柯西–施瓦茨不等式 (Cauchy–Schwarz inequality)

按作者与版本查阅

以下按已登记位置排列。出现顺序、原文引用与已登记依赖分别展示；最早位置不代表全书首次定义。

Szekeres · source-snapshot-bc3404156f6e

已登记出处中的最早位置：§5.2 · zh-CN。

位置	语言	登记角色
§5.2	zh-CN · 英文上下文	定理入口
§5.2	en · 中文上下文	定理入口

来源短摘录与定位

§5.2 · zh-CN · translation · unreviewed

定理 5.4 · 柯西–施瓦茨不等式 (Cauchy–Schwarz inequality)

（柯西–施瓦茨 不等式）对于内积空间中的任意一对向量 $u$、$v$

$$|⟨u|v⟩|\le \Vert u\Vert \Vert v\Vert .\text{\hspace{1em}(5.13)}$$

证明

由 (IP3)、(IP2) 及式 (5.10)，我们对所有 $\lambda \in \mathbb{C}$ 有

$$\begin{array}{rl}0& \le ⟨u+\lambda v|u+\lambda v⟩\\ & =⟨u|u⟩+\lambda ⟨u|v⟩+\overline{\lambda }⟨v|u⟩+\lambda \overline{\lambda }⟨v|v⟩.\end{array}$$

代入特定值

$$\lambda =-\frac{⟨v|u⟩}{⟨v|v⟩}$$

给出不等式

$$\begin{array}{rl}0& \le ⟨u|u⟩-\frac{⟨v|u⟩⟨u|v⟩}{⟨v|v⟩}-\frac{\overline{⟨v|u⟩}⟨v|u⟩}{⟨v|v⟩}+\frac{|⟨v|u⟩{|}^2}{⟨v|v⟩}\\ & =⟨u|u⟩-\frac{|⟨v|u⟩{|}^2}{⟨v|v⟩}.\end{array}$$

因此，由(IP1)可得，

$$|⟨u|v⟩{|}^2=|⟨v|u⟩{|}^2\ge ⟨u|u⟩⟨v|v⟩$$

而所需结果由式 (5.11) 对该不等式两边取平方根得到。

§5.2 · en · original_transcription · unreviewed

正文请在原位置阅读；长段落、数学边界或未定位引用不截断嵌入，精确范围与指纹保存在结构化索引。

原文中已定位的引用（不自动视为依赖）

• href=“#theorem-5-4”
• href=“#equation-5-10”
• href=“#equation-5-11”
• href=“#theorem-5-4”
• href=“#equation-5-10”
• href=“#equation-5-11”

来源覆盖、定位与记录

索引保留所有已登记出处，不受模型材料包八小节限额影响。中英上下文按已登记的书、版次与小节配对，不冒充另一语言的概念定义。没有穷尽全书未标记的术语；程序校验不提升原著或译文审阅资格。

登记位置 2；当前可定位出现 2。

永久身份：urn:uuid:f1bc887f-aba2-4c03-a6e1-1bd0892e42e5。

身份历史 · 结构化来源索引