闵可夫斯基向量空间 (Minkowski vector space)

§40.1 defines R^4 with a Lorentzian inner product.

别名：Minkowski space；闵可夫斯基空间

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Woit · 2025-10-20

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来源短摘录与定位

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定义 · 闵可夫斯基空间

闵可夫斯基空间(Minkowski space) $M^4$ 是带下列不定内积的向量空间 ${\mathbb{R}}^4$：

$$(x,y)\equiv x\cdot y=-x_0{y}_0+x_1{y}_1+x_2{y}_2+x_3{y}_3.$$

其中 $(x_0,x_1,x_2,x_3)$ 与 $(y_0,y_1,y_2,y_3)$ 分别是 $x,y\in {\mathbb{R}}^4$ 的坐标。

拓展 · 符号约定

采用 $(-,+,+,+)$ 符号约定，理由如下：

• 把时间变量 $x_0$ 解析延拓为 $i{x}_0$ 后，内积变为正定。

• 限制到空间分量时，此前关于欧氏空间对称群 $E(3)$ 的公式保持原样。

• 这一选择允许实旋量表示，因为 $\mathrm{Cliff}(3,1)=M(4,\mathbb{R})\ne \mathrm{Cliff}(1,3)$。

• Weinberg的教材[100]也用此约定；但这里将第0个分量放在最前面。

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Definition · Minkowski space

Minkowski space $M^4$ is ${\mathbb{R}}^4$ with the indefinite inner product

$$(x,y)\equiv x\cdot y=-x_0{y}_0+x_1{y}_1+x_2{y}_2+x_3{y}_3.$$

Here $(x_0,x_1,x_2,x_3)$ and $(y_0,y_1,y_2,y_3)$ are the coordinates of $x,y\in {\mathbb{R}}^4$.

Digression · Sign convention

We use the $(-,+,+,+)$ rather than $(+,-,-,-)$ convention for these reasons:

• Analytically continuing $x_0$ to $i{x}_0$ makes the inner product positive definite.

• Restricting to spatial components leaves our earlier Euclidean $E(3)$ formulas unchanged.

• This choice admits a real spinor representation, since $\mathrm{Cliff}(3,1)=M(4,\mathbb{R})\ne \mathrm{Cliff}(1,3)$.

• Weinberg [100] uses this convention, though we put the zeroth component first.

来源覆盖、定位与记录

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