10.4 伴随向量丛上的协变导数

主丛 $P(M,G)$ 上的联络1-形式 $\omega$ 使我们能够以自然的方式在 $P$ 的伴随丛中定义协变导数(covariant derivative)。

10.4.1 伴随丛上的协变导数

在物理学中，我们常常需要对与某个主丛相伴随的向量丛的截面求导。例如，QED 中的带电标量场就被视为与 U(1) 丛 $P(M,\mathrm{U}(1))$ 相伴随的复线丛的一个截面。在构造规范不变的作用量时，对截面作协变求导是极为重要的。

设 $P(M,G)$ 是以 $G$ 为结构群的主丛，投影为 ${\pi }_P$。取 $M$ 的一个坐标卡 $U_i$，以及 $U_i$ 上的一个截面 ${\sigma }_i$。我们取典范局部平凡化 ${\varphi }_i(p,e)={\sigma }_i(p)$。设 $\tilde{\gamma }$ 是曲线 $\gamma :[0,1]\to U_i$ 的一条水平提升，并记 $\gamma (0)=p_0$、$\tilde{\gamma }(0)=u_0$。与 $P$ 相伴随的是投影为 ${\pi }_E$ 的向量丛 $E=P{\times }_{\rho }V$，见9.4 节。设 $X\in T_{p}M$ 是 $\gamma (t)$ 在 $p_0$ 处的切向量，$s\in \Gamma (M,E)$ 是 $M$ 上的一个截面，即一个向量场。把 $E$ 中的元素写成 $[(u,v)]=\{(ug,\rho (g{)}^{-1}v|u\in P,v\in V,g\in G\}$。取等价类的一个代表元，就相当于固定规范。我们选取如下形式

$$s(p)=\left[\left({\sigma }_i(p),\xi (p)\right)\right]\text{\hspace{1em}(10.48)}$$

作为代表元。

现在我们来定义 $M$ 中的向量 $E$ 沿曲线 $\gamma$ 的平行移动。当然，一个朴素的猜测——“若 $\xi (\gamma (t))$ 沿 $\gamma (t{)}^{\prime }$ 为常数，则 $\xi$ 是平行移动的(parallel transported)”——是讲不通的，因为这一说法依赖于截面 ${\sigma }_i(p)$ 的选取。我们这样定义：若一个向量相对于 $\gamma$ 在 $P$ 中的水平提升 $\tilde{\gamma }$ 为常数，则称它是平行移动的。换言之，若 $\eta$ 沿 $\gamma (t)$ 为常数，则截面 $s(\gamma (t))=[(\tilde{\gamma }(t),\eta (\gamma (t)))]$ 是平行移动的。这个定义是内蕴的，因为若 ${\tilde{\gamma }}^{\prime }(t)$ 是 $\gamma$ 的另一条水平提升，则可将其写成 ${\tilde{\gamma }}^{\prime }(t)=\tilde{\gamma }(t)a$，其中 $a\in G$，于是有（为简化记号，我们省略 $\rho$）

$$[(\tilde{\gamma }(t),\eta (t))]=[({\tilde{\gamma }}^{\prime }(t)a^{-1},\eta (t))]=[({\tilde{\gamma }}^{\prime }(t),a^{-1}\eta (t))]$$

其中 $\eta (t)$ 代表 $\eta (\gamma (t))$。因此，若 $\eta (t)$ 沿 $\gamma (t)$ 为常数，则它的常数倍 $a^{-1}\eta (t)$ 也沿 $\gamma (t)$ 为常数。

接下来该给出协变导数的定义了。设 $s(p)$ 是 $E$ 的一个截面。沿曲线 $\gamma :[0,1]\to M$，我们有 $s(t)=[(\tilde{\gamma }(t),\eta (t))]$，其中 $\tilde{\gamma }(t)$ 是 $\gamma (t)$ 的任意一条水平提升。$s(t)$ 沿 $\gamma (t)$ 在 $p_0=\gamma (0)$ 处的协变导数定义为

$${\nabla }_{X}s\equiv \left[\left(\tilde{\gamma }(0),\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\eta (\gamma (t)){|}_{t=0}\right)\right]\text{\hspace{1em}(10.49)}$$

其中 $X$ 是 $\gamma (t)$ 在 $p_0$ 处的切向量。要使协变导数真正是内蕴的，它就不应依赖于额外的信息，即不应依赖于所选取的特殊水平提升。设 ${\tilde{\gamma }}^{\prime }(t)=\tilde{\gamma }(t)a$（$a\in G$）是 $\gamma$ 的另一条水平提升。若取 ${\tilde{\gamma }}^{\prime }(t)$ 作为水平提升，我们就得到代表元 $[({\tilde{\gamma }}^{\prime }(t),a^{-1}\eta (t))]$。此时协变导数由下式给出

$$\left[\left({\tilde{\gamma }}^{\prime }(0),\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\{a^{-1}\eta (t)\}{|}_{t=0}\right)\right]=\left[\left({\tilde{\gamma }}^{\prime }(0)a^{-1},\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\eta (t){|}_{t=0}\right)\right]$$

它与(10.49)一致。因此，${\nabla }_{X}s$ 只依赖于切向量 $X$ 和截面 $s\in \Gamma (M,E)$，而不依赖于水平提升 $\tilde{\gamma }(t)$。我们的定义只依赖于曲线 $\gamma$ 和联络，而不依赖于局部平凡化。协变导数的局部形式在实际计算中很有用，将在后面给出。

至此，我们已在点 $p_0=\gamma (0)$ 处定义了协变导数。显然，若 $X$ 是一个向量场，则 ${\nabla }_X$ 把截面 $s$ 映为新的截面 ${\nabla }_{X}s$，因此 ${\nabla }_X$ 可看作一个映射 $\Gamma (M,E)\to \Gamma (M,E)$。更确切地说，取 $X\in \mathcal{X}(M)$，使其在 $p$ 处的值为 $X_p\in T_{p}M$。存在曲线 $\gamma (t)$，使得 $\gamma (0)=p$，且它在 $p$ 处的切向量为 $X_p$。于是，$\gamma$ 的任一水平提升 $\tilde{\gamma }(t)$ 都使我们能够计算协变导数 ${\nabla }_{X}s{|}_p\equiv {\nabla }_{X_p}s$。我们还通过下式定义一个映射 $\nabla :\Gamma (M,E)\to \Gamma (M,E)\otimes {\Omega }^1(M)$

$$\nabla s(X)\equiv {\nabla }_{X}sX\in \mathcal{X}(M)s\in \Gamma (M,E).\text{\hspace{1em}(10.50)}$$

练习 10.8

证明

$${\nabla }_X\left(a_1{s}_1+a_2{s}_2\right)=a_1{\nabla }_X{s}_1+a_2{\nabla }_X{s}_2\text{\hspace{1em}(10.51a)}$$

$$\nabla \left(a_1{s}_1+a_2{s}_2\right)=a_1\nabla s_1+a_2\nabla s_2\text{\hspace{1em}(10.51b)}$$

$${\nabla }_{\left(a_1{X}_1+a_2{X}_2\right)}s=a_1{\nabla }_{X_1}s+a_2{\nabla }_{X_2}s\text{\hspace{1em}(10.51c)}$$

$${\nabla }_X(fs)=X[f]s+f{\nabla }_{X}s\text{\hspace{1em}(10.51d)}$$

$$\nabla (fs)=(\mathrm{d}f)s+f\nabla s\text{\hspace{1em}(10.51e)}$$

$${\nabla }_{fX}s=f{\nabla }_{X}s\text{\hspace{1em}(10.51f)}$$

其中 $a_i\in \mathbb{R},s,s^{\prime }\in \Gamma (M,E)$，$f\in \mathcal{F}(M)$

10.4.2 协变导数的局部表达式

在实际计算中，把协变导数写成局部坐标下的表达式会很方便。设 $P(M,G)$ 是一个 $G$ 丛，$E=P{\times }_{\rho }G$ 是一个伴向量丛。取一个局部截面 ${\sigma }_i\in \Gamma (U_i,P)$，并采用典范局部平凡化 ${\sigma }_i(p)={\varphi }_i(p,e)$。设 $\gamma :[0,1]\to M$ 是 $U_i$ 中的一条曲线，$\tilde{\gamma }$ 是它的水平提升，可写为

$$\tilde{\gamma }(t)={\sigma }_i(t)g_i(t)\text{\hspace{1em}(10.52)}$$

其中 $g_i(t)\equiv g_i(\gamma (t))\in G$。取 $E$ 的一个截面 $e_{\alpha }(p)\equiv [({\sigma }_i(p),e_{\alpha }^0)]$，其中 $e_{\alpha }^0$ 是 $V$ 的第 $\alpha$ 个基向量；$(e_{\alpha }^0{)}^{\beta }=({\delta }_{\alpha }{)}^{\beta }$。于是有

$$e_{\alpha }(t)=\left[\left(\tilde{\gamma }(t)g_i(t{)}^{-1},e_{\alpha }^0\right)\right]=\left[\left(\tilde{\gamma }(t),g_i(t{)}^{-1}{e}_{\alpha }^0\right)\right].\text{\hspace{1em}(10.53)}$$

注意，$g_i(t{)}^{-1}$ 作用在 $e_{\alpha }^0$ 上，以补偿沿 $\gamma$ 的基变换。于是 $e_{\alpha }$ 的协变导数由下式给出

$$\begin{array}{rl}{\nabla }_X{e}_{\alpha }& =\left[\left(\tilde{\gamma }(0),\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\{g_i(t{)}^{-1}{e}_{\alpha }^0\}{|}_{t=0}\right)\right]\\ & =\left[\left(\tilde{\gamma }(0),-g_i(t{)}^{-1}\left\{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}{g}_i(t)\right\}{g}_i(t{)}^{-1}{e}_{\alpha }^0{|}_{t=0}\right)\right]\\ & =\left[\left(\tilde{\gamma }(0)g_i(0{)}^{-1},{\mathcal{A}}_i(X)e_{\alpha }^0\right)\right]\end{array}\text{\hspace{1em}(10.54)}$$

这里用到了 (10.13b)。由(10.54)可得局部表达式

$${\nabla }_X{e}_{\alpha }=\left[\left({\sigma }_i(0),{\mathcal{A}}_i(X)e_{\alpha }^0\right)\right].\text{\hspace{1em}(10.55)}$$

设 ${\mathcal{A}}_i={\mathcal{A}}_{i\mu }\mathrm{d}{x}^{\mu }={\mathcal{A}}_{i\mu }{}^{\alpha }{}_{\beta }\mathrm{d}{x}^{\mu }$，其中 ${\mathcal{A}}_{i\mu }{}^{\alpha }{}_{\beta }\equiv {\mathcal{A}}_{i\mu }{}^{\gamma }(T_{\gamma }{)}^{\alpha }{}_{\beta }$。(10.55) 的第二个分量为

$${\mathcal{A}}_i(X)e_{\alpha }^0=\frac{\mathrm{d}{x}^{\mu }}{\mathrm{d}t}{e}_{\beta }^0{\mathcal{A}}^{\beta }{\delta }_{\alpha }^{\gamma }=\frac{\mathrm{d}{x}^{\mu }}{\mathrm{d}t}{\mathcal{A}}^{\beta }{e}_{\beta }^0.$$

将其代入(10.55)，最终得到

$${\nabla }_X{e}_{\alpha }=\left[\left({\sigma }_i(0),\frac{\mathrm{d}{x}^{\mu }}{\mathrm{d}t}{\mathcal{A}}_{i\mu }{}^{\beta }{}_{\alpha }{e}_{\beta }^0\right)\right]=\frac{\mathrm{d}{x}^{\mu }}{\mathrm{d}t}{\mathcal{A}}_{i\mu }{}^{\beta }{}_{\alpha }{e}_{\beta }\text{\hspace{1em}(10.56a)}$$

或

$$\nabla e_{\alpha }={\mathcal{A}}_i{}^{\beta }{}_{\alpha }{e}_{\beta }.\text{\hspace{1em}(10.56b)}$$

特别地，对于坐标曲线 $x^{\mu }$，有

$${\nabla }_{\partial /\partial x^{\mu }}{e}_{\alpha }={\mathcal{A}}_{i\mu }{}^{\beta }{}_{\alpha }{e}_{\beta }.\text{\hspace{1em}(10.57)}$$

值得注意的是，主丛 $P$ 上的一个联络 $\mathcal{A}$ 完全决定了伴随丛 $E$ 上的协变导数（在表示的意义下）。

练习 10.9

设 $s(p)=[({\sigma }_i(p),{\xi }_i(p))]={\xi }_i^{\alpha }(p)e_{\alpha }$ 为 $E$ 的一个一般截面，其中 ${\xi }_i(p)={\xi }_i^{\alpha }(p)e_{\alpha }^0$。利用练习 10.8的结果验证

$${\nabla }_{X}s=\left[\left({\sigma }_i(0),\frac{\mathrm{d}{\xi }_i}{\mathrm{d}t}+{\mathcal{A}}_i(X){\xi }_i{|}_{t=0}\right)\right]=\frac{\mathrm{d}{x}^{\mu }}{\mathrm{d}t}\left\{\frac{\partial {\xi }_i^{\alpha }}{\partial x^{\mu }}+{\mathcal{A}}^{\alpha }{\xi }_i^{\beta }\right\}{e}_{\alpha }.\text{\hspace{1em}(10.58)}$$

由构造可知，协变导数与局部平凡化的选取无关。这一点也可以从 ${\nabla }_{X}s$ 的局部形式看出。设 ${\sigma }_i(p)$ 与 ${\sigma }_j(p)$ 是分别定义在相互重叠的坐标卡 $U_i$ 与 $U_j$ 上的局部截面。在 $U_i\cap U_j$ 上有 ${\sigma }_j(p)={\sigma }_i(p)t_{ij}(p)$。在 $i$-平凡化下，协变导数为

$$\begin{array}{rl}{\nabla }_{X}s& =\left[\left({\sigma }_i(0),\frac{\mathrm{d}{\xi }_i}{\mathrm{d}t}+{\mathcal{A}}_i(X){\xi }_i{|}_{t=0}\right)\right]\\ & =\left[\left({\sigma }_j(0)\cdot t_{ij}^{-1},\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left(t_{ij}{\xi }_j\right)+{\mathcal{A}}_i(X)t_{ij}{\xi }_j{|}_{t=0}\right)\right]\\ & =\left[{\left({\sigma }_j(0),\frac{\mathrm{d}{\xi }_j}{\mathrm{d}t}+{\mathcal{A}}_j(X){\xi }_j\right|}_{t=0})\right]\end{array}\text{\hspace{1em}(10.59)}$$

其中用到了条件(10.9)。(10.59) 的最后一行就是 ${\nabla }_{X}s$ 在 $j$-平凡化下的表达式。

我们发现，由(10.49)定义的协变导数既不依赖于水平提升的选取，也不依赖于局部截面的选取。规范势 ${\mathcal{A}}_i$ 在局部平凡化改变时按相应方式变换，从而 ${\nabla }_{X}s$ 是 $E$ 的一个良定义的截面。在这个意义上，${\nabla }_X$ 是伴向量丛上最自然的导数，它与主丛 $P$ 上的联络相容。

例 10.4

我们来重新得到7.2 节中所得的结果。设 $FM$ 是 $M$ 上的标架丛，$TM$ 是它的伴随丛。记 $FM=P(M,\mathrm{GL}(m,\mathbb{R}))$，$TM=FM{\times }_{\rho }{\mathbb{R}}^m$，其中 $m=\dim M$，而 $\rho$ 是 $\mathrm{GL}(m,\mathbb{R})$ 的 $m\times m$ 矩阵表示。$\mathfrak{gl}(m,\mathbb{R})$ 的元素是 $m\times m$ 矩阵。我们把局部联络形式 $A_i$ 改写为 ${\Gamma }_{\mu \beta }^{\alpha }\mathrm{d}{x}^{\mu }$。于是可得

$${\nabla }_{\partial /\partial x^{\mu }}{e}_{\alpha }=[({\sigma }_i(0),{\Gamma }_{\mu }{e}_{\alpha }^0)]={\Gamma }_{\mu \alpha }^{\beta }{e}_{\beta }\text{\hspace{1em}(10.60)}$$

这一结果应与(7.14)相比较。对于一般的截面（即向量场）$s(p)=[({\sigma }_i(p),X_i(p))]=X_i^{\alpha }(p)e_{\alpha }$，可得

$${\nabla }_{\partial /\partial x^{\mu }s}=\left(\frac{\partial }{\partial x^{\mu }}{X}_i^{\alpha }+{\Gamma }_{\mu \beta }^{\alpha }{X}^{\beta }\right)e_{\alpha }\text{\hspace{1em}(10.61)}$$

这正是7.2 节的结果。显然，${\Gamma }_{\mu \beta }^{\alpha }$ 中指标 $\alpha ,\beta$ 与 $\mu$ 所起的作用在性质上大不相同：$\mu$ 是 ${\Omega }^1(M)$ 指标，而 $\alpha$ 与 $\beta$ 则是 $\mathfrak{gl}(m,\mathbb{R})$ 指标。

例 10.5

我们来考虑与复标量场 $\varphi$ 耦合的 U(1) 规范场。相关的纤维丛是 U(1) 丛 $P(M,\mathrm{U}(1))$ 以及伴随丛 $E=P{\times }_{\rho }\mathbb{C}$，其中 $\rho$ 把 $\mathrm{U}(1)$ 的元素与复数自然地等同起来。$\omega$ 的局部表达式为 ${\mathcal{A}}_i={\mathcal{A}}_{i\mu }\mathrm{d}{x}^{\mu }$，其中 ${\mathcal{A}}_{i\mu }={\mathcal{A}}_i(\partial /\partial x^{\mu })$ 是麦克斯韦理论的矢势。设 $\gamma$ 是 $M$ 中的一条曲线，其在 $\gamma (0)$ 处的切向量为 $X$。取一个局部截面 ${\sigma }_i$，并把 $\gamma$ 的水平提升 $\tilde{\gamma }$ 表示为 $\tilde{\gamma }(t)={\sigma }_i(t){\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\phi (t)}$。若取 $1\in \mathbb{C}$ 为基向量，则基截面为

$$e=[({\sigma }_i(p),1)].$$

设 $\varphi (p)=[({\sigma }_i(p),\Phi (p))]=\Phi (p)e$（$\Phi :M\to \mathbb{C}$）是 $E$ 的一个截面，它被等同于一个复标量场。相对于 $\tilde{\gamma }(t)$，该截面由下式给出

$$\varphi (t)=\Phi (t)[(\tilde{\gamma }(t),U(t{)}^{-1})]\text{\hspace{1em}(10.62)}$$

其中 $U(t)={\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\phi (t)}$。$\varphi$ 沿 $\gamma$ 的协变导数为

$$\begin{array}{rl}{\nabla }_X\varphi & =\frac{\mathrm{d}\Phi }{\mathrm{d}t}\left[\left(\tilde{\gamma }(0),U(0{)}^{-1}\right)\right]+\Phi (0)\left[\left(\tilde{\gamma }(0),U(0{)}^{-1}{\mathcal{A}}_i(X)\cdot 1\right)\right]\\ & =\left(\frac{\mathrm{d}\Phi }{\mathrm{d}t}+{\mathcal{A}}_{i\mu }\Phi \frac{\mathrm{d}{x}^{\mu }}{\mathrm{d}t}\right)e=X^{\mu }\left(\frac{\partial \Phi }{\partial x^{\mu }}+{\mathcal{A}}_{i\mu }\Phi \right)e.\end{array}\text{\hspace{1em}(10.63)}$$

例 10.6

我们来考虑 $M$ 上的 SU(2) 杨-米尔斯理论。相关的丛是 SU(2) 丛 $P(M,\mathrm{SU}(2))$ 及其伴随丛 $E=P{\times }_{\rho }{\mathbb{C}}^2$，这里取的是二维群表示。在坐标卡 $U_i$ 上，规范势为

$${\mathcal{A}}_i={\mathcal{A}}_{i\mu }\mathrm{d}{x}^{\mu }=A_{i\mu }^{\alpha }\left(\frac{{\sigma }_{\alpha }}{2\mathrm{i}}\right)\mathrm{d}{x}^{\mu }\text{\hspace{1em}(10.64)}$$

其中 ${\sigma }_{\alpha }/2\mathrm{i}$ 是 $\mathrm{SU}(2)$ 的生成元，${\sigma }_{\alpha }$ 为泡利矩阵。设 $e_{\alpha }^0$ $(\alpha =1,2)$ 是 ${\mathbb{C}}^2$ 的基向量，并考虑截面

$$e_{\alpha }(p)\equiv \left[\left({\sigma }_i(p),e_{\alpha }^0\right)\right]\text{\hspace{1em}(10.65)}$$

其中 ${\sigma }_i(p)$ 在 $U_i$ 上给出 $P$ 的一个典范平凡化。设 $\varphi (p)=[({\sigma }_i(p),{\Phi }^{\alpha }(p)e_{\alpha }^0)]$ 是 $E$ 在 $M$ 上的一个截面。沿水平提升 $\tilde{\gamma }(t)={\sigma }_i(p)U(t)$（$U(t)\in \mathrm{SU}(2)$），有

$$\varphi (t)=\left[\left(\tilde{\gamma }(t),U(t{)}^{-1}{\Phi }^{\alpha }(t)e_{\alpha }^0\right)\right].\text{\hspace{1em}(10.66)}$$

$\varphi$ 沿 $X=\mathrm{d}/\mathrm{d}t$ 的协变导数为

$$\begin{array}{rl}& {\nabla }_X\varphi =\left[\left(\tilde{\gamma }(0),U(0{)}^{-1}\frac{\mathrm{d}{\Phi }^{\alpha }(0)}{\mathrm{d}t}{e}_{\alpha }^0\right)\right]\\ & +\left[(\tilde{\gamma }(0),U(0{)}^{-1}{\mathcal{A}}_i(X{)}^{\alpha }{\Phi }^{\beta }(0)e_{\alpha }^0)\right]\\ & =X^{\mu }\left(\frac{\partial {\Phi }^{\alpha }}{\partial x^{\mu }}+{\mathcal{A}}^{\alpha }{\Phi }^{\beta }\right)e_{\alpha }\end{array}\text{\hspace{1em}(10.67)}$$

其中用到了 (10.13b) 以得到最后一个等式。

练习 10.10

我们来考虑一个伴随丛 $E_{\mathfrak{g}}=P{\times }_{\mathrm{Ad}\mathfrak{g}}$，其中 $G$ 在 $\mathfrak{g}$ 上的作用为伴随作用 $V\to {\mathrm{Ad}}_{g}V=g^{-1}Vg$，$V\in \mathfrak{g}$，$g\in G$。取一个局部截面 ${\sigma }_i\in \Gamma (U_i,P)$，使得 $\tilde{\gamma }(t)={\sigma }_i(t)g(t)$。取 $E_{\mathfrak{g}}$ 上的一个截面 $s(p)=[(s_i(p),V(p)))]$，其中 $V(p)=V^{\alpha }(p)T_{\alpha }$，$\{T_{\alpha }\}$ 是 $\mathfrak{g}$ 的基。定义协变导数 ${\mathcal{D}}_{X}s$ 为

$${\mathcal{D}}_{X}s\equiv \left[\left(\tilde{\gamma }(0),\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left\{{\mathrm{Ad}}_{g(t{)}^{-1}}V(t)\right\}{|}_{t=0}\right)\right].\text{\hspace{1em}(10.68a)}$$

证明

$$\begin{array}{rl}{\mathcal{D}}_{X}s& =\left[\left({\sigma }_i(0),\frac{\mathrm{d}V(t)}{\mathrm{d}t}+[{\mathcal{A}}_i(X),V(t)]{|}_{t=0}\right)\right]\\ & =X^{\mu }\left(\frac{\partial V^{\alpha }}{\partial x^{\mu }}+f_{\beta \gamma }^{\alpha }{\mathcal{A}}_{i\mu }^{\beta }{V}^{\gamma }\right)[({\sigma }_i(0),T_{\alpha })].\end{array}\text{\hspace{1em}(10.68b)}$$

10.4.3 曲率的重新推导

由(10.50)，协变导数 ${\nabla }_{X}s$ 定义了一个算子 $\nabla :\Gamma (M,E)\to \Gamma (M,E\otimes {\Omega }^1(M))$。更一般地，$\nabla$ 在向量值 $p$-形式 $s\otimes \eta$（其中 $\eta \in {\Omega }^p(M)$）上的作用定义为

$$\nabla (s\otimes \eta )\equiv (\nabla s)\wedge \eta +s\otimes d\eta .\text{\hspace{1em}(10.69)}$$

设 $U_i$ 是 $M$ 的一个坐标卡，${\sigma }_i$ 是丛 $P$ 在 $U_i$ 上的一个截面。我们在 $U_i$ 上取典范局部平凡化。下面我们来证明

$$\nabla \nabla e_{\alpha }=e_{\beta }\otimes {\mathfrak{F}}_i{}^{\beta }{}_{\alpha }\text{\hspace{1em}(10.70)}$$

其中 $e_{\alpha }=[({\sigma }_i,e_{\alpha }^0)]\in \Gamma (U_i,E)$。事实上，通过直接计算可得

$$\begin{array}{rl}\nabla \nabla e_{\alpha }& =\nabla \left(e_{\beta }\otimes {\mathcal{A}}_i{}^{\beta }{}_{\alpha }\right)=\nabla e_{\beta }\wedge {\mathcal{A}}_i{}^{\beta }{}_{\alpha }+e_{\beta }\otimes \mathrm{d}{\mathcal{A}}_i{}^{\beta }{}_{\alpha }\\ & =e_{\beta }\otimes \left(\mathrm{d}{\mathcal{A}}_i{}^{\beta }{}_{\alpha }+{\mathcal{A}}_i{}^{\beta }{}_{\gamma }\wedge {\mathcal{A}}_i{}^{\gamma }{}_{\alpha }\right)=e_{\beta }\otimes {\mathfrak{F}}_i{}^{\beta }{}_{\alpha }.\end{array}$$

练习 10.11

习题 10.11. 设 $s(p)={\xi }^{\alpha }(p)e_{\alpha }(p)$ 是 $E$ 的一个截面。证明

$$\nabla \nabla s=e_{\alpha }\otimes {\mathcal{F}}_i{}^{\alpha }{}_{\beta }{\xi }^{\beta }.\text{\hspace{1em}(10.71)}$$

10.4.4 保持内积的联络

设 $E\stackrel{\pi }{\to }M$ 是一个带有正定对称内积的向量丛，该内积在每一点 $p\in M$ 处的作用由下式定义：

$$g_p:{\pi }^{-1}(p)\otimes {\pi }^{-1}(p)\to \mathbb{R}.\text{\hspace{1em}(10.72)}$$

此时称 $g$ 在 $E$ 上定义了一个黎曼结构。若一个联络 $\nabla$ 保持内积，即

$$\mathrm{d}[g(s,s^{\prime })]=g(\nabla s,s^{\prime })+g(s,\nabla s^{\prime }).\text{\hspace{1em}(10.73)}$$

特别地，若取 $s=e_{\alpha },s^{\prime }=e_{\beta }$ 并令 $g(e_{\alpha },e_{\beta })=g_{\alpha \beta }$，便得到

$$\mathrm{d}{g}_{\alpha \beta }={\mathcal{A}}_i{}^{\gamma }{}_{\alpha }{g}_{\gamma \beta }+{\mathcal{A}}_i{}^{\gamma }{}_{\beta }{g}_{\alpha \gamma }.\text{\hspace{1em}(10.74)}$$

这应与 (7.30b) 相比较。若 $E=TM$，并且再加上无挠条件，则我们的联络就化为黎曼几何中的列维-奇维塔联络。

给定内积后，我们可以取标准正交标架 $\{{\hat{e}}_{\alpha }\}$，使得 $g({\hat{e}}_{\alpha },{\hat{e}}_{\beta })={\delta }_{\alpha \beta }$。此时取结构群 $G$ 为 $\mathrm{O}(k),k$，其中 $\mathrm{O}(k),k$ 中的 $\mathrm{O}(k),k$ 是纤维的维数。其李代数 $\mathfrak{o}(k)$ 是反对称矩阵构成的向量空间，而联络一形式 $\omega$ 满足

$${\omega }_{\beta }^{\alpha }=-{\omega }_{\alpha }^{\beta }.\text{\hspace{1em}(10.75)}$$

定理 10.6

设 $E$ 是带有内积 $g$ 的向量丛，$\nabla$ 是与标准正交标架相伴的协变导数。则 $\nabla$ 是度量联络。

证明

由于 $g$ 是双线性的，故只需证明

$$\mathrm{d}\left[g\left(s,s^{\prime }\right)\right]=g\left(\nabla s,s^{\prime }\right)+g\left(s,\nabla s^{\prime }\right)$$

对 $s=f{\hat{e}}_{\alpha }$ 与 $s^{\prime }=f^{\prime }{\hat{e}}_{\beta }$ 成立，其中 $f,f^{\prime }\in \mathcal{F}(M)$。事实上，左端为 $\mathrm{d}[g(f{\hat{e}}_{\alpha },f^{\prime }{\hat{e}}_{\beta })]=\mathrm{d}[f{f}^{\prime }{\delta }_{\alpha \beta }]=\mathrm{d}(f{f}^{\prime }){\delta }_{\alpha \beta }$，而右端为

$$\begin{array}{rl}& g\left(\nabla f{\hat{e}}_{\alpha },f^{\prime }{\hat{e}}_{\beta }\right)+g\left(f{\hat{e}}_{\alpha },\nabla f^{\prime }{\hat{e}}_{\beta }\right)\\ & =g\left(\mathrm{d}f{\hat{e}}_{\alpha }+f{\hat{e}}_{\gamma }{\omega }_{\alpha }^{\gamma },f^{\prime }{\hat{e}}_{\beta }\right)+g\left(f{\hat{e}}_{\alpha },\mathrm{d}{f}^{\prime }{\hat{e}}_{\beta }+f^{\prime }{\hat{e}}_{\gamma }{\omega }_{\beta }^{\gamma }\right)\\ & =\mathrm{d}f{f}^{\prime }{\delta }_{\alpha \beta }+f{f}^{\prime }{\omega }_{\alpha }^{\gamma }{\delta }_{\gamma \beta }+f\mathrm{d}{f}^{\prime }{\delta }_{\alpha \beta }+f{f}^{\prime }{\omega }_{\beta }^{\gamma }{\delta }_{\alpha \gamma }\\ & =\mathrm{d}(f{f}^{\prime }){\delta }_{\alpha \beta }\end{array}$$

其中最后一步等号用到了(10.75)。

10.4.5 全纯向量丛与厄米内积

定义 10.6 全纯向量丛

设 $E$ 与 $M$ 为复流形，$\pi :E\to M$ 为全纯满射。若下列公理成立，则称流形 $E$ 为一个全纯向量丛(holomorphic vector bundle)。

(i) 典型纤维为 ${\mathbb{C}}^k$，结构群为 $\mathrm{GL}(k,\mathbb{C})$。
(ii) 局部平凡化 ${\varphi }_i:U_i\times {\mathbb{C}}^k\to {\pi }^{-1}(U_i)$ 是双全纯映射。

(iii) 过渡函数 $t_{ij}:U_i\cap U_j\to G=\mathrm{GL}(k,\mathbb{C})$ 是全纯映射。

例如，设 $M$ 为复流形，且 ${\dim }_{\mathbb{C}}M=m$。则全纯切丛 $T{M}^{+}\equiv {\bigcup }_{p\in M}{T}_p{M}^{+}$ 是一个全纯向量丛，其典型纤维为 ${\mathbb{C}}^m$，局部基为 $\{\partial /\partial z^{\mu }\}$。

设 $h$ 为全纯向量丛上的一个内积，它在 $p\in M$ 处的作用为 $h_p:{\pi }^{-1}(p)\times {\pi }^{-1}(p)\to \mathbb{C}$。最自然的内积是满足下列条件的厄米结构：

(i) $h_p(u,av+bw)=a{h}_p(u,v)+b{h}_p(u,w)$，其中 $u,v,w\in {\pi }^{-1}(p),a,b\in \mathbb{C};$
(ii) $h_p(u,v)=\overline{h_p(v,u)},u,v\in {\pi }^{-1}(p);$
(iii) $h_p(u,u)\ge 0$，且 $h_p(u,u)=0$ 当且仅当 $u={\varphi }_i(p,0)$；以及
(iv) $h(s_1,s_2)\in \mathcal{F}(M{)}^{\mathbb{C}}$，其中 $s_1,s_2\in \Gamma (M,E)$

称一组截面 $\{{\hat{e}}_1,\dots ,{\hat{e}}_k\}$ 为酉标架(unitary frame)，若

$$h\left({\hat{e}}_i,{\hat{e}}_j\right)={\delta }_{ij}.\text{\hspace{1em}(10.76)}$$

酉标架丛 $LM$ 不是全纯向量丛，因为结构群 $\mathrm{U}(m)$ 不是复流形。

给定厄米结构 $h$，我们定义一个与 $h$ 相容的联络。所谓厄米联络 $\nabla$，是指满足下列条件的线性映射 $\Gamma (M,E)\to \Gamma (M,E\otimes T^{\ast }{M}^{\mathbb{C}})$：

(i) $\nabla (fs)=(\mathrm{d}f)s+f\nabla s,f\in \mathcal{F}(M{)}^{\mathbb{C}},s\in \Gamma (M,E);$
(ii) $\mathrm{d}[h(s_1,s_2)]=h(\nabla s_1,s_2)+h(s_1,\nabla s_2);$；以及
(iii) 按作用结果的不同，我们将 $\nabla$ 的作用分解为 $\nabla s=\mathrm{D}s+\bar{\mathrm{D}}s$，其中 $\mathrm{D}s$、$\bar{\mathrm{D}}s$（$\bar{\mathrm{D}}s$）分别是取值于截面的 $(1,0)$-形式（(0,1)-形式）。我们要求 $\bar{\mathrm{D}}=\bar{\partial }$。

可以证明，给定 $E$ 与厄米度量 $h$，存在唯一的厄米联络 $\nabla$。曲率由厄米联络定义。设 $\{{\hat{e}}_1,\dots ,{\hat{e}}_k\}$ 为酉标架，并如下定义局部联络形式 ${\mathcal{A}}_{\alpha }^{\beta }$：

$$\nabla {\hat{e}}_{\alpha }={\hat{e}}_{\beta }{\mathcal{A}}_{\alpha }^{\beta }.\text{\hspace{1em}(10.77)}$$

场强定义为

$$\mathcal{F}\equiv \mathrm{d}\mathcal{A}+\mathcal{A}\wedge \mathcal{A}.\text{\hspace{1em}(10.78)}$$

我们来验证

$$\nabla \nabla {\hat{e}}_{\alpha }=\nabla \left({\hat{e}}_{\beta }{\mathcal{A}}_{\alpha }^{\beta }\right)={\hat{e}}_{\beta }{\mathcal{F}}_{\alpha }^{\beta }.\text{\hspace{1em}(10.79)}$$

我们证明 $\mathcal{A}$ 与 $\mathcal{F}$ 都是反厄米的：

$${\bar{\mathcal{A}}}_{\alpha }^{\beta }+{\mathcal{A}}_{\beta }^{\alpha }=h(\nabla {\hat{e}}_{\alpha },{\hat{e}}_{\beta })+h({\hat{e}}_{\alpha },\nabla {\hat{e}}_{\beta })=\mathrm{d}h({\hat{e}}_{\alpha },{\hat{e}}_{\beta })=\mathrm{d}{\delta }_{\alpha \beta }=0$$

$$\begin{array}{rl}{\mathcal{F}}_{\alpha }^{\beta }+{\bar{\mathcal{F}}}_{\beta }^{\alpha }& =\mathrm{d}{A}_{\alpha }^{\beta }+A_{\gamma }^{\beta }\wedge A_{\alpha }^{\gamma }+\mathrm{d}{\bar{A}}_{\beta }^{\alpha }+{\bar{A}}_{\gamma }^{\alpha }\wedge {\bar{A}}_{\alpha }^{\gamma }\\ & =\mathrm{d}\left({\mathcal{A}}_{\alpha }^{\beta }-{\mathcal{A}}_{\alpha }^{\beta }\right)+{\mathcal{A}}_{\gamma }^{\beta }\wedge {\mathcal{A}}_{\alpha }^{\gamma }+{\mathcal{A}}_{\alpha }^{\gamma }\wedge {\mathcal{A}}_{\gamma }^{\alpha }=0.\end{array}$$

于是我们证明了

$${\mathcal{A}}_{\beta }^{\alpha }=-{\bar{\mathcal{A}}}_{\alpha }^{\beta }{\mathcal{F}}_{\alpha }^{\beta }=-{\bar{\mathcal{F}}}_{\beta }.\text{\hspace{1em}(10.80)}$$

下面我们证明 $\mathcal{F}$ 是一个 $(1,1)$-形式。设 $\{{\hat{e}}_{\alpha }\}$ 为酉标架。$\mathcal{F}$ 不可能含有双次数为 $(0,2)$ 的分量，因为

$${\hat{e}}_{\beta }{\mathcal{F}}_{\alpha }^{\beta }=\nabla \nabla {\hat{e}}_{\alpha }=(\mathrm{D}+\bar{\partial })(\mathrm{D}+\bar{\partial }){\hat{e}}_{\alpha }=\mathrm{DD}{\hat{e}}_{\alpha }+(\mathrm{D}\bar{\partial }+\bar{\partial }\mathrm{D}){\hat{e}}_{\alpha }.$$

由 ${\mathcal{F}}_{\alpha }^{\beta }=-{\bar{\mathcal{F}}}_{\beta }^{\alpha }$ 可知，$\bar{\mathcal{F}}$ 不含双次数为 (0, 2) 的分量，从而 $\mathcal{F}$ 也不含双次数为 (2, 0) 的分量。因此 ${\mathcal{F}}_{\alpha }^{\beta }$ 是双次数为 (1, 1) 的二次形式。

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