一般线性群 (general linear group)

别名：general linear groups

按作者与版本查阅

以下按已登记位置排列。出现顺序、原文引用与已登记依赖分别展示；最早位置不代表全书首次定义。

Szekeres · source-snapshot-bc3404156f6e

已登记出处中的最早位置：§2.3 · zh-CN。

位置	语言	登记角色
§2.3	zh-CN · 英文上下文	术语出现
§3.3	zh-CN · 英文上下文	术语出现

来源短摘录与定位

§2.3 · zh-CN · translation · unreviewed

复数情况也可作类似讨论：全体 $n\times n$ 非奇异复矩阵组成群 $GL(n,\mathbb{C})$。除 $n=1$ 外，这些群均非阿贝尔，因为一般有 $\mathsf{AB}\ne \mathsf{BA}$。它们并称为$n$ 阶一般线性群(general linear group)。以矩阵为元素、矩阵乘法为组成法则的子群统称为矩阵群(matrix group)。

§3.3 · zh-CN · translation · unreviewed

线性映射 $S:V\to V$ 称为 $V$ 上的线性算符(linear operator)。它们构成向量空间 $L(V,V)$。若 $S$ 是 $V$ 上的可逆线性算符，则称其为 $V$ 上的线性变换(linear transformation)。它可以视为 $V$ 到自身的向量空间同构，或 $V$ 的自同构。$V$ 的线性变换关于复合乘法构成一个群，称为 $V$ 上的一般线性群(general linear group)，记作 $GL(V)$。群的性质容易证明：

Woit · 2025-10-20

已登记出处中的最早位置：§1.3 · en。

位置	语言	登记角色
§1.3	en · 中文上下文	术语出现；位于定义入口环境中
§1.3	zh-CN · 英文上下文	术语出现；位于定义入口环境中
§4.1	en · 中文上下文	术语出现
§4.1	zh-CN · 英文上下文	术语出现
§5.3	zh-CN · 英文上下文	术语出现
§5.3	en · 中文上下文	术语出现

来源短摘录与定位

§1.3 · en · original_transcription · ai-transcription-compared

Definition · Representation

Definition (Representation). A representation $(\pi ,V)$ of a group $G$ is a homomorphism

$$\pi :g\in G\to \pi (g)\in GL(V)$$

where $GL(V)$ denotes the general linear group, the group of invertible linear maps $V\to V$ for a vector space $V$.

§1.3 · zh-CN · translation · unreviewed

定义 · 群表示(representation)

定义（群表示(representation)）。群 $G$ 的表示 $(\pi ,V)$ 是一个群同态(group homomorphism)：

$$\pi :g\in G\to \pi (g)\in GL(V)$$

其中，$GL(V)$ 是由向量空间 $V$ 到自身的可逆线性映射构成的一般线性群(general linear group)。

§4.1 · en · original_transcription · ai-transcription-compared

The reader should be warned that we will often not notationally distinguish between a linear operator $L$ and its matrix with matrix entries $L_{jk}$ with respect to some unspecified basis, since we are often interested in properties of operators $L$ that, for the corresponding matrix, are basis-independent (e.g., is the operator or matrix invertible?). The invertible linear operators on $V$ form a group under composition, a group we will sometimes denote $GL(V)$ , with “GL” indicating “general linear group”. Choosing a basis identifies this group with the group of invertible matrices, with group law matrix multiplication. For $V$ $n$ dimensional, we will denote this group by $GL(n,\mathbf{R})$ in the real case, $GL(n,\mathbf{C})$ in the complex case.

§4.1 · zh-CN · translation · unreviewed

读者应注意，本书常把线性算符 $L$ 与它在某个未指定基下的矩阵（矩阵元记为 $L_{jk}$）使用同一个符号。这是因为我们通常关心算符及其矩阵表示中与基无关的性质，例如它们是否可逆。$V$ 上所有可逆线性算符(linear operators)在复合下构成一个群，记作 $GL(V)$；其中“GL”取自英文“General Linear”（一般线性）；这个群称为一般线性群(general linear group)。选定一组基后，该群即可与可逆矩阵群对应，群运算就是矩阵乘法。若 $\dim V=n$，则实数域与复数域上的群分别记作 $GL(n,\mathbf{R})$ 与 $GL(n,\mathbf{C})$。

§5.3 · zh-CN · translation · unreviewed

回顾：一般线性群 → 原定义

• 一般线性群(general linear group) $GL(n,\mathbf{R})$ 和 $GL(n,\mathbf{C})$ 分别是所有可逆实矩阵和复矩阵构成的群。它们的李代数分别是 $\mathfrak{gl}(n,\mathbf{R})=M(n,\mathbf{R})$ 和 $\mathfrak{gl}(n,\mathbf{C})=M(n,\mathbf{C})$。这两个向量空间由所有 $n\times n$ 矩阵构成，李括号为矩阵对易子。其他李群是这些群的子群，相应的李代数是这些矩阵李代数的李子代数。

§5.3 · en · original_transcription · ai-transcription-compared

Recall: general linear group → original definition

• The general linear groups $GL(n,\mathbf{R})$ and $GL(n,\mathbf{C})$ are the groups of all invertible real and complex matrices, respectively. Their Lie algebras are $\mathfrak{gl}(n,\mathbf{R})=M(n,\mathbf{R})$ and $\mathfrak{gl}(n,\mathbf{C})=M(n,\mathbf{C})$. These are the vector spaces of all $n\times n$ matrices, with Lie bracket given by the matrix commutator. Other Lie groups are subgroups of these groups, with Lie algebras that are sub-Lie algebras of the corresponding matrix Lie algebras.

原文中已定位的引用（不自动视为依赖）

• [原定义](../chapter-04/01-vector-spaces-and-linear-maps#concept-4-general-linear-group)
• [original definition](../chapter-04/01-vector-spaces-and-linear-maps#concept-4-general-linear-group)

来源覆盖、定位与记录

索引保留所有已登记出处，不受模型材料包八小节限额影响。中英上下文按已登记的书、版次与小节配对，不冒充另一语言的概念定义。没有穷尽全书未标记的术语；程序校验不提升原著或译文审阅资格。

登记位置 8；当前可定位出现 8。

永久身份：urn:uuid:9a7432a7-4b27-41b4-83d5-d9b6ff0ce028。

身份历史 · 结构化来源索引