向量空间 (vector space)

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Szekeres · source-snapshot-bc3404156f6e

已登记出处中的最早位置：§3.2 · zh-CN。

位置	语言	登记角色
§3.2	zh-CN · 英文上下文	术语出现

来源短摘录与定位

§3.2 · zh-CN · translation · unreviewed

正文请在原位置阅读；长段落、数学边界或未定位引用不截断嵌入，精确范围与指纹保存在结构化索引。

Woit · 2025-10-20

已登记出处中的最早位置：§4 · zh-CN。

位置	语言	登记角色
§4	zh-CN · 英文上下文	术语出现
§4.1	en · 中文上下文	术语出现
§4.1	zh-CN · 英文上下文	术语出现
§4.2	zh-CN · 英文上下文	术语出现
§6.1	zh-CN · 英文上下文	术语出现
§6.1	en · 中文上下文	术语出现
§6.2	zh-CN · 英文上下文	术语出现
§6.2	en · 中文上下文	术语出现
§7.4	zh-CN · 英文上下文	术语出现
§7.5	en · 中文上下文	术语出现；位于定理入口环境中
§16.3	zh-CN · 英文上下文	术语出现；位于证明环境中
§16.3	en · 中文上下文	术语出现；位于证明环境中

来源短摘录与定位

§4 · zh-CN · translation · unreviewed

后续章节将假定读者具备扎实的线性代数基础，我们也会用到该学科中的若干具体结论。其中有些内容在常见的线性代数课程中并不受重视，例如对偶空间(dual space)所起的作用，以及把不同类别的可逆矩阵作为群来研究。目前讨论的向量空间(vector space)都是有限维的。后文还会涉及无限维状态空间及其引出的各种问题。

§4.1 · en · original_transcription · ai-transcription-compared

A vector space $V$ over a field $k$ is a set with a consistent way to take linear combinations of elements with coefficients in $k$. We will only be using the cases $k=\mathbf{R}$ and $k=\mathbf{C}$ , so such finite dimensional $V$ will just be ${\mathbf{R}}^n$ or ${\mathbf{C}}^n$ . Choosing a basis (set of $n$ linearly independent vectors) $\{{\mathbf{e}}_j\}$ , an arbitrary vector $v\in V$ can be written as

§4.1 · zh-CN · translation · unreviewed

向量空间(vector space) $V$ 在域 $k$ 上 $V$ 在域 $k$ 上是一个集合，带有一种以 $k$ 中元素为系数取线性组合的一致方式。我们将只使用 $k=\mathbf{R}$ 和 $k=\mathbf{C}$ 的情形，因此这样的有限维 $V$ 将只是 ${\mathbf{R}}^n$ 或 ${\mathbf{C}}^n$。选择一组基(basis)（由 $n$ 个线性无关向量组成的集合）$\{{\mathbf{e}}_j\}$，任意向量 $v\in V$ 可以写成

§4.2 · zh-CN · translation · unreviewed

任一向量空间(vector space) $V$ 都对应一个新的向量空间，称为它的对偶空间(dual space)：

§6.1 · zh-CN · machine_draft · machine-draft-not-reviewed

注意，这些对易关系与李代数 $\mathfrak{su}(2)$ 的基向量 $X_1,X_2,X_3$ 所满足的方程 3.5 完全相同，因此 $\mathfrak{so}(3)$ 与 $\mathfrak{su}(2)$ 是同构的李代数。二者都是带有相同李括号(Lie bracket)运算的向量空间(vector space) ${\mathbf{R}}^3$。这种运算在另一语境中也很熟悉：它就是标准基向量的叉积(cross product)：

§6.1 · en · machine_draft · machine-draft-not-reviewed

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§6.2 · zh-CN · machine_draft · machine-draft-not-reviewed

作为 $\mathbb{R}$ 上的向量空间(vector space)，$\mathbb{H}$ 与 ${\mathbb{R}}^4$ 同构。

§6.2 · en · machine_draft · machine-draft-not-reviewed

As a vector space over $\mathbb{R}$, $\mathbb{H}$ is isomorphic to ${\mathbb{R}}^4$.

§7.4 · zh-CN · machine_draft · machine-draft-not-reviewed

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§7.5 · en · machine_draft · machine-draft-not-reviewed

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§16.3 · zh-CN · machine_draft · machine-draft-not-reviewed

证明

映射

$$L⟼{\mu }_L$$

显然给出了矩阵空间与二次多项式空间之间的向量空间(vector space)同构。为证明它也是李代数同构，可利用泊松括号的雅可比恒等式：

$$\begin{array}{rl}& \{{\mu }_L,\{{\mu }_{L^{\prime }},{\mathbf{c}}_q\cdot \mathbf{q}+{\mathbf{c}}_p\cdot \mathbf{p}\}\}-\{{\mu }_{L^{\prime }},\{{\mu }_L,{\mathbf{c}}_q\cdot \mathbf{q}+{\mathbf{c}}_p\cdot \mathbf{p}\}\}\\ & =\{\{{\mu }_L,{\mu }_{L^{\prime }}\},{\mathbf{c}}_q\cdot \mathbf{q}+{\mathbf{c}}_p\cdot \mathbf{p}\}\end{array}$$

该式左侧为 ${\mathbf{c}}_q^{\prime \prime }\cdot \mathbf{q}+{\mathbf{c}}_p^{\prime \prime }\cdot \mathbf{p}$，其中

$$\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{{\mathbf{c}}_q^{\prime \prime }}{{\mathbf{c}}_p^{\prime \prime }}\right)=(L{L}^{\prime }-L^{\prime }L)\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{{\mathbf{c}}_q}{{\mathbf{c}}_p}\right)$$

因此，右侧的线性映射由下式给出：

$$\{{\mu }_L,{\mu }_{L^{\prime }}\}={\mu }_{[L,L^{\prime }]}$$

$\square$

§16.3 · en · machine_draft · machine-draft-not-reviewed

Proof

The map

$$L⟼{\mu }_L$$

is a vector space isomorphism from the matrices to the quadratic polynomials. To show that it is a Lie-algebra isomorphism, use the Jacobi identity for the Poisson bracket:

$$\begin{array}{rl}& \{{\mu }_L,\{{\mu }_{L^{\prime }},{\mathbf{c}}_q\cdot \mathbf{q}+{\mathbf{c}}_p\cdot \mathbf{p}\}\}-\{{\mu }_{L^{\prime }},\{{\mu }_L,{\mathbf{c}}_q\cdot \mathbf{q}+{\mathbf{c}}_p\cdot \mathbf{p}\}\}\\ & =\{\{{\mu }_L,{\mu }_{L^{\prime }}\},{\mathbf{c}}_q\cdot \mathbf{q}+{\mathbf{c}}_p\cdot \mathbf{p}\}.\end{array}$$

The left-hand side is ${\mathbf{c}}_q^{\prime \prime }\cdot \mathbf{q}+{\mathbf{c}}_p^{\prime \prime }\cdot \mathbf{p}$, where

$$\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{{\mathbf{c}}_q^{\prime \prime }}{{\mathbf{c}}_p^{\prime \prime }}\right)=(L{L}^{\prime }-L^{\prime }L)\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{{\mathbf{c}}_q}{{\mathbf{c}}_p}\right).$$

Therefore, the linear map on the right is given by

$$\{{\mu }_L,{\mu }_{L^{\prime }}\}={\mu }_{[L,L^{\prime }]}.$$

$\square$

原文中已定位的引用（不自动视为依赖）

• [方程 3.5](../chapter-03/02-commutation-relations-for-pauli-matrices#equation-3-5)
• [equation 3.5](../chapter-03/02-commutation-relations-for-pauli-matrices#equation-3-5)
• [equation 7.5](#equation-7-5)
• [equation 7.6](#equation-7-6)

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