8.6 调和形式与 $\overline{\partial}$-上同调群

第 $(r,s)$ 个 $\overline{\partial }$-上同调群(Dolbeault cohomology group)定义为

$$H_{\partial }^{r,s}(M)\equiv Z_{\partial }^{r,s}(M)/B_{\partial }^{r,s}(M).\text{\hspace{1em}(8.102)}$$

元素 $[\omega ]\in H_{\overline{\partial }}^{r,s}(M)$ 是双次数为 $(r,s)$ 的 $\overline{\partial }$-闭形式的一个等价类，其中各形式与 $\omega$ 相差一个 $\overline{\partial }$-恰当形式，

$$[\omega ]=\left\{\eta \in {\Omega }^{r,s}(M)|\bar{\partial }\eta =0,\omega -\eta =\bar{\partial }\psi ,\psi \in {\Omega }^{r,s-1}(M)\right\}.\text{\hspace{1em}(8.103)}$$

显然 $H_{\overline{\partial }}^{r,s}(M)$ 是一个复向量空间。与德拉姆上同调群类似，${\mathbb{C}}^m$ 的 $\overline{\partial }$-上同调群是平凡的，即所有闭的 $(r,s)$-形式都是恰当的。$\overline{\partial }$-上同调群刻画了复流形 $M$ 的拓扑非平凡性。

8.6.1 伴随算符 ${\partial }^{†}$ 与 ${\overline{\partial }}^{†}$

设 $M$ 是埃尔米特流形，且 ${\dim }_{\mathbb{C}}M=m$。对 $\alpha ,\beta \in {\Omega }^{r,s}(M)$ $(0\le r,s\le m)$，定义它们之间的内积为

$$(\alpha ,\beta )\equiv {\int }_M\alpha \wedge \bar{\ast }\beta \text{\hspace{1em}(8.104)}$$

其中 $\overline{\ast }:{\Omega }^{r,s}(M)\to {\Omega }^{m-r,m-s}(M)$ 是由下式定义的霍奇星算子(Hodge star) $\ast$：

$$\overline{\ast }\beta \equiv \overline{\ast \beta }=\ast \overline{\beta }\text{\hspace{1em}(8.105)}$$

其中 $\ast \beta$ 按 (7.173) 计算，并延拓到 ${\Omega }^{r+s}(M{)}^{\mathbb{C}}$ 上。[注：* 把 $(r,s)$ 形式映为 $(m-s,m-r)$ 形式，因为它在 ${\Omega }^{r,s}(M)$ 的一组基上的作用（相差一个无关紧要的因子）为

$$\begin{array}{rl}& \ast \mathrm{d}{z}^{{\mu }_1}\wedge \cdots \wedge \mathrm{d}{z}^{{\mu }_r}\wedge \mathrm{d}{\bar{z}}^{{\nu }_1}\wedge \cdots \wedge \mathrm{d}{\bar{z}}^{{\nu }_s}\sim {\epsilon }_{{\overline{\mu }}_{r+1}\dots {\overline{\mu }}_m}^{{\mu }_1\dots {\mu }_r}{\epsilon }_{{\nu }_{s+1}\dots {\nu }_m}^{{\overline{\nu }}_1\dots {\overline{\nu }}_s}\\ & \times \mathrm{d}{\bar{z}}^{{\mu }_{r+1}}\wedge \cdots \wedge \mathrm{d}{\bar{z}}^{{\mu }_m}\wedge \mathrm{d}{z}^{{\nu }_{s+1}}\wedge \cdots \wedge \mathrm{d}{z}^{{\nu }_m}.\end{array}$$

注意，上述 $\epsilon$ 符号是埃尔米特流形中唯一非零的分量。由此可得 $\overline{\ast }:{\Omega }^{r,s}(M)\to {\Omega }^{m-r,m-s}(M).]$

我们通过下式定义 $\partial$ 与 $\overline{\partial }$ 的伴随算符(adjoint operator) ${\partial }^{†}$ 和 ${\overline{\partial }}^{†}$：

$$(\alpha ,\partial \beta )=({\partial }^{†}\alpha ,\beta )(\alpha ,\bar{\partial }\beta )=({\bar{\partial }}^{†}\alpha ,\beta ).\text{\hspace{1em}(8.106)}$$

算符 ${\partial }^{†}$ 与 ${\overline{\partial }}^{†}$ 对双次数的改变方式分别为 ${\partial }^{†}:{\Omega }^{r,s}(M)\to {\Omega }^{r-1,s}(M)$ 和 ${\overline{\partial }}^{†}:{\Omega }^{r,s}(M)\to {\Omega }^{r,s-1}(M)$。显然有 ${\mathrm{d}}^{†}={\partial }^{†}+{\overline{\partial }}^{†}$。注意到复流形 $M$ 作为可微流形是偶数维的，我们得到（见 (7.184a)）

$${\mathrm{d}}^{†}=-\ast \mathrm{d}\ast .\text{\hspace{1em}(8.107)}$$

命题 8.3

$${\partial }^{†}=-\ast \bar{\partial }\ast ,{\bar{\partial }}^{†}=-\ast \partial \ast .\text{\hspace{1em}(8.108)}$$

证明

设 $\omega \in {\Omega }^{r-1,s}(M)$，$\psi \in {\Omega }^{r,s}(M)$。注意到 $\omega \wedge \overline{\ast }\psi \in {\Omega }^{m-1,m}(M)$，从而 $\overline{\partial }(\omega \wedge \overline{\ast }\psi )=0$，我们便得到

$$\begin{array}{rl}d(\omega \wedge \bar{\ast }\psi )& =\partial (\omega \wedge \bar{\ast }\psi )=\partial \omega \wedge \bar{\ast }\psi +(-1{)}^{r+s-1}\omega \wedge \partial (\bar{\ast }\psi )\\ & =\partial \omega \wedge \bar{\ast }\psi +(-1{)}^{r+s-1}\omega \wedge (-1{)}^{r+s+1}\bar{\ast }\bar{\ast }\partial (\bar{\ast }\psi )\\ & =\partial \omega \wedge \bar{\ast }\psi +\omega \wedge \bar{\ast }\bar{\ast }\partial \bar{\ast }\psi \end{array}\text{\hspace{1em}(8.109)}$$

这里用到了 $\partial \overline{\pi }\psi \in {\Omega }^{2m-r-s-1}(M)$、$\overline{\ast \ast }\beta =\ast \beta$ 以及 (7.176a) 这些事实。若将 (8.109) 在无边界的紧复流形 $M$ 上积分，则得

$$0=(\partial \omega ,\psi )+(\omega ,\overline{\ast }\partial \overline{\ast }\psi ).$$

第二项为

$$(\omega ,\overline{\ast }\partial \overline{\ast }\psi )=(\omega ,\ast \overline{\partial \ast \overline{\psi }})=(\omega ,\ast \overline{\partial }\ast \psi ).$$

最终得到 $0=(\partial \omega ,\psi )+(\omega ,\ast \overline{\partial }\ast \psi )$，即 ${\partial }^{†}=-\ast \overline{\partial }\ast$。另一公式 ${\overline{\partial }}^{†}=-\ast \partial \ast \mathrm{follows}\mathrm{similarly}$。

作为命题 8.3的推论，我们有

$${\left({\partial }^{†}\right)}^2={\left({\bar{\partial }}^{†}\right)}^2=0.\text{\hspace{1em}(8.110)}$$

8.6.2 拉普拉斯算符与霍奇定理

除了通常的拉普拉斯算符 $\Delta =(\mathrm{d}{\mathrm{d}}^{†}+{\mathrm{d}}^{†}\mathrm{d})$ 之外，我们在埃尔米特流形上还定义另外两个拉普拉斯算符 ${\Delta }_{\partial }$ 与 ${\Delta }_{\overline{\partial }}$，

$${\Delta }_{\partial }\equiv (\partial +{\partial }^{†}{)}^2=\partial {\partial }^{†}+{\partial }^{†}\partial \text{\hspace{1em}(8.111a)}$$

$${\Delta }_{\bar{d}}\equiv (\bar{\partial }+{\bar{\partial }}^{†}{)}^2=\bar{\partial }{\bar{\partial }}^{†}+{\bar{\partial }}^{†}\bar{\partial }.\text{\hspace{1em}(8.111b)}$$

若一个 $(r,s)$-形式 $\omega$ 满足 ${\Delta }_{\partial }\omega =0$（${\Delta }_{\overline{\partial }}\omega =0$），则称它为 $\partial$-调和的（$\overline{\partial }$-调和的）。若 ${\Delta }_{\partial }\omega =0$（${\Delta }_{\overline{\partial }}\omega =0$），则 $\omega$ 满足 $\partial \omega ={\partial }^{†}\omega =0$（$\overline{\partial }\omega ={\overline{\partial }}^{†}\omega =0$）。

我们有复版本的霍奇分解。设 ${\mathrm{Harm}}_{\partial }^{r,s}(M)$ 为 $\overline{\partial }$-调和的 $(r,s)$-形式所成的集合，

$${\mathrm{Harm}}_{\bar{\partial }}^{r,s}(M)\equiv \left\{\omega \in {\Omega }^{r,s}(M)\mid {\Delta }_{\bar{\partial }}\omega =0\right\}.\text{\hspace{1em}(8.112)}$$

定理 8.8 · 霍奇定理

${\Omega }^{r,s}(M)$ 具有唯一的正交分解：

$${\Omega }^{r,s}(M)=\bar{\partial }{\Omega }^{r,s-1}(M)\oplus {\bar{\partial }}^{†}{\Omega }^{r,s+1}(M)\oplus {\mathrm{Harm}}_{\frac{\partial }{\partial }}^{r,s}(M)\text{\hspace{1em}(8.113a)}$$

也就是说，一个 $(r,s)$-形式 $\omega$ 可唯一地表示为

$$\omega =\bar{\partial }\alpha +{\bar{\partial }}^{†}\beta +\gamma \text{\hspace{1em}(8.113b)}$$

其中 $\alpha \in {\Omega }^{r,s-1}(M)$，$\beta \in {\Omega }^{r,s+1}(M)$，$\gamma \in {\mathrm{Harm}}_{\partial }^{r,s}(M)$。

其证明可参见例如 Schwartz (1986) 的第 22 讲。若 $\omega$ 是 $\overline{\partial }$-闭的，则有 $\overline{\partial }\omega =\overline{\partial }{\overline{\partial }}^{†}\beta =0$。于是由 $0=⟨\beta ,\overline{\partial }{\overline{\partial }}^{†}\beta ⟩=⟨{\overline{\partial }}^{†}\beta ,{\overline{\partial }}^{†}\beta ⟩\ge 0$ 可得 ${\overline{\partial }}^{†}\beta =0$。因此，任意闭的 $(r,s)$-形式 $\omega$ 都可写成 $\omega =\gamma +\overline{\partial }\alpha$，其中 $\alpha \in {\Omega }^{r,s-1}(M)$。这表明 $H_{\overline{\partial }}^{r,s}(M)\subset {\mathrm{Harm}}_{\overline{\partial }}^{r,s}(M)$。又注意到 ${\mathrm{Harm}}_{\overline{\partial }}^{r,s}(M)\subset Z_{\overline{\partial }}^{r,s}(M)$，因为对 $\gamma \in {\mathrm{Harm}}_{\overline{\partial }}^{r,s}(M)$ 有 $\overline{\partial }\gamma =0$。此外，${\mathrm{Harm}}_{\overline{\partial }}^{r,s}(M)\cap B_{\overline{\partial }}^{r,s}(M)=\varnothing$，因为 $B_{\overline{\partial }}^{r,s}(M)=\overline{\partial }{\Omega }^{r,s-1}(M)$ 与 ${\mathrm{Harm}}_{\overline{\partial }}^{r,s}(M)$ 正交。由此可得 ${\mathrm{Harm}}_{\overline{\partial }}^{r,s}(M)\cong H_{\overline{\partial }}^{r,s}(M)$。若用 $P:{\Omega }^{r,s}(M)\to {\mathrm{Harm}}_{\overline{\partial }}^{r,s}(M)$ 表示到调和 $(r,s)$-形式的投影算符，则 $[\omega ]\in H_{\overline{\partial }}^{r,s}(M)$ 有唯一的调和代表元 $P\omega \in {\mathrm{Harm}}_{\overline{\partial }}^{r,s}(M)$。

8.6.3 凯勒流形上的拉普拉斯算符

在一般的埃尔米特流形上，各个拉普拉斯算符 $\Delta$、${\Delta }_{\partial }$ 与 ${\Delta }_{\overline{\partial }}$ 之间不存在特殊的关系。然而，若 $M$ 是凯勒流形，则它们本质上是相同的。[注意，在凯勒流形上，列维-奇维塔联络与埃尔米特联络是相容的。]

定理 8.9

设 $M$ 为凯勒流形，则

$$\Delta =2{\Delta }_{\partial }=2{\Delta }_{\overline{\partial }}.\text{\hspace{1em}(8.114)}$$

其证明需要一些技术性处理，我们直接引用 Schwartz (1986) 与 Goldberg (1962)。该定理对凯勒流形 $M$ 的上同调群施加了限制。满足 $\overline{\partial }\omega ={\overline{\partial }}^{†}\omega =0$ 的形式 $\omega$ 也满足 $\partial \omega ={\partial }^{†}\omega =0$。设 $\omega$ 为全纯 $p$-形式，即 $\overline{\partial }\omega =0$。由于 $\omega$ 的展开式中不含 $\mathrm{d}{\overline{z}}^{\mu }$，故有 ${\overline{\partial }}^{†}\omega =0$，从而 ${\Delta }_{\overline{\partial }}\omega =(\overline{\partial }{\overline{\partial }}^{†}+{\overline{\partial }}^{†}\overline{\partial })\omega =0$。于是由定理 8.9可得 $\Delta \omega =0$，也就是说，任何全纯形式都自动是关于凯勒度量调和的形式。反之，$\Delta \omega =0$ 蕴含 $\overline{\partial }\omega =0$，因此每个双次数为 $(p,0)$ 的调和形式都是全纯的。

8.6.4 凯勒流形的霍奇数

$H_{\frac{\partial }{\partial }}^{r,s}(M)$ 的复维数称为霍奇数(Hodge number) $b^{r,s}$。复流形的上同调群可用霍奇

菱形来概括，

$$\left(\begin{array}{ccccccc}& & & b^{m,m}& & & \\ & & b^{m,m-1}& & b^{m-1,m}& & \\ b^{m,0}& b^{m-1,1}& & \dots & & & \\ & & & \dots & & b^{1,m-1}& b^{0,m}\\ & & & \dots & & & \\ & & b^{1,0}& & b^{0,1}& & \\ & & & b^{0,0}& & & \end{array}\right).\text{\hspace{1em}(8.115)}$$

这 $(m+1{)}^2$ 个霍奇数远非彼此独立，这一点我们将在后文看到。

定理 8.10

设 $M$ 是复维数 ${\dim }_{\mathbb{C}}M=m$ 的凯勒流形，则其霍奇数满足

(a) $b^{r,s}=b^{s,r}$ (8.116)
(b) $b^{r,s}=b^{m-r,m-s}$ (8.117)

证明

(a) 若 $\omega \in {\Omega }^{r,s}(M)$ 是调和形式，则它满足 ${\Delta }_{\overline{\partial }}\omega ={\Delta }_{\partial }\omega =0$。于是 $(s,r)$ 次形式 $\overline{\omega }$ 也是调和的，即 ${\Delta }_{\overline{\partial }}\overline{\omega }=0$，这是因为 ${\Delta }_{\overline{\partial }}\overline{\omega }=\overline{{\Delta }_{\partial }\omega }=\overline{{\Delta }_{\overline{\partial }}\omega }=0$（注意 ${\Delta }_{\partial }={\Delta }_{\overline{\partial }}$）。因此，对任意双次数为 $(r,s)$ 的调和形式，都存在一个双次数为 $(s,r)$ 的调和形式，反之亦然。由此可得 $b^{r,s}=b^{s,r}$。(b) 设 $\omega \in {\Omega }^{r,s}(M)$，$\psi \in H_{\overline{\partial }}^{m-r,m-s}(M)$。则 $\omega \wedge \psi$ 是一个体积元，并且可以证明（Schwartz 1986），${\int }_M\omega \wedge \psi$ 定义了一个非奇异映射 $H_{\overline{\partial }}^{r,s}(M)\times H_{\overline{\partial }}^{m-r,m-s}(M)\to \mathbb{C}$，从而给出 $H_{\overline{\partial }}^{r,s}(M)$ 与 $H_{\overline{\partial }}^{m-r,m-s}(M)$ 之间的对偶。这表明 $H_{\overline{\partial }}^{r,s}(M)$ 与 $H_{\overline{\partial }}^{m-r,m-s}(M)$ 作为向量空间同构，于是可得 ${\dim }_{\mathbb{C}}{H}_{\overline{\partial }}^{r,s}(M)={\dim }_{\mathbb{C}}{H}_{\overline{\partial }}^{m-r,m-s}(M)$，从而 $b^{r,s}=b^{m-r,m-s}$。

因此，凯勒流形的霍奇菱形关于竖直中线和水平中线都是对称的。这些对称性把独立的霍奇数的个数减少为：当 $m$ 为偶数时为 ${\left(\frac{1}{2}m+1\right)}^2$，当 $m$ 为奇数时为 $\frac{1}{4}(m+1)(m+3)$。

在一般的埃尔米特流形上，贝蒂数与霍奇数之间没有直接的关系。然而，若 $M$ 是凯勒流形，则如定理 8.11所示，二者之间存在着密切的联系。

定理 8.11

设 $M$ 是凯勒流形，${\dim }_{\mathbb{C}}M=m$，且 $\partial M=\varnothing$。则贝蒂数 $b^p$（$1\le p\le 2m$）满足以下条件：

(a) $b^p={\sum }_{r+s=p}{b}^{r,s}$ (8.118)
(b) $b^{2p-1}$ 为偶数 $(1\le p\le m)$ (8.119)
(c) $b^{2p}\ge 1$ $(1\le p\le m)$ (8.120)

证明

(a) $H_{\overline{\partial }}^{r,s}(M)$ 是由 ${\Delta }_{\overline{\partial }}$-调和的 $(r,s)$-形式 $H_{\overline{\partial }}^{r,s}(M)=\{[\omega ]|\omega \in {\Omega }^{r,s}(M),{\Delta }_{\overline{\partial }}\omega =0\}$ 张成的复向量空间。又注意，$H^p(M)$ 是由 $\Delta$-调和的 $p$-形式 $H^p(M)=\{[\omega ]|\omega \in {\Omega }^p(M),\Delta \omega =0\}$ 张成的实向量空间。于是 $H^p(M)$ 的复化就是 $H^p(M{)}^{\mathbb{C}}=\{[\omega ]|\omega \in {\Omega }^p(M{)}^{\mathbb{C}},\Delta \omega =0\}$。由于 $M$ 是凯勒的，任何满足 ${\Delta }_{\overline{\partial }}\omega =0$ 的形式 $\omega$ 也满足 $\Delta \omega =0$，反之亦然。由于

$${\Omega }^p(M{)}^{\mathbb{C}}={\oplus }_{r+s=p}{\Omega }^{r,s}(M)$$

我们得到

$$H^p(M{)}^{\mathbb{C}}={\oplus }_{r+s=p}{H}^{r,s}(M).$$

注意到 ${\dim }_{\mathbb{R}}{H}^p(M)={\dim }_{\mathbb{C}}{H}^p(M{)}^{\mathbb{C}}$，便得到 $b^p={\sum }_{r+s=p}{b}^{r,s}$。

(b) 由 (a) 及 (8.116) 可得

$$b^{2p-1}=\sum _{r+s=2p-1}{b}^{r,s}=2\sum _{\begin{array}{c}r+s=2p-1\\ r>s\end{array}}{b}^{r,s}.$$

因此，$b^{2p-1}$ 必为偶数。

(c) 关键的观察是：凯勒形式 $\Omega$ 是一个闭的实二形式，即 $\mathrm{d}\Omega =0$，而实 $2p$-形式

$${\Omega }^p=\underset{p}{\underbrace{\Omega \wedge ...\wedge \Omega }}$$

也是闭的，即 $\mathrm{d}{\Omega }^p=0$。下面证明 ${\Omega }^p$ 不是恰当的。假设对某个 $\eta \in {\Omega }^{2p-1}(M)$ 有 ${\Omega }^p=\mathrm{d}\eta$。则 ${\Omega }^m={\Omega }^{m-p}\wedge {\Omega }^p=\mathrm{d}({\Omega }^{m-p}\wedge \eta )$。由斯托克斯定理可得

$${\int }_M{\Omega }^m={\int }_M\mathrm{d}({\Omega }^{m-p}\wedge \eta )={\int }_{\partial M}{\Omega }^{m-p}\wedge \eta =0.$$

由于左端是 $M$ 的体积，这就产生了矛盾。因此，$H^{2p}(M)$ 中至少有一个非平凡元素，从而证明了 $b^{2p}\ge 1$。

若凯勒流形是里奇平坦的，则霍奇数之间还存在额外关系，这进一步减少了独立的霍奇数，参见 Horowitz (1986) 与 Candelas (1988)。

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