10.1 群R及其表示

10.1 群R及其表示

概念链接 · 机器稿中出现的术语；来源角色尚未核验: 李代数 · 李代数表示 · 酉表示 · 不可约表示 · 李群 · 李括号

自然界中一些最基本的对称性是平移对称性，其基本例子涉及李群$R$，群法则由加法给出。注意，通过将$R$与形式为的矩阵群等同起来，可以将其视为具有乘法群法则的矩阵群。

对于 $a\in \mathbf{R}$。由于

$$\begin{array}{c}\left(\begin{array}{cc}1& a\\ 0& 1\end{array}\right)\\ \left(\begin{array}{cc}1& a\\ 0& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}1& b\\ 0& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& a+b\\ 0& 1\end{array}\right)\end{array}$$

矩阵的乘法对应于$R$中元素的加法。利用矩阵指数可以得出

$$e^{\left(\begin{array}{cc}0& a\\ 0& 0\end{array}\right)}=\left(\begin{array}{cc}1& a\\ 0& 1\end{array}\right)$$

因此，矩阵群$R$的李代数是形式为以下内容的矩阵

$$\left(\begin{array}{cc}0& a\\ 0& 0\end{array}\right)$$

以李括号为矩阵对易子（此处为零）。这样的李代数可以等同于李代数 $R$（带有平凡李括号）。

我们有时会发现将$R$的元素表示为矩阵的这种做法很有用，但常常也会改用标量${}^{a,}$来标记群元素，并使用加法群法则。同样的标量a也用于标记李代数中的元素，此时从李代数到李群的指数映射就只是恒等映射。回忆一下，李群的李代数可以看作是该群在单位元处的切空间。对于像$R$这样是线性空间的李群例子，该空间与其切空间可以等同起来，而这就是我们在这里所做的。

群 $R$ 的不可约表示如下：

定理

10.1。$R$ 的不可约表示由 $c\in \mathbf{C}$ 标记，并由下式给出

$${\pi }_c(a)=e^{ca}$$

当$c$为纯虚数时，这样的表示是酉的$(inU(1))$。

该定理的证明与$G=U(1)$情形（定理2.3）相同，只需去掉论证的最后部分，该部分表明周期性$(U(1)$不过是把$R$中的a与$a+N2\pi$等同起来）要求$c$为$i$的整数倍。

我们感兴趣的 $R$ 的表示是在波函数空间上的表示，因此是无限维的。最简单的情形是由 $R$ 通过平移作用在自身上而在 $R$ 上的函数上诱导出的表示。这里 $a\in \mathbf{R}$ 通过下式作用在 $q\in \mathbf{R}$ 上（其中 $q$ 是 $R$ 上的坐标）：

$$q\to a\cdot q=q+a$$

而函数上的诱导表示$\pi$（见方程1.3）是

$$\pi (g)f(q)=f(g^{-1}\cdot q)$$

对于这种情况，将是

$$\pi (a)f(q)=f(q-a)\text{\hspace{1em}(10.1)}$$

为得到该表示的李代数版本，可对上述内容求导，得到

$${\pi }^{\prime }(a)=-a\frac{d}{dq}\text{\hspace{1em}(10.2)}$$

在另一个方向上，已知李代数表示，指数化给出

$$\pi (a)f=e^{{\pi }^{\prime }(a)}f=e^{-a\frac{d}{dq}}f(q)=f(q)-a\frac{df}{dq}+\frac{a^2}{2!}\frac{d^{2}f}{d{q}^2}+\cdots =f(q-a)$$

这正是泰勒公式。¹

在第5章中，对于李群 $G$ 的有限维酉表示，我们找到了用自伴矩阵给出的相应李代数表示。对于 $G=\mathbf{R}$ 的情形，即使在 $\mathcal{H}=L^2({\mathbf{R}}^3)$ 上的无限维表示，也能得到酉表示与自伴算符²的等价，尽管现在这是分析中的一个非平凡定理，而不仅仅是关于矩阵的事实。

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来源版本：2025-10-20

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