特殊线性群 (special linear group)

别名：special linear groups

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Szekeres · source-snapshot-bc3404156f6e

已登记出处中的最早位置：§2.3 · zh-CN。

位置	语言	登记角色
§2.3	zh-CN · 英文上下文	术语出现

来源短摘录与定位

§2.3 · zh-CN · translation · unreviewed

例 2.10

$n$ 阶特殊线性群(special linear group)，又称幺模群(unimodular group)，记作 $SL(n,\mathbb{R})$，由行列式为 $1$ 的 $n\times n$ 实矩阵组成。由式 (2.5)，矩阵乘法的封闭性为

$$\det \mathsf{A}=\det \mathsf{B}=1⟹\det (\mathsf{AB})=\det \mathsf{A}\det \mathsf{B}=1.$$

单位矩阵 $\mathsf{I}$ 属于 $SL(n,\mathbb{R})$，因为 $\det \mathsf{I}=1$；取逆的封闭性由下式给出：

$$\det \mathsf{A}=1⟹\det {\mathsf{A}}^{-1}=\frac{1}{\det \mathsf{A}}=1.$$

Woit · 2025-10-20

已登记出处中的最早位置：§5.2 · zh-CN。

位置	语言	登记角色
§5.2	zh-CN · 英文上下文	术语出现
§5.2	en · 中文上下文	术语出现
§5.3	zh-CN · 英文上下文	术语出现
§5.3	en · 中文上下文	术语出现
§40.4	zh-CN · 英文上下文	术语出现

来源短摘录与定位

§5.2 · zh-CN · translation · unreviewed

可以证明，$U(n)$ 中的酉矩阵以及 $\mathfrak{u}(n)$ 中的矩阵都可由酉矩阵共轭对角化，因此每个 $U(n)$ 矩阵都是李代数 $\mathfrak{u}(n)$ 中某个矩阵的指数。对 $SO(n)$ 也有相应结论，不过需要将矩阵对角化为 $2\times 2$ 分块。$O(n)$ 则不满足这一性质，因为指数映射无法到达单位元所在连通分支之外的部分。当 $n\ge 2$ 时，特殊线性群(special linear group) $SL(n,\mathbf{R})$ 和 $SL(n,\mathbf{C})$ 也有不属于指数映射像集的元素，尽管这两个群都是连通的；原文此处把相应的复代数印作 $\mathfrak{sl}(2,\mathbf{C})$；本节小结（印刷页 54）则写作 $\mathfrak{sl}(n,\mathbf{C})$，因此这里保留原印刷形式并标注为排印疑误。

§5.2 · en · original_transcription · ai-transcription-compared

One can show that $U(n)$ and $\mathfrak{u}(n)$ matrices can be diagonalized by conjugation by a unitary matrix and thus show that any $U(n)$ matrix can be written as an exponential of something in the Lie algebra. The corresponding theorem is also true for $SO(n)$ but requires looking at diagonalization into 2 by 2 blocks. It is not true for $O(n)$ (you can’t reach the disconnected component of the identity by exponentiation). It also turns out to not be true for the special linear groups $SL(n,\mathbf{R})$ and $SL(n,\mathbf{C})$ for $n\ge 2$ (while the groups are connected, they have elements that are not exponentials of any matrix in $\mathfrak{sl}(n,\mathbf{R})$ or $\mathfrak{sl}(2,\mathbf{C})$ respectively). Editorial note: The PDF prints $\mathfrak{sl}(2,\mathbf{C})$ here, while the §5.3 summary on printed page 54 gives $\mathfrak{sl}(n,\mathbf{C})$; the p.70 notation is likely a typographical error.

§5.3 · zh-CN · translation · unreviewed

• 特殊线性群(special linear group) $SL(n,\mathbf{R})$ 和 $SL(n,\mathbf{C})$ 由行列式为 $1$ 的可逆矩阵构成。它们的李代数 $\mathfrak{sl}(n,\mathbf{R})$ 和 $\mathfrak{sl}(n,\mathbf{C})$ 分别由所有迹为零的 $n\times n$ 矩阵构成。

§5.3 · en · original_transcription · ai-transcription-compared

• The special linear groups $SL(n,\mathbf{R})$ and $SL(n,\mathbf{C})$ are the groups of invertible matrices with determinant one. Their Lie algebras, $\mathfrak{sl}(n,\mathbf{R})$ and $\mathfrak{sl}(n,\mathbf{C})$, consist of all $n\times n$ matrices with trace zero.

§40.4 · zh-CN · machine_draft · machine-draft-not-reviewed

正如群 $SO(n)$ 有二重覆盖 $Spin(n)$，群 $SO(3,1)$ 也有二重覆盖 $Spin(3,1)$，我们将证明它可以等同于由行列式为 1 的 2 乘 2 复矩阵构成的群 特殊线性群 $SL(2,\mathbb{C})$(special linear group)。这个群将与 $SO(3,1)$ 具有相同的李代数，我们有时会将这两个群中的任一个称为“洛伦兹群”。

原文中已定位的引用（不自动视为依赖）

• href=“#example-2-10”
• href=“#equation-2-5”

来源覆盖、定位与记录

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