}(M).\text{\hspace{1em}(12.30)}$$

相应的算符为

$$A\equiv \underset{r}{⨁}\left({\mathrm{d}}_{2r}+{\mathrm{d}}_{2r-1}^{†}\right)A^{†}\equiv \underset{r}{⨁}\left({\mathrm{d}}_{2r-1}+{\mathrm{d}}_{2r}^{†}\right).\text{\hspace{1em}(12.31)}$$

证明下式成立留给读者作为练习：

$$\mathrm{ind}\left({\Omega }^{\pm }(M),A\right)=\dim \ker A_{+}-\dim \ker A_{-}=\chi (M).\text{\hspace{1em}(12.32)}$$

来源与版本

正文：中文 · 机器译稿 · 待校对

核对状态：机器译稿 · 待校对

原书 PDF

来源版本：second-edition-local

来源 PDF SHA-256：fcd24c3371d092a8c699ccf5cf0765462924b6c48412804231076e8084b1940d

OCR 来源 SHA-256：0b6324f01172a3548cd34382e82fd8bfae574602b6b2cfaa357ba96bc2c35478

译稿产物 SHA-256：69d9f68c44561e86a8dc378fb41bea70859dcebac83e7c36a9a6e78c83b32009