8.7 近复流形

本节及下一节讨论与复流形密切相关的空间。这些内容较为专门，初读时可以略去。

8.7.1 定义

有些可微流形具有与复流形类似的结构。为了研究这些流形，我们把条件(8.16)稍加放宽，在这里要求一个更弱的条件。

定义 8.5 近复流形、近复结构

设 $M$ 是一个可微流形。若存在一个 (1, 1) 型张量场 $J$，使得在 $M$ 的每一点 $p$ 处都有 $J_p^2=-{\mathrm{id}}_{T_{p}M}$，则称对 $(M,J)$（或简记为 $M$）为近复流形(almost complex manifold)。张量场 $J$ 也称为近复结构(almost complex structure)。

由于 $J_p^2=-{\mathrm{id}}_{T_{p}M}$，$J_p$ 的特征值为 $\pm \mathrm{i}$。若有 $m+\mathrm{i}$ 个，则必有同样多个 $-\mathrm{i}$，因此 $J_p$ 是 $2m\times 2m$ 矩阵，且 $J_p^2=-I_{2m}$。于是 $M$ 是偶数维流形。注意，并非所有偶数维流形都是近复流形。例如，$S^4$ 不是近复流形（Steenrod 1951）。还要注意，我们这里要求的是更弱的条件 $J_p^2=-I_{2m}$。当然，由(8.16)定义的张量 $J_p$ 满足 $J_p^2=-I_{2m}$，因此复流形是近复流形。也存在不是复流形的近复流形。例如，已知 $S^6$ 上容许一个近复结构，尽管它不是复流形（Fröhlicher 1955）。

下面把近复流形 $(M,J)$ 的切空间复化。给定 $T_{p}M$ 处满足 $J_p^2=-I_{2m}$ 的线性变换 $J_p$，我们把 $J_p$ 延拓为定义在 $T_p{M}^{\mathbb{C}}$ 上的 $\mathbb{C}$-线性映射。定义在 $T_p{M}^{\mathbb{C}}$ 上的 $J_p$ 同样满足 $J_p^2=-I_{2m}$，

$$J_p^2(X+\mathrm{i}Y)=J_p^{2}X+\mathrm{i}{J}_p^{2}Y=-X+\mathrm{i}(-Y)=-(X+\mathrm{i}Y)$$

其中 $X,Y\in T_{p}M$。下面按 $J_p$ 的特征值把 $T_p{M}^{\mathbb{C}}$ 分成两个互不相交的向量子空间，

$$T_p{M}^{\mathbb{C}}=T_p{M}^{+}\oplus T_p{M}^{-}\text{\hspace{1em}(8.121)}$$

其中

$$T_p{M}^{\pm }=\{Z\in T_p{M}^{\mathbb{C}}|J_{p}Z=\pm \mathrm{i}Z\}.\text{\hspace{1em}(8.122)}$$

任一向量 $V\in T_p{M}^{\mathbb{C}}$ 都可写成 $V=W_1+{\overline{W}}_2$，其中 $W_1,W_2\in T_p{M}^{+}$。注意 $J_{p}V=\mathrm{i}{W}_1-\mathrm{i}{\overline{W}}_2$。读到此处，读者或许已经注意到，我们可以沿用8.2 节中为复流形建立的向量与向量场分类方案。事实上，唯一的区别在于：在复流形上，近复结构由(8.18)显式给出；而在近复流形上，只要求它满足较宽松的条件 $J_p^2=-I_{2m}$。要对复化切空间和复化向量空间进行分类，只需后一个条件。据此，我们把 $T_p{M}^{\mathbb{C}}$ 分成 $T_p{M}^{\pm }$，把 $\mathfrak{X}(M{)}^{\mathbb{C}}$ 分成 $\mathfrak{X}(M{)}^{\pm }$，尽管此时未必存在

形如 $\{\partial /\partial z^{\mu }\}$ 的 $T_p{M}^{+}$ 的基。例如，我们仍可定义投影算符

$${\mathcal{P}}^{\pm }\equiv \frac{1}{2}\left({\mathrm{id}}_{T_{p}M}\mp \mathrm{i}{J}_p\right):T_p{M}^{\mathbb{C}}\to T_p{M}^{\pm }.\text{\hspace{1em}(8.123)}$$

我们称 $T_p{M}^{+}(T_p{M}^{-})$ 中的向量为全纯（反全纯）向量，称 $\mathcal{X}(M{)}^{+}(\mathcal{X}(M{)}^{-})$ 中的向量场为全纯（反全纯）向量场。

定义 8.6 可积的

设 $(M,J)$ 为近复流形。若任意两个全纯向量场 $X,Y\in {\mathcal{X}}^{+}(M)$ 的李括号仍是全纯向量场，即 $[X,Y]\in {\mathcal{X}}^{+}(M)$，则称近复结构 $J$ 是可积(integrable)的。

设 $(M,J)$ 为近复流形。定义 Nijenhuis 张量场(Nijenhuis tensor field) $N:\mathcal{X}(M)\times \mathcal{X}(M)\to \mathcal{X}(M)$ 为

$$N(X,Y)\equiv [X,Y]+J[JX,Y]+J[X,JY]-[JX,JY].\text{\hspace{1em}(8.124)}$$

给定基 $\{e^{\mu }=\partial /\partial x^{\mu }\}$ 及其对偶基 $\{\mathrm{d}{x}^{\mu }\}$，近复结构可表示为 $J=J_{\mu }^{\nu }\mathrm{d}{x}^{\mu }\otimes \partial /\partial x^{\nu }$。$N$ 的分量表达式为

$$\begin{array}{rl}& N(X,Y)=\left(X^v{\partial }_v{Y}^{\mu }-Y^v{\partial }_v{X}^{\mu }\right)e_{\mu }\\ & +J_{\lambda }^{\mu }\left\{J_{\kappa }^v{X}^{\kappa }{\partial }_v{Y}^{\lambda }-Y^v{\partial }_v\left(J_{\kappa }^{\lambda }{X}^{\kappa }\right)\right\}{e}_{\mu }\\ & +J_{\lambda }^{\mu }\left\{X^{\nu }{\partial }_{\nu }\left(J_{\kappa }^{\lambda }{Y}^{\kappa }\right)-J_{\kappa }^{\nu }{Y}^{\kappa }{\partial }_{\nu }{X}^{\lambda }\right\}{e}_{\mu }\\ & -\left\{J_{\kappa }^v{X}^{\kappa }{\partial }_v\left(J_{\lambda }^{\mu }{Y}^{\lambda }\right)-J_{\kappa }^v{Y}^{\kappa }{\partial }_v\left(J_{\lambda }^{\mu }{X}^{\lambda }\right)\right\}{e}_{\mu }\\ & =X^{\kappa }{Y}^v[-J_{\lambda }^{\mu }\left({\partial }_v{J}_{\kappa }^{\lambda }\right)+J_{\lambda }^{\mu }\left({\partial }_{\kappa }{J}_v^{\lambda }\right)\\ & -J_{\kappa }^{\lambda }\left({\partial }_{\lambda }{J}_v^{\mu }\right)+J_v^{\lambda }\left({\partial }_{\lambda }{J}_{\kappa }^{\mu }\right)]e_{\mu }.\end{array}\text{\hspace{1em}(8.125)}$$

由此可见，$N$ 关于 $X$ 与 $Y$ 确实是线性的，因而是一个张量。若 $J$ 是复结构，则 $J$ 由(8.18)给出，此时 Nijenhuis 张量场平凡地为零。

定理 8.12

可微流形 $M$ 上的近复结构 $J$ 是可积的，当且仅当对任意 $A,B\in \mathcal{X}(M)$ 都有 $N(A,B)=0$。

证明

设 $Z=X+\mathrm{i}Y$，$W=U+\mathrm{i}V\in \mathcal{X}(M{)}^{\mathbb{C}}$。我们把 Nijenhuis 张量场 延拓，使其对 $\mathcal{X}(M{)}^{\mathbb{C}}$ 中向量场的作用由下式给出

$$\begin{array}{rl}N(Z,W)& =[Z,W]+J[JZ,W]+J[Z,JW]-[JZ,JW]\\ & =\{N(X,U)-N(Y,V)\}+\mathrm{i}\{N(X,V)+N(Y,U)\}.\end{array}\text{\hspace{1em}(8.126)}$$

设对任意 $A,B\in \mathcal{X}(M)$ 都有 $N(A,B)=0$。由(8.126)可知，对 $Z,W\in {\mathcal{X}}^{\mathbb{C}}(M)$ 有 $N(Z,W)=0$。设 $Z,W\in {\mathcal{X}}^{+}(M)\subset \mathcal{X}(M{)}^{\mathbb{C}}$。由于 $JZ=\mathrm{i}Z$ 且 $JW=\mathrm{i}W$，我们有 $N(Z,W)=2\{[Z,W]+\mathrm{i}J[Z,W]\}$。按假设 $N(Z,W)=0$，于是得到 $[Z,W]=-\mathrm{i}J[Z,W]$，即 $J[Z,W]=$

$\mathrm{i}[Z,W]$，也就是说 $[Z,W]\in {\mathcal{X}}^{+}(M)$。因此，该近复结构是可积的。

反之，设 $J$ 可积。由于 ${\mathcal{X}}^{\mathbb{C}}(M)$ 是 ${\mathcal{X}}^{+}(M)$ 与 ${\mathcal{X}}^{-}(M)$ 的直和，我们可以把 $Z$、$W\in {\mathcal{X}}^{\mathbb{C}}(M)$ 分解为 $Z=Z^{+}+Z^{-}$ 和 $W=W^{+}+W^{-}$。于是

$$N(Z,W)=N\left(Z^{+},W^{+}\right)+N\left(Z^{+},W^{-}\right)+N\left(Z^{-},W^{+}\right)+N\left(Z^{-},W^{-}\right).$$

由于 $J{Z}^{\pm }=\pm \mathrm{i}{Z}^{\pm }$ 且 $J{W}^{\pm }=\pm \mathrm{i}{W}^{\pm }$，容易看出 $N(Z^{+},W^{-})=N(Z^{-},W^{+})=0$。我们还有

$$\begin{array}{rl}N(Z^{+},W^{+})& =[Z^{+},W^{+}]+J[\mathrm{i}{Z}^{+},W^{+}]+J[Z^{+},\mathrm{i}{W}^{+}]-[\mathrm{i}{Z}^{+},\mathrm{i}{W}^{+}]\\ & =2\left[Z^{+},W^{+}\right]-2\left[Z^{+},W^{+}\right]=0\end{array}$$

因为 $J[Z^{+},W^{+}]=\mathrm{i}[Z^{+},W^{+}]$。同理，$N(Z^{-},W^{-})$ 也为零，于是我们证明了：对任意 $Z,W\in {\mathcal{X}}^{\mathbb{C}}(M)$ 都有 $N(Z,W)=0$。特别地，它对 $Z,W\in \mathcal{X}(M)$ 也应等于零。

若 $M$ 是复流形，则复结构 $J$ 是常张量场，且 Nijenhuis 张量场为零。反过来又如何呢？下面我们叙述一个重要的（且难以证明的）定理。

定理 8.13 · Newlander 与 Nirenberg，1957

设 $(M,J)$ 是一个 $2m$ 维的近复流形。若 $J$ 是可积的，则该流形 $M$ 是带有近复结构 $J$ 的复流形。

总结起来，我们有：

$$\begin{array}{cc}\text{可积的近复}& \text{Nijenhuis 张量场为零}\\ \text{复结构}& \text{张量场}\end{array}=\text{复流形}.$$

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