12.4 多尔博复形

我们回顾关于复流形的一些基本事实（详见第 8 章）。设 $M$ 是一个无边界、复维数为 $m$ 的紧复流形。设 $z^{\mu }=x^{\mu }+\mathrm{i}{y}^{\mu }$ 为局部坐标，${\bar{z}}^{\mu }=x^{\mu }-\mathrm{i}{y}^{\mu }$ 为其复共轭。$T{M}^{+}$ 表示由 $\{\partial /\partial z^{\mu }\}$ 张成的切丛，$T{M}^{-}=T{M}^{+}$ 表示由 $\{\partial /\partial {\bar{z}}^{\mu }\}$ 张成的复共轭丛。$T{M}^{+}$ 的对偶记作 $T^{\ast }{M}^{+}$，由 $\{\mathrm{d}{z}^{\mu }\}$ 张成；而 $T{M}^{-}$ 的对偶为 $T^{\ast }{M}^{-}=T^{\ast }{M}^{+}$，由 $\{\mathrm{d}{\bar{z}}^{\mu }\}$ 张成。复化 $r$ 次微分形式构成的空间 ${\Omega }^r(M{)}^{\mathbb{C}}$ 可分解为

$${\Omega }^r(M{)}^{\mathbb{C}}=\underset{p+q=r}{⨁}{\Omega }^{p,q}(M)$$

其中 ${\Omega }^{p,q}(M)$ 是 $(p,q)$ 次形式构成的空间，它以如下形式的基张成：

$$\mathrm{d}{z}^{{\mu }_1}\wedge \cdots \wedge \mathrm{d}{z}^{{\mu }_p}\wedge \mathrm{d}{\bar{z}}^{{\nu }_1}\wedge \cdots \wedge \mathrm{d}{\bar{z}}^{{\nu }_q}.$$

外微分可分解为 $\mathrm{d}\equiv \partial +\bar{\partial }$，其中

$$\partial =\mathrm{d}{z}^{\mu }\wedge \partial /\partial z^{\mu }\bar{\partial }=\mathrm{d}{\bar{z}}^{\mu }\wedge \partial /\partial {\bar{z}}^{\mu }.$$

它们满足 $\partial \bar{\partial }+\bar{\partial }\partial ={\partial }^2={\bar{\partial }}^2=0$。我们有如下序列

$$\cdots \stackrel{\bar{\partial }}{\to }{\Omega }^{p,q}(M)\stackrel{\bar{\partial }}{\to }{\Omega }^{p,q+1}(M)\stackrel{\bar{\partial }}{\to }\dots \text{\hspace{1em}(12.43a)}$$

$$\cdots \stackrel{\partial }{\to }{\Omega }^{p,q}(M)\stackrel{\partial }{\to }{\Omega }^{p+1,q}(M)\stackrel{\partial }{\to }\dots .\text{\hspace{1em}(12.43b)}$$

我们感兴趣的是其中 $p=0$ 的第一个序列

$$\cdots \stackrel{\bar{\partial }}{\to }{\Omega }^{0,q}(M)\stackrel{\bar{\partial }}{\to }{\Omega }^{0,q+1}(M)\stackrel{\bar{\partial }}{\to }\dots .\text{\hspace{1em}(12.44)}$$

这个序列称为多尔博复形。

为说明 (12.44) 是椭圆复形，我们计算 $\bar{\partial }$ 的符号。设 $\xi ={\xi }^{0,1}+{\xi }^{1,0}$ 是 $p\in M$ 处的一个实一次形式，其中 ${\xi }^{0,1}\in {\Omega }_p^{0,1}(M)$，且

$${\xi }^{1,0}=\overline{{\xi }^{0,1}}\in {\Omega }_p^{1,0}(M).$$

取一个反全纯 $r$ 次形式 $\omega \in {\Omega }^{0,r}(M)$。我们得到

$$\sigma (\bar{\partial },\xi )\omega =\bar{\partial }(f\tilde{s})=\bar{\partial }f\wedge \tilde{s}+f\bar{\partial }\tilde{s}{|}_p={\xi }^{0,1}\wedge \omega$$

其中 $f(p)=0$，$\bar{\partial }f(p)={\xi }^{0,1}$，$\tilde{s}\in {\Omega }^{0,r}(M)$，且 $\tilde{s}(p)=\omega$。于是有

$$\sigma (\bar{\partial },\xi )={\xi }^{0,1}\wedge .\text{\hspace{1em}(12.45)}$$

由与上一节类似的论证可知，符号 (12.45) 是椭圆的。因此，多尔博复形 (12.44) 是一个椭圆复形。

AS 指标定理的形式为

$$\mathrm{ind}\bar{\partial }={\int }_M\mathrm{ch}\left(\sum _r(-1{)}^r{\wedge }^r{T}^{\ast }{M}^{-}\right)\frac{\mathrm{Td}\left(T{M}^{\mathbb{C}}\right)}{e(TM)}{|}_{\text{v o l}}.\text{\hspace{1em}(12.46)}$$

左端（LHS）的计算如下。首先注意到

$$\ker {\bar{\partial }}_r/\mathrm{im}{\bar{\partial }}_{r-1}=H^{0,r}(M)$$

其中 $H^{0,r}(M)$ 是 $\bar{\partial }$-上同调群。于是左端为

$$\mathrm{ind}\bar{\partial }=\sum _{r=0}^n(-1{)}^r{b}^{0,r}\text{\hspace{1em}(12.47)}$$

其中 $b^{0,r}\equiv {\dim }_{\mathbb{C}}{H}^{0,r}(M)$ 是霍奇数。这个指标称为 $M$ 的算术亏格。

拓扑指标的化简可以像德拉姆复形的情形那样进行。技术细节请读者参阅 Shanahan (1978)。我们有

$$\sum _{r=1}^n(-1{)}^r{b}^{0,r}={\int }_M\mathrm{Td}\left(T{M}^{+}\right)\text{\hspace{1em}(12.48)}$$

其中 $\mathrm{Td}(T{M}^{+})$ 是 $T{M}^{+}$ 的托德类

12.4.1 扭曲多尔博复形与希策布鲁赫-黎曼-罗赫定理

在多尔博复形中，我们可以把 ${\Omega }^{0,r}(M)$ 换成张量积丛 ${\Omega }^{0,r}(M)\otimes V$，其中 $V$ 是 $M$ 上的全纯向量丛，

$$\cdots \stackrel{{\bar{\partial }}_V}{\to }{\Omega }^{0,r-1}(M)\otimes V\stackrel{{\bar{\partial }}_V}{\to }{\Omega }^{0,r}(M)\otimes V\stackrel{{\bar{\partial }}_V}{\to }\dots .\text{\hspace{1em}(12.49)}$$

该复形的阿蒂亚-辛格指标定理归结为希策布鲁赫-黎曼-罗赫定理，

$$\mathrm{ind}{\bar{\partial }}_V={\int }_M\mathrm{Td}\left(T{M}^{+}\right)\mathrm{ch}(V).\text{\hspace{1em}(12.50)}$$

例如，若 $m={\dim }_{\mathbb{C}}M=1$，则有

$$\begin{array}{rl}\mathrm{ind}{\bar{\partial }}_V& =\frac{1}{2}\dim V{\int }_M{c}_1(T{M}^{+})+{\int }_M{c}_1(V)\\ & =(2-g)\dim V+{\int }_M\frac{\mathrm{i}\mathcal{F}}{2\pi }\end{array}\text{\hspace{1em}(12.51)}$$

因为可以证明

$${\int }_M{c}_1(T{M}^{+})={\int }_{M}e(TM)=2-g$$

其中 $g$ 是 $M$ 的亏格。

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