8.3 复微分形式

在复流形上，我们定义复微分形式，并借此讨论诸如上同调群之类的拓扑性质。

8.3.1 实微分形式的复化

设 $M$ 是 ${\dim }_{\mathbb{R}}M=m$ 的可微流形。取 $p$ 处的两个 $q$ 次形式 $\omega ,\eta \in {\Omega }_p^q(M)$，定义复 $q$ 次形式 $\zeta =\omega +\mathrm{i}\eta$。我们把 $p$ 处的复 $q$ 次形式构成的向量空间记作 ${\Omega }_p^q(M{)}^{\mathbb{C}}$。显然有 ${\Omega }_p^q(M)\subset {\Omega }_p^q(M{)}^{\mathbb{C}}$。$\zeta$ 的共轭为 $\overline{\zeta }=\omega -\mathrm{i}\eta$。若 $\zeta =\overline{\zeta }$，则称复 $q$ 次形式 $\zeta$ 是实的(real)。

练习 8.4

设 $\omega \in {\Omega }_p^q(M{)}^{\mathbb{C}}$。证明

$$\overline{\omega }\left(V_1,\dots ,V_q\right)=\overline{\omega \left({\bar{V}}_1,\dots ,{\bar{V}}_q\right)}{V}_i\in T_p{M}^{\mathbb{C}}.\text{\hspace{1em}(8.30)}$$

再证明 $\overline{\omega +\eta }=\overline{\omega }+\overline{\eta },\overline{\lambda \omega }=\overline{\lambda }\overline{\omega }$ 以及 $\overline{\overline{\omega }}=\omega$，其中 $\omega ,\eta \in {\Omega }_p^q(M{)}^{\mathbb{C}}$，$\lambda \in \mathbb{C}$。

定义在可微流形 $M$ 上的复 $q$ 次形式 $\alpha$ 是指一种光滑地指定 ${\Omega }_p^q(M{)}^{\mathbb{C}}$ 中元素的方式。复 $q$ 次形式的集合记作 ${\Omega }^q(M{)}^{\mathbb{C}}$。复 $q$ 次形式 $\zeta$ 可唯一地分解为 $\zeta =\omega +\mathrm{i}\eta$，其中 $\omega ,\eta \in {\Omega }^q(M)$。

$\zeta =\omega +\mathrm{i}\eta$ 与 $\xi =\phi +\mathrm{i}\psi$ 的外积定义为

$$\begin{array}{rl}\zeta \wedge \xi & =(\omega +\mathrm{i}\eta )\wedge (\phi +\mathrm{i}\psi )\\ & =(\omega \wedge \phi -\eta \wedge \psi )+\mathrm{i}(\omega \wedge \psi +\eta \wedge \phi ).\end{array}\text{\hspace{1em}(8.31)}$$

外微分 $\mathrm{d}$ 作用在 $\zeta =\omega +\mathrm{i}\eta$ 上为

$$\mathrm{d}\zeta =\mathrm{d}\omega +\mathrm{id}\eta .\text{\hspace{1em}(8.32)}$$

d 是实算子：$\overline{\mathrm{d}\zeta }=\mathrm{d}\omega -\mathrm{id}\eta =\mathrm{d}\overline{\zeta }$

练习 8.5

设 $\omega \in {\Omega }^q(M{)}^{\mathbb{C}}$，$\xi \in {\Omega }^r(M{)}^{\mathbb{C}}$。证明

$$\omega \wedge \xi =(-1{)}^{qr}\xi \wedge \omega \text{\hspace{1em}(8.33)}$$

$$\mathrm{d}(\omega \wedge \xi )=\mathrm{d}\omega \wedge \xi +(-1{)}^q\omega \wedge \mathrm{d}\xi .\text{\hspace{1em}(8.34)}$$

8.3.2 复流形上的微分形式

现在我们把讨论限制在具有分解 $T_p{M}^{\mathbb{C}}=T_p{M}^{+}\oplus T_p{M}^{-}$ 与 $\mathfrak{X}(M{)}^{\mathbb{C}}=\mathfrak{X}(M{)}^{+}\oplus \mathfrak{X}(M{)}^{-}$ 的复流形上。

定义 8.2 双次数

设 $M$ 是满足 ${\dim }_{\mathbb{C}}M=m$ 的复流形。设 $\omega \in {\Omega }_p^q(M{)}^{\mathbb{C}}$（$q\le 2m$）以及 $r,s$ 为正整数，且 $r+s=q$。设 $V_i\in T_p{M}^{\mathbb{C}}$（$1\le i\le q$）是 $T_p{M}^{+}$ 或 $T_p{M}^{-}$ 中的向量。若只要 $r$ 个 $V_i$ 属于 $T_p{M}^{+}$ 且 $s$ 个 $V_i$ 属于 $T_p{M}^{-}$ 就有 $\omega (V_1,\dots ,V_q)=0$，则称 $\omega$ 具有双次数(bidegree) $(r,s)$，或简称为 $(r,s)$-形式。在点 $p$ 处的 $(r,s)$-形式的集合记作 ${\Omega }_p^{r,s}(M)$。若一个 $(r,s)$-形式在 $M$ 的每一点处都光滑地给出，就得到定义在 $M$ 上的一个 $(r,s)$-形式。$M$ 上 $(r,s)$-形式的集合记作 ${\Omega }^{r,s}(M)$。

取一个坐标卡 $(U,\phi )$，其复坐标为 $\phi (p)=z^{\mu }$。我们取如(8.13)所示的基作为切空间 $T_p{M}^{\pm }$ 的基，其对偶基由(8.14)给出。注意 $\mathrm{d}{z}^{\mu }$ 具有双次数 $(1,0)$，因为 $⟨\mathrm{d}{z}^{\mu },\partial /\partial {\overline{z}}^{\nu }⟩=0$，而 $\mathrm{d}{\overline{z}}^{\mu }$ 具有双次数 $(0,1)$。在这些基下，双次数为 $(r,s)$ 的形式 $\omega$ 可写成

$$\omega =\frac{1}{r!s!}{\omega }_{{\mu }_1\dots {\mu }_r{v}_1\dots v_s}d{z}^{{\mu }_1}\wedge \cdots \wedge d{z}^{{\mu }_r}\wedge d{\bar{z}}^{v_1}\wedge \cdots \wedge d{\bar{z}}^{v_s}.\text{\hspace{1em}(8.35)}$$

集合 $\{\mathrm{d}{z}^{{\mu }_1}\wedge \dots \wedge \mathrm{d}{z}^{{\mu }_r}\wedge \mathrm{d}{\overline{z}}^{{\nu }_1}\wedge \dots \wedge \mathrm{d}{\overline{z}}^{{\nu }_s}\}$ 是 ${\Omega }_p^{r,s}(M)$ 的基。其分量分别关于 $\mu$ 与 $\nu$ 全反对称。设 $z^{\mu }$ 与 $w^{\mu }$ 是两个相互重叠的坐标系。读者应验证：在 $z^{\mu }$ 坐标系中的 $(r,s)$-形式，在 $w^{\nu }$ 坐标系中同样是 $(r,s)$-形式。

命题 8.1

设 $M$ 是复流形，其复维数为 ${\dim }_{\mathbb{C}}M=m$，又设 $\omega$ 与 $\xi$ 是 $M$ 上的复微分形式。

(a) 若 $\omega \in {\Omega }^{q,r}(M)$，则 $\overline{\omega }\in {\Omega }^{r,q}(M)$。
(b) 若 $\omega \in {\Omega }^{q,r}(M)$ 且 $\xi \in {\Omega }^{q^{\prime },r^{\prime }}(M)$，则 $\omega \wedge \xi \in {\Omega }^{q+q^{\prime },r+r^{\prime }}(M)$。

(c) 复 $q$-形式 $\omega$ 可唯一地写成

$$\omega =\sum _{r+s=q}{\omega }^{(r,s)}\text{\hspace{1em}(8.36a)}$$

其中 ${\omega }^{(r,s)}\in {\Omega }^{r,s}(M)$。于是我们得到分解

$${\Omega }^q(M{)}^{\mathbb{C}}=\underset{r+s=q}{⨁}{\Omega }^{r,s}(M).\text{\hspace{1em}(8.36b)}$$

证明很简单，留给读者。现在任一 $q$-形式 $\omega$ 都可分解为

$$\begin{array}{rl}\omega & =\sum _{r+s=q}{\omega }^{(r,s)}\\ & =\sum _{r+s=q}\frac{1}{r!s!}{\omega }_{{\mu }_1\dots {\mu }_r{\bar{v}}_1\dots {\bar{v}}_s}d{z}^{{\mu }_1}\wedge \cdots \wedge d{z}^{{\mu }_r}\wedge d{\bar{z}}^{v_1}\wedge \cdots \wedge d{\bar{z}}^{v_s}\end{array}\text{\hspace{1em}(8.37)}$$

其中

$${\omega }_{{\mu }_1\dots {\mu }_r}{\bar{v}}_1\dots {\bar{v}}_s=\omega \left(\frac{\partial }{\partial z^{{\mu }_1}},\dots ,\frac{\partial }{\partial z^{{\mu }_r}},\frac{\partial }{\partial {\bar{z}}^{{\nu }_1}},\dots ,\frac{\partial }{\partial {\bar{z}}^{{\nu }_s}}\right).\text{\hspace{1em}(8.38)}$$

练习 8.6

设 ${\dim }_{\mathbb{C}}M=m$。验证

$${\dim }_{\mathbb{R}}{\Omega }_p^{r,s}(M)=\{\begin{array}{ll}\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{m}{r}\right)\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{m}{s}\right)& \text{i f}0\le r,s\le m\\ 0& \text{其他情形。}\end{array}$$

并证明 ${\dim }_{\mathbb{R}}{\Omega }_p^q(M{)}^{\mathbb{C}}={\sum }_{r+s=q}{\dim }_{\mathbb{R}}{\Omega }_p^{r,s}(M)=(\genfrac{}{}{0ex}{}{2m}{q})$。

8.3.3 Dolbeault 算子

下面来计算 $(r,s)$ 型形式 $\omega$ 的外微分。由(8.35)可得

$$\begin{array}{rl}& \mathrm{d}\omega =\frac{1}{r!s!}\left(\frac{\partial }{\partial z^{\lambda }}{\omega }_{{\mu }_1\dots {\mu }_r{\bar{v}}_1\dots {\bar{v}}_s}\mathrm{d}{z}^{\lambda }+\frac{\partial }{\partial {\bar{z}}^{\lambda }}{\omega }_{{\mu }_1\dots {\mu }_r{\bar{v}}_1\dots {\bar{v}}_s}\mathrm{d}{\bar{z}}^{\lambda }\right)\\ & \times \mathrm{d}{z}^{{\mu }_1}\wedge \cdots \wedge \mathrm{d}{z}^{{\mu }_r}\wedge \mathrm{d}{\bar{z}}^{{\nu }_1}\wedge \cdots \wedge \mathrm{d}{\bar{z}}^{{\nu }_s}.\end{array}\text{\hspace{1em}(8.39)}$$

$\mathrm{d}\omega$ 是 $(r+1,s)$ 型形式与 $(r,s+1)$ 型形式的混合。我们按 $\mathrm{d}$ 的作用结果将其分解为

$$d=\partial +\bar{\partial }\text{\hspace{1em}(8.40)}$$

其中 $\partial :{\Omega }^{r,s}(M)\to {\Omega }^{r+1,s}(M)$，$\overline{\partial }:{\Omega }^{r,s}(M)\to {\Omega }^{r,s+1}(M)$。例如，若 $\omega ={\omega }_{\mu \overline{v}}\mathrm{d}{z}^{\mu }\wedge \mathrm{d}{\overline{z}}^v$，则其外微分为

$$\partial \omega =\frac{\partial {\omega }_{\mu \bar{\nu }}}{\partial z^{\lambda }}d{z}^{\lambda }\wedge d{z}^{\mu }\wedge d{\bar{z}}^{\nu }$$

$$\overline{\partial }\omega =\frac{\partial {\omega }_{\mu \bar{\nu }}}{\partial {\bar{z}}^{\lambda }}\mathrm{d}{\bar{z}}^{\lambda }\wedge \mathrm{d}{z}^{\mu }\wedge \mathrm{d}{\bar{z}}^{\nu }=-\frac{\partial {\omega }_{\mu \bar{\nu }}}{\partial {\bar{z}}^{\lambda }}\mathrm{d}{z}^{\mu }\wedge \mathrm{d}{\bar{z}}^{\lambda }\wedge \mathrm{d}{\bar{z}}^{\nu }.$$

算子 $\partial$ 与 $\overline{\partial }$ 称为Dolbeault 算子(Dolbeault operator)。

若 $\omega$ 是由 (8.37) 给出的一般 $q$ 次微分形式，则 $\partial$ 与 $\overline{\partial }$ 对 $\omega$ 的作用定义为

$$\partial \omega =\sum _{r+s=q}\partial {\omega }^{(r,s)}\overline{\partial }\omega =\sum _{r+s=q}\overline{\partial }{\omega }^{(r,s)}.\text{\hspace{1em}(8.41)}$$

定理 8.1

设 $M$ 为复流形，$\omega \in {\Omega }^q(M{)}^{\mathbb{C}}$，$\xi \in {\Omega }^p(M{)}^{\mathbb{C}}$。则

$$\partial \partial \omega =(\partial \bar{\partial }+\bar{\partial }\partial )\omega =\bar{\partial }\bar{\partial }\omega =0\text{\hspace{1em}(8.42a)}$$

$$\partial \bar{\omega }=\overline{\partial \omega },\bar{\partial }\bar{\omega }=\overline{\partial \omega }\text{\hspace{1em}(8.42b)}$$

$$\partial (\omega \wedge \xi )=\partial \omega \wedge \xi +(-1{)}^q\omega \wedge \partial \xi \text{\hspace{1em}(8.42c)}$$

$$\bar{\partial }(\omega \wedge \xi )=\bar{\partial }\omega \wedge \xi +(-1{)}^q\omega \wedge \bar{\partial }\xi .\text{\hspace{1em}(8.42d)}$$

证明

只需对 $\omega$ 具有双次数 $(r,s)$ 的情形证明即可。

(a) 由于 $\mathrm{d}=\partial +\overline{\partial }$，我们有

$$0={\mathrm{d}}^2\omega =(\partial +\overline{\partial })(\partial +\overline{\partial })\omega =\partial \partial \omega +(\partial \overline{\partial }+\overline{\partial }\partial )\omega +\overline{\partial }\overline{\partial }\omega .$$

右端三项的双次数分别为 $(r+2,s)$、$(r+1,s+1)$ 和 $(r,s+2)$。由命题 8.1(c)可知，每一项都必须分别等于零。

(b) 由于 $\mathrm{d}\overline{\omega }=\overline{\mathrm{d}\omega }$，我们有

$$\partial \bar{\omega }+\bar{\partial }\bar{\omega }=d\bar{\omega }=\overline{(\partial +\bar{\partial })\omega }=\overline{\partial \omega }+\overline{\stackrel{ˉ}{\partial }}\omega .$$

注意到 $\partial \omega$ 与 $\overline{\overline{\partial }\omega }$ 的双次数分别为 $(s+1,r)$ 和 $\overline{\partial }\overline{\omega }$，而 $\overline{\partial \omega }$ 的双次数为 $(s,r+1)$，于是得到 $\partial \overline{\omega }=\overline{\overline{\partial }\omega }$ 和 $\overline{\partial }\overline{\omega }=\overline{\partial \omega }$。

(c) 设 $\omega$ 具有双次数 $(r,s)$，$\xi$ 具有双次数 $(r^{\prime },s^{\prime })$。将 $\mathrm{d}(\omega \wedge \xi )=\mathrm{d}\omega \wedge \xi +(-1{)}^q\omega \wedge \mathrm{d}\xi$ 按双次数 $(r+r^{\prime }+1,s+s^{\prime })$ 与 $(r+r^{\prime },s+s^{\prime }+1)$ 的微分形式分解，即可证明式 (8.42c)。

定义 8.3

设 $M$ 为复流形。若 $\omega \in {\Omega }^{r,0}(M)$ 满足 $\overline{\partial }\omega =0$，则称 $r$-形式 $\omega$ 为全纯 $r$-形式。

我们来看坐标卡 $(U,\phi )$ 上的全纯 0-形式 $f\in \mathcal{F}(U{)}^{\mathbb{C}}$。此时条件 $\overline{\partial }f=0$ 化为

$$\frac{\partial f}{\partial {\bar{z}}^{\lambda }}=01\le \lambda \le m={\dim }_{\mathbb{C}}M.\text{\hspace{1em}(8.43)}$$

全纯 0-形式就是全纯函数 $f\in \mathcal{F}(U{)}^{\mathbb{C}}$。设 $\omega \in {\Omega }^{r,0}(M)$，其中 $1\le r\le m={\dim }_{\mathbb{C}}M$。在坐标卡 $(U,\phi )$ 上，我们有

$$\omega =\frac{1}{r!}{\omega }_{{\mu }_1\dots {\mu }_r}d{z}^{{\mu }_1}\wedge \cdots \wedge d{z}^{{\mu }_r}.\text{\hspace{1em}(8.44)}$$

于是 $\overline{\partial }\omega =0$ 当且仅当

$$\frac{\partial }{\partial {\overline{z}}^{\lambda }}{\omega }_{{\mu }_1\dots {\mu }_r}=0$$

即当 ${\omega }_{{\mu }_1\dots {\mu }_r}$ 都是 $U$ 上的全纯函数时成立。

设 ${\dim }_{\mathbb{C}}M=m$。则 $\mathbb{C}$-线性映射序列

$$\begin{array}{rl}& {\Omega }^{r,0}(M)\stackrel{\overline{\partial }}{\to }{\Omega }^{r,1}(M)\stackrel{\overline{\partial }}{\to }\dots \\ & \cdots \stackrel{\bar{\partial }}{\to }{\Omega }^{r,m-1}(M)\stackrel{\bar{\partial }}{\to }{\Omega }^{r,m}(M)\end{array}\text{\hspace{1em}(8.45)}$$

称为Dolbeault 复形(Dolbeault complex)。注意 ${\overline{\partial }}^2=0$。由 $\overline{\partial }$-闭的 $(r,s)$-形式（即满足 $\overline{\partial }\omega =0$ 的 $\omega \in {\Omega }^{r,s}(M)$）构成的集合称为 $(r,s)$-上闭链(cocycle)，记作 $Z_{\overline{\partial }}^{r,s}(M)$。由 $\overline{\partial }$-恰当的 $(r,s)$-形式（即满足对某个 $\eta \in {\Omega }^{r,s-1}(M)$ 有 $\omega =\overline{\partial }\eta$ 的 $\omega \in {\Omega }^{r,s}(M)$）构成的集合称为 $(r,s)$-上边界链(coboundary)，记作 $B_{\overline{\partial }}^{r,s}(M)$。复向量空间

$$H_{\partial }^{r,s}(M)\equiv Z_{\partial }^{r,s}(M)/B_{\partial }^{r,s}(M)\text{\hspace{1em}(8.46)}$$

称为第 $(r,s)$ 个 $\overline{\partial }$-上同调群(cohomology group)，见8.6 节。

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