B.10 第21章和第22章

概念链接 · 机器稿中出现的术语；来源角色尚未核验: 李代数 · 李代数表示 · 不可约表示 · 李括号

问题 1：

考虑一个在中心势中运动的粒子的经典哈密顿算子

h = \frac{1}{2 m} (p_{1}^{2} + p_{2}^{2} + p_{3}^{2}) + V (r)

其中

r^{2} = q_{1}^{2} + q_{2}^{2} + q_{3}^{2}

• 证明角动量函数 $l_{j}$ 满足

{l_{j}, h} = 0

并注意，这意味着 $l_{j}$ 是沿经典轨道的守恒函数。

• 证明在量子化理论中，角动量算子与 $S O (3)$ 卡西米尔算子满足

[L_{j}, H] = 0, [L^{2}, H] = 0

• 证明对于固定能量 $E$ ，能量为 $E$ 的态的子空间 $H_{E} \subset H$ 将是 $S O (3)$ 的一个李代数表示。分解为不可约表示后，这可以由出现的各种自旋值 $l$ 及其重数来刻画。

• 证明：若一个能量为 $E$ 的态在时刻 $t = 0,$ 属于 $S O (3)$ 的自旋 $l$ 不可约表示，则它在之后时刻仍将属于自旋 $l$ 不可约表示。

如果

w = \frac{1}{m} (l \times p) + e^{2} \frac{q}{∣ q ∣}

是楞次向量，证明其分量满足

{w_{j}, h} = 0

对于氢原子哈密顿算子 $h .$

对于一维量子谐振子：

• 计算下列算符在能量本征态 $∣ n ⟩$ 中的期望值

Q, P, Q^{2}, P^{2}

和

Q^{4}

• 用这些求在这些态中 $q$ 和 $p$ 的观测值统计分布的标准差。这些是

Δ Q = ⟨ n ∣ Q^{2} ∣ n ⟩ - ⟨ n ∣ Q ∣ n ⟩^{2}, Δ P = ⟨ n ∣ P^{2} ∣ n ⟩ - ⟨ n ∣ P ∣ n ⟩^{2}

• 对于两个能量本征态 $∣ n ⟩$ 和 $∣ n^{'} ⟩$ ，求

⟨ n^{'} ∣ Q ∣ n ⟩ and ⟨ n^{'} ∣ P ∣ n ⟩

证明 22.4 节中的函数 $1, z, \overline{z}, z \overline{z}$ 构成一个李代数的一组基（其李括号为该节中的泊松括号）。证明这是一个半直积李代数，并且谐振子态空间给出该李代数的一个表示。

来源与版本

正文：中文 · 机器译稿 · 待校对

核对状态：机器译稿 · 待校对

原书 PDF · 印刷页 537、538、539、540、541、542、543、544、545、546、547、548、549、550、551、552、553、554、555、556

来源版本：2025-10-20

来源 PDF SHA-256：5a1941b2443b54d5db3d055f1e5ba390429b7a728475258017aaac87ee85a837

OCR 来源 SHA-256：7f317d1896fa748af4cb9570310ed7801a8bef7ef97dd5d1d2ea35f0099d5952

译稿产物 SHA-256：990cbfa689456f304078547957a949f29a27c8ecb8b9969826d93f3e363e800f

机翻模型：deepseek-v4.1-flash