23.1 相干态与海森堡群作用

23.1 相干态与海森堡群作用

概念链接 · 机器稿中出现的术语；来源角色尚未核验: 伴随算子 · 特征值 · 李代数 · 李代数表示 · 酉表示 · 不可约表示 · 李群 · 群在集合上的作用 · 李括号 · 复化

由于 $d=1$ 谐振子的哈密顿算子与给出李代数 ${\mathfrak{h}}_3$ 在状态空间 ${\mathcal{F}}_{:}$ 上的表示的算符 a 或 $a^{†}$ 不对易，海森堡李群及其李代数不是该系统的对称性。能量本征态并不分解为该群的不可约表示，而是整个状态空间构成这样一个不可约表示。然而，谐振子的状态空间确实有一个特殊的态，即最低能量态 |0⟩，人们可以问这个态在海森堡群作用下会发生什么。

复化海森堡李代数 ${\mathfrak{h}}_3\otimes \mathbf{C}$ 的元素可写为

$$i\alpha z+\beta \overline{z}+\gamma$$

对于 $\mathbf{C}$ 中的 $\alpha ,\beta ,\gamma$（选择 $\alpha$ 的这一方式简化了后续公式）。李代数 ${\mathfrak{h}}_3$ 是实函数的子空间，这些实函数将是具有以下形式的函数

$$i\alpha z-i\overline{\alpha }z+\gamma$$

对于$\alpha \in \mathbf{C}$和$\gamma \in \mathbf{R}$。李代数结构由泊松括号给出

$$\{i{\alpha }_{1}z-i{\overline{\alpha }}_1\overline{z}+{\gamma }_1,i{\alpha }_{2}z-i{\overline{\alpha }}_2\overline{z}+{\gamma }_2\}=2\mathrm{Im}({\overline{\alpha }}_1{\alpha }_2)$$

这里将${\mathfrak{h}}_3$与$\mathbf{C}\oplus \mathbf{R}$等同起来，元素可以写成对$(\alpha ,\gamma )$的形式，并带有李括号

$$[({\alpha }_1,{\gamma }_1),({\alpha }_2,{\gamma }_2)]=(0,2\mathrm{Im}({\overline{\alpha }}_1{\alpha }_2))$$

这只是第13章中讨论的${\mathfrak{h}}_3$元素标记法的一种变体，人们同样可以使用指数坐标，将海森堡群$H_3$的元素也写成这样的对，其群法则为

$$({\alpha }_1,{\gamma }_1)({\alpha }_2,{\gamma }_2)=({\alpha }_1+{\alpha }_2,{\gamma }_1+{\gamma }_2+\mathrm{Im}({\overline{\alpha }}_1{\alpha }_2))$$

使用方程 22.5 进行量子化，得到李代数表示 ${\Gamma }^{\prime }$，其算符对应于 ${\mathfrak{h}}_3$ 的元素

$${\Gamma }^{\prime }(\alpha ,\gamma )={\Gamma }^{\prime }(i\alpha z-i\overline{\alpha }z+\gamma )=\alpha a^{†}-\overline{\alpha }a-i\gamma 1\text{\hspace{1em}(23.1)}$$

并将这些取指数将给出酉表示

$$\Gamma (\alpha ,\gamma )=e^{\alpha a^{†}-\overline{\alpha }a-i\gamma }$$

我们定义算符

$$D(\alpha )=e^{\alpha a^{†}-\overline{\alpha }a}$$

它们满足（使用贝克-坎贝尔-豪斯多夫公式）

$$D({\alpha }_1)D({\alpha }_2)=D({\alpha }_1+{\alpha }_2)e^{-i\mathrm{Im}({\overline{\alpha }}_1{\alpha }_2)}$$

于是

$$\Gamma (\alpha ,\gamma )=D(\alpha )e^{-i\gamma }$$

而算符 $\Gamma (\alpha ,\gamma )$ 给出一个表示，因为它们满足

$$\Gamma ({\alpha }_1,{\gamma }_1)\Gamma ({\alpha }_2,{\gamma }_2)=D({\alpha }_1+{\alpha }_2)e^{-i({\gamma }_1+{\gamma }_2+\mathrm{Im}({\overline{\alpha }}_1{\alpha }_2))}=\Gamma (({\alpha }_1,{\gamma }_1)({\alpha }_2,{\gamma }_2))$$

作用于|0⟩并施加$D(\alpha )$得到：

定义（相干态）

$H$ 中的相干态是满足以下条件的态

$$|\alpha ⟩=D(\alpha )|0⟩=e^{\alpha a^{†}-\overline{\alpha }a}|0⟩$$

其中 $\alpha \in \mathbf{C}$

使用贝克-坎贝尔-豪斯多夫公式

$$e^{\alpha a^{†}-\overline{\alpha }a}=e^{\alpha a^{†}}{e}^{-\overline{\alpha }a}{e}^{-\frac{|\alpha {|}^2}{2}}=e^{-\overline{\alpha }a}{e}^{\alpha a^{†}}{e}^{\frac{|\alpha {|}^2}{2}}$$

因此

$$|\alpha ⟩=e^{\alpha a^{†}}{e}^{-\overline{\alpha }a}{e}^{-\frac{|\alpha {|}^2}{2}}|0⟩$$

并且由于 $a|0⟩=0$，这变为

$$|\alpha ⟩=e^{-\frac{|\alpha {|}^2}{2}}{e}^{\alpha a^{†}}|0⟩=e^{-\frac{|\alpha {|}^2}{2}}\sum _{n=0}^{\infty }\frac{{\alpha }^n}{\sqrt{n!}}|n⟩\text{\hspace{1em}(23.2)}$$

由于 $a|n⟩=\sqrt{n}|n-1⟩$

$$a|\alpha ⟩=e^{-\frac{|\alpha {|}^2}{2}}\sum _{n=1}^{\infty }\frac{{\alpha }^n}{\sqrt{(n-1)!}}|n-1⟩=\alpha |\alpha ⟩$$

而这一性质可作为相干态的等价定义。在相干态中，a 的期望值是

$$⟨\alpha |a|\alpha ⟩=⟨\alpha |\frac{1}{\sqrt{2}}(Q+iP)|\alpha ⟩=\alpha$$

因此

$$⟨\alpha |Q|\alpha ⟩=\sqrt{2}\mathrm{Re}(\alpha ),⟨\alpha |P|\alpha ⟩=\sqrt{2}\mathrm{Im}(\alpha )$$

注意，相干态是不同态 $|n⟩$ 的叠加，因此不是粒子数算符 $N.$ 的特征向量，也不描述具有固定（甚至有限）量子数的态。它们是以下算符的特征向量

$$a=\frac{1}{\sqrt{2}}(Q+iP)$$

特征值为$\alpha$，因此可以尝试将$\sqrt{2}\alpha$视为一个复数，其实部给出位置，虚部给出动量。这并不导致违反海森堡不确定性原理，因为它不是自伴算符，因而也不是可观测量。然而，这类态对于描述某些类型的物理现象非常有用，例如激光束的态，其中（对于电磁场的每个动量分量）并不具有确定的光子数，但确实具有确定的振幅和相位。

题外话（自旋相干态）。可以施行类似的构造，将群 $H_3$ 替换为群 $SU(2)$，并将态 |0⟩ 替换为自旋为 $\frac{n}{2}$ 的不可约表示 $({\pi }_n,V^n={\mathbf{C}}^{n+1})$ 的最高权向量。将这样的最高权向量记作 $|\frac{n}{2}$，我们有

$${\pi }_n^{\prime }(S_3)|\frac{n}{2}⟩=\frac{n}{2}|\frac{n}{2}⟩,{\pi }_n^{\prime }(S_{+})|\frac{n}{2}⟩=0$$

并且我们可以通过用$SU(2)$中的元素作用于$|\frac{n}{2}$来构造一族自旋相干态。如果我们将该族中仅相差一个相位的态视为等同，则这些态由一个球面参数化。

对于 $n=1$ 的情形，这正是第 ${}^{7.5,}$ 节中的布洛赫球构造，其中我们取 $|\frac{1}{2}⟩=(\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{0})$ 作为最高权向量。在这种情况下，表示空间 ${\mathbf{C}}^2$ 中的所有态都是自旋相干态（将仅相差标量乘法的态视为等同）。对于更大的 $n,$ 值，${\mathbf{C}}^{n+1}$ 中只有一部分态会是自旋相干态。

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来源版本：2025-10-20

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