复化 (complexification)

别名：Complexification

按作者与版本查阅

以下按已登记位置排列。出现顺序、原文引用与已登记依赖分别展示；最早位置不代表全书首次定义。

Szekeres · source-snapshot-bc3404156f6e

已登记出处中的最早位置：§6.2 · zh-CN。

位置	语言	登记角色
§6.2	zh-CN · 英文上下文	术语出现
§6.2	en · 中文上下文	术语出现

来源短摘录与定位

§6.2 · zh-CN · translation · unreviewed

将实向量空间 $V$ 的 复化(complexification) $V^C$ 定义为所有有序对 $w=(u,v)\in V\times V$ 的集合，其向量加法与复数标量积定义为

§6.2 · en · original_transcription · unreviewed

Define the complexification $V^C$ of a real vector space $V$ as the set of all ordered pairs $w=(u,v)\in V\times V$ with vector addition and scalar product by complex numbers defined as

Woit · 2025-10-20

已登记出处中的最早位置：§5.5 · zh-CN。

位置	语言	登记角色
§5.5	zh-CN · 英文上下文	术语出现
§5.5	zh-CN · 英文上下文	定义入口
§5.5	zh-CN · 英文上下文	术语出现；位于定义入口环境中
§5.5	en · 中文上下文	定义入口
§5.5	en · 中文上下文	术语出现；位于定义入口环境中
§6.2	zh-CN · 英文上下文	术语出现
§25.4	zh-CN · 英文上下文	术语出现
§26.1	zh-CN · 英文上下文	术语出现

来源短摘录与定位

§5.5 · zh-CN · translation · unreviewed

传统物理学讨论李代数表示时，通常会在计算中允许使用复系数，因为我们关注的是复表示。这里有一个容易混淆的细节：李代数本身是实向量空间，却常作为复矩阵空间的子空间出现。要准确把握这一点，需要理解向量空间或李代数的“复化(complexification)”这一概念。有时，复化可以简单理解为把实系数推广到复系数；另一些时候，则需要更复杂的构造。初读时，读者可以先略读本节，等具体问题中出现这些细节、需要弄清其处理方式时再回来细读。

§5.5 · zh-CN · translation · unreviewed

定义 · 复化

定义。实向量空间 $V$ 的 复化(complexification) $V_{\mathbf{C}}$ 是 $V$ 中元素的配对 $(v_1,v_2)$ 构成的空间，其与 $a+bi\in \mathbf{C}$ 的乘法由下式给出

$$(a+ib)(v_1,v_2)=\left(a{v}_1-b{v}_2,a{v}_2+b{v}_1\right)$$

§5.5 · en · original_transcription · ai-transcription-compared

Definition · Complexification

Definition. The complexification $V_{\mathbf{C}}$ of a real vector space $V$ is the space of pairs $(v_1,v_2)$ of elements of $V$ with multiplication by $a+bi\in \mathbf{C}$ given by

$$(a+ib)(v_1,v_2)=\left(a{v}_1-b{v}_2,a{v}_2+b{v}_1\right)$$

§6.2 · zh-CN · machine_draft · machine-draft-not-reviewed

此外，回顾一下，这个表示还有第四种同构形式，即 $\mathrm{SO}(3)$ 在列向量上的表示。这同样是一个实表示，但可以直接复化(complexification)。由于 $\mathfrak{so}(3)$ 与 $\mathfrak{su}(2)$ 是同构李代数，它们的复化 $\mathfrak{so}(3{)}_{\mathbb{C}}$ 与 $\mathfrak{sl}(2,\mathbb{C})$ 也同构。

§25.4 · zh-CN · machine_draft · machine-draft-not-reviewed

产生算符与湮灭算符的二次组合给出希尔伯特空间 $\mathcal{H}$ 上的表示；所涉及的三个李子代数属于实辛李代数 $\mathfrak{sp}(4,\mathbb{R})$ 的复化(complexification) $\mathfrak{sp}(4,\mathbb{C})$：

§26.1 · zh-CN · machine_draft · machine-draft-not-reviewed

本节引入实向量空间上的复结构，用它刻画引入复坐标 $z_j,{\bar{z}}_j$，进而引入湮灭算符与产生算符的各种方式。给定实向量空间 $V={\mathbb{R}}^n$，对其中向量取复线性组合得到其复化(complexification) $V\otimes \mathbb{C}$。它可与 ${\mathbb{C}}^n$ 等同；若视为实向量空间，其维数是原来的两倍。当 $n=2d$ 为偶数时，还可以通过下面的附加结构，把 $V={\mathbb{R}}^{2d}$ 本身变为复向量空间：

来源覆盖、定位与记录

索引保留所有已登记出处，不受模型材料包八小节限额影响。中英上下文按已登记的书、版次与小节配对，不冒充另一语言的概念定义。没有穷尽全书未标记的术语；程序校验不提升原著或译文审阅资格。

登记位置 10；当前可定位出现 10。

永久身份：urn:uuid:eaa8baed-19fe-4db6-a610-2a84829b114d。

身份历史 · 结构化来源索引