7.2 平行移动、联络与协变导数

向量 $X$ 是一个方向导数，它作用在 $f\in \mathcal{F}(M)$ 上，即 $X:f\mapsto X[f]$。然而，对于 $(p,q)$ 型的张量场，并不存在由 $M$ 的可微结构自然产生的方向导数。[注意，李导数 ${\mathcal{L}}_{V}X=[V,X]$ 并不是方向导数，因为它依赖于 $V$ 的导数。] 我们所需要的是一种称为联络的额外结构，它规定了张量如何沿曲线被移动。

7.2.1 启发式引入

我们先对平行移动与协变导数作一番启发式的讨论。前面已经多次指出，定义在不同点上的两个向量不能直接相互比较。让我们看看欧几里得空间 ${\mathbb{R}}^m$ 中向量场的导数是如何定义的。向量场 $V=V^{\mu }{e}_{\mu }$ 关于 $x^{\nu }$ 的导数，其第 $\mu$ 个分量为

$$\frac{\partial V^{\mu }}{\partial x^{\nu }}=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{V^{\mu }(\dots ,x^{\nu }+\Delta x^{\nu },\dots )-V^{\mu }(\dots ,x^{\nu },\dots )}{\Delta x^{\nu }}.$$

上式左端分子中的第一项定义在 $x+\Delta x=(x^1,\dots ,x^{\nu }+\Delta x^{\nu },\dots ,x^m)$ 处，第二项则定义在 $x=(x^{\mu })$ 处。要从 $V^{\mu }(x+\Delta x)$ 中减去 $V^{\mu }(x)$，就必须把 $V^{\mu }(x)$ 保持不变地移动到 $x+\Delta x$，然后再求差。这种向量的移动称为平行移动(parallel transport)。我们实际上默认了把 $V{|}_x$ 平行移动到 $x+\Delta x$ 后其分量 $V^{\mu }(x)$ 保持不变。然而，在流形上并没有平行移动向量的自然方式，我们必须规定向量如何从一点平行移动到另一点。

设 $\tilde{V}{|}_{x+\Delta x}$ 表示把向量 $V{|}_x$ 平行移动到 $x+\Delta x$ 后所得的向量。我们要求其分量满足

$${\tilde{V}}^{\mu }(x+\Delta x)-V^{\mu }(x)\propto \Delta x\text{\hspace{1em}(7.8a)}$$

$$\left(\widetilde{V^{\mu }+W^{\mu }}\right)(x+\Delta x)={\tilde{V}}^{\mu }(x+\Delta x)+{\tilde{W}}^{\mu }(x+\Delta x).\text{\hspace{1em}(7.8b)}$$

只要取

$${\tilde{V}}^{\mu }(x+\Delta x)=V^{\mu }(x)-V^{\lambda }(x){\Gamma }_{\nu \lambda }^{\mu }(x)\Delta x^{\nu }.\text{\hspace{1em}(7.9)}$$

$V$ 关于 $x^{\nu }$ 的协变导数(covariant derivative)定义为

$$\underset{\Delta x^v\to 0}{\lim }\frac{V^{\mu }(x+\Delta x)-{\tilde{V}}^{\mu }(x+\Delta x)}{\Delta x^v}\frac{\partial }{\partial x^{\mu }}=\left(\frac{\partial V^{\mu }}{\partial x^v}+V^{\lambda }{\Gamma }_{v\lambda }^{\mu }\right)\frac{\partial }{\partial x^{\mu }}.\text{\hspace{1em}(7.10)}$$

该量是 $x+\Delta x$ 处的一个向量，因为它是定义在同一点 $x+\Delta x$ 处的两个向量 $V{|}_{x+\Delta x}$ 与 $\tilde{V}{|}_{x+\Delta x}$ 之差。可能的平行移动规则有很多种，每一种对应于 $\Gamma$ 的一种取法。若流形上赋有度量，则存在一种优选的 $\Gamma$ 取法，称为列维-奇维塔联络，见例 7.1与7.4 节。

例 7.1

我们来看一个简单的例子：二维欧几里得空间 $({\mathbb{R}}^2,\delta )$。我们按初等几何中的通常意义来定义平行移动。在笛卡尔坐标系 $(x,y)$ 中，$\Gamma$ 的所有分量都为零，因为对任意的 $\Delta x$ 和 $\Delta y$ 都有 ${\tilde{V}}^{\mu }(x+\Delta x,y+\Delta y)=V^{\mu }(x,y)$。接下来我们取极坐标 $(r,\varphi )$。如果把 $(r,\varphi )\mapsto (r\cos \varphi ,r\sin \varphi )$ 看作一个嵌入，我们就得到诱导度量，

$$g=\mathrm{d}r\otimes \mathrm{d}r+r^2\mathrm{d}\varphi \otimes \mathrm{d}\varphi .\text{\hspace{1em}(7.11)}$$

设 $V=V^r\partial /\partial r+V^{\varphi }\partial /\partial \varphi$ 是定义在 $(r,\varphi )$ 处的一个向量。若把这个向量平行移动到 $(r+\Delta r,\varphi )$，就得到一个新向量 $\tilde{V}={\tilde{V}}^r\partial /\partial r{|}_{(r+\Delta r,\varphi )}+{\tilde{V}}^{\varphi }\partial /\partial \varphi {|}_{(r+\Delta r,\varphi )}$（图 7.1(a)）。注意 $V^r=V\cos \theta$ 和 $V^{\varphi }=V(\sin \theta /r)$，其中 $V=\sqrt{g(\overline{V},\overline{V})}$，而 $\theta$ 是 $V$ 与 $\partial /\partial r$ 之间的夹角。于是有 ${\tilde{V}}^r=V^r$ 以及

(a)

(b)

图 7.1. $\tilde{V}$ 是向量 $V$ 平行移动到 $(a)(r+\Delta r,\varphi )$ 和 $(b)(r,\varphi +\Delta \varphi )$ 后所得的向量。

$${\tilde{V}}^{\varphi }=\frac{r}{r+\Delta r}{V}^{\varphi }\simeq V^{\varphi }-\frac{\Delta r}{r}{V}^{\varphi }.$$

把这些分量与 (7.9) 相比较，我们容易发现

$${\Gamma }_{rr}^r=0{\Gamma }_{r\varphi }^r=0{\Gamma }_{rr}^{\varphi }=0{\Gamma }_{r\varphi }^{\varphi }=\frac{1}{r}.\text{\hspace{1em}(7.12a)}$$

同样地，若把 $V$ 平行移动到 $(r,\varphi +\Delta \varphi )$，它就变成

$$\tilde{V}={\tilde{V}}^r\frac{\partial }{\partial r}{|}_{(r,\varphi +\Delta \varphi )}+{\tilde{V}}^{\varphi }\frac{\partial }{\partial \varphi }{|}_{(r,\varphi +\Delta \varphi )}$$

其中

$${\tilde{V}}^r=V\cos (\theta -\Delta \varphi )\simeq V\cos \theta +V\sin \theta \Delta \varphi =V^r+V^{\varphi }r\Delta \varphi$$

以及

$${\tilde{V}}^{\varphi }=V\frac{\sin (\theta -\Delta \varphi )}{r}\simeq V\frac{\sin \theta }{r}-V\cos \theta \frac{\Delta \varphi }{r}=V^{\varphi }-V^r\frac{\Delta \varphi }{r}$$

（图 7.1(b)）。于是我们得到

$${\Gamma }_{\varphi r}^r=0{\Gamma }_{\varphi \varphi }^r=-r{\Gamma }_{\varphi r}^{\varphi }=\frac{1}{r}{\Gamma }_{\varphi \varphi }^{\varphi }=0.\text{\hspace{1em}(7.12b)}$$

注意 $\Gamma$ 满足对称性 ${\Gamma }_{\mu \nu }^{\lambda }={\Gamma }_{\nu \mu }^{\lambda }$。这里还隐含地假定了向量的范数在平行移动下保持不变。满足这两个条件的平行移动规则称为列维-奇维塔联络(Levi-Civita connection)，见 7.4 节。这一直观的讨论引导我们给出仿射联络的形式定义。

7.2.2 仿射联络

定义 7.2 仿射联络

仿射联络(affine connection) $\nabla$ 是一个映射 $\nabla :\mathcal{X}(M)\times \mathcal{X}(M)\to \mathcal{X}(M)$，或 $(X,Y)\mapsto {\nabla }_{X}Y$，它满足以下条件：

$${\nabla }_X(Y+Z)={\nabla }_{X}Y+{\nabla }_{X}Z\text{\hspace{1em}(7.13a)}$$

$${\nabla }_{(X+Y)}Z={\nabla }_{X}Z+{\nabla }_{Y}Z\text{\hspace{1em}(7.13b)}$$

$${\nabla }_{(fX)}Y=f{\nabla }_{X}Y\text{\hspace{1em}(7.13c)}$$

$${\nabla }_X(fY)=X[f]Y+f{\nabla }_{X}Y\text{\hspace{1em}(7.13d)}$$

其中 $f\in \mathcal{F}(M)$，$X,Y,Z\in \mathcal{X}(M)$。

取 $M$ 上的一个坐标卡 $(U,\phi )$，其坐标为 $x=\phi (p)$，并定义 $m^3$ 个函数 ${\Gamma }_{\nu \mu }^{\lambda }$，称为联络系数：

$${\nabla }_v{e}_{\mu }\equiv {\nabla }_{e_v}{e}_{\mu }=e_{\lambda }{\Gamma }_{v\mu }^{\lambda }\text{\hspace{1em}(7.14)}$$

其中 $\{e_{\mu }\}=\{\partial /\partial x^{\mu }\}$ 是 $T_{p}M$ 中的坐标基。联络系数刻画了基向量如何逐点变化。一旦定义了 $\nabla$ 对基向量的作用，我们就能计算 $\nabla$ 对任意向量的作用。设 $V=V^{\mu }{e}_{\mu }$ 与 $W=W^{\nu }{e}_{\nu }$ 是 $T_p(M)$ 中的元素，则

$$\begin{array}{rl}{\nabla }_{V}W& =V^{\mu }{\nabla }_{e_{\mu }}\left(W^v{e}_v\right)=V^{\mu }\left(e_{\mu }\left[W^{\mu }\right]e_v+W^v{\nabla }_{e_{\mu }}{e}_v\right)\\ & =V^{\mu }\left(\frac{\partial W^{\lambda }}{\partial x^{\mu }}+W^v{\Gamma }_{\mu v}^{\lambda }\right)e_{\lambda }.\end{array}\text{\hspace{1em}(7.15)}$$

注意，这一联络系数的定义与前面启发性的结果 (7.10) 一致。按定义，$\nabla$ 把两个向量 $V$ 和 $W$ 映为一个新向量，该向量由 (7.15) 的右端给出，其第 $\lambda$ 个分量为 $V^{\mu }{\nabla }_{\mu }{W}^{\lambda }$，其中

$${\nabla }_{\mu }{W}^{\lambda }\equiv \frac{\partial W^{\lambda }}{\partial x^{\mu }}+{\Gamma }_{\mu v}^{\lambda }{W}^v.\text{\hspace{1em}(7.16)}$$

注意，${\nabla }_{\mu }{W}^{\lambda }$ 是向量 ${\nabla }_{\mu }W={\nabla }_{\mu }{W}^{\lambda }{e}_{\lambda }$ 的第 $\lambda$ 个分量，不应与分量 $W^{\lambda }$ 的协变导数相混淆。与李导数 ${\mathcal{L}}_{V}W=[V,W]$ 不同，${\nabla }_{V}W$ 不依赖于 $V$ 的导数。在这个意义上，协变导数是把函数的方向导数推广到张量的恰当推广。

7.2.3 平行移动与测地线

给定流形 $M$ 中的一条曲线，我们便可定义向量沿该曲线的平行移动。设 $c:(a,b)\to M$ 是 $M$ 中的一条曲线。为简单起见，假定其像被一个坐标卡 $(U,\phi )$ 覆盖，该坐标卡的坐标为 $x=\phi (p)$。设 $X$ 是（至少）沿 $c(t)$ 定义的一个向量场，

$$X{\mid }_{c(t)}=X^{\mu }(c(t))e_{\mu }{\mid }_{c(t)}\text{\hspace{1em}(7.17)}$$

其中 $e_{\mu }=\partial /\partial x^{\mu }$。若 $X$ 满足条件

$${\nabla }_{V}X=0\text{对任意}t\in (a,b)\text{\hspace{1em}(7.18a)}$$

则称 $X$ 沿 $c(t)$ 平行移动，其中 $V=\mathrm{d}/\mathrm{dt}=({\mathrm{dx}}^{\mu }(c(t))/\mathrm{dt})e_{\mu }{|}_{c(t)}$ 是 $c(t)$ 的切向量。条件 (7.18a) 用分量写出即为

$$\frac{\mathrm{d}{X}^{\mu }}{\mathrm{d}t}+{\Gamma }_{\nu \lambda }^{\mu }\frac{\mathrm{d}{x}^{\nu }(c(t))}{\mathrm{d}t}{X}^{\lambda }=0.\text{\hspace{1em}(7.18b)}$$

若切向量 $V(t)$ 本身沿 $c(t)$ 平行移动，即若

$${\nabla }_{V}V=0\text{\hspace{1em}(7.19a)}$$

则称曲线 $c(t)$ 为测地线(geodesic)。在某种意义上，测地线是黎曼流形中最“直”的曲线。用分量表示，测地线方程 (7.19a) 成为

$$\frac{{\mathrm{d}}^2{x}^{\mu }}{\mathrm{d}{t}^2}+{\Gamma }_{\nu \lambda }^{\mu }\frac{\mathrm{d}{x}^{\nu }}{\mathrm{d}t}\frac{\mathrm{d}{x}^{\lambda }}{\mathrm{d}t}=0\text{\hspace{1em}(7.19b)}$$

其中 $\{x^{\mu }\}$ 是 $c(t)$ 的坐标。我们也许可以说，(7.19a) 作为“最直曲线”的条件太强了，因而改为要求一个较弱的条件

$${\nabla }_{V}V=fV\text{\hspace{1em}(7.20)}$$

其中 $f\in \mathcal{F}(M)$。“$V$ 的变化与 $V$ 平行”也是直线的一个特征。然而，在重参数化 $t\to t^{\prime }$ 之下，切向量的分量按如下方式变化：

$$\frac{\mathrm{d}{x}^{\mu }}{\mathrm{d}t}\to \frac{\mathrm{d}t}{\mathrm{d}{t}^{\prime }}\frac{\mathrm{d}{x}^{\mu }}{\mathrm{d}t}$$

而(7.20)只要 $t^{\prime }$ 满足

$$\frac{{\mathrm{d}}^2{t}^{\prime }}{\mathrm{d}{t}^2}=f\frac{\mathrm{d}{t}^{\prime }}{\mathrm{d}t}.$$

因此，我们总可以重参数化这条曲线，使测地线方程取 (7.19a) 的形式。

练习 7.3

证明 (7.19b) 在仿射重参数化 $t\to at+b$（$a,b\in \mathbb{R}$）下保持不变。

7.2.4 张量场的协变导数

由于 ${\nabla }_X$ 具有导数的含义，自然可以用通常的方向导数来定义 $f\in \mathcal{F}(M)$ 的协变导数：

$${\nabla }_{X}f=X[f].\text{\hspace{1em}(7.21)}$$

于是 (7.13d) 看上去恰好就是莱布尼茨法则，

$${\nabla }_X(fY)=({\nabla }_{X}f)Y+f{\nabla }_{X}Y.\text{\hspace{1em}(7.13d’)}$$

我们要求它对任意张量之积都成立，

$${\nabla }_X\left(T_1\otimes T_2\right)=\left({\nabla }_X{T}_1\right)\otimes T_2+T_1\otimes \left({\nabla }_X{T}_2\right)\text{\hspace{1em}(7.22)}$$

其中 $T_1$ 与 $T_2$ 是任意类型的张量场。当某些指标被缩并时，式 (7.22) 也依然成立。有了这些要求，我们便可计算一次形式 $\omega \in {\Omega }^1(M)$ 的协变导数。由于对 $Y\in \mathcal{X}(M)$ 有 $⟨\omega ,Y⟩\in \mathcal{F}(M)$，我们应当有

$$X[⟨\omega ,Y⟩]={\nabla }_X[⟨\omega ,Y⟩]=⟨{\nabla }_X\omega ,Y⟩+⟨\omega ,{\nabla }_{X}Y⟩.$$

把两边用分量写出来，便得到

$$({\nabla }_X\omega {)}_v=X^{\mu }{\partial }_{\mu }{\omega }_v-X^{\mu }{\Gamma }_{\mu v}^{\lambda }{\omega }_{\lambda }.\text{\hspace{1em}(7.23)}$$

特别地，对于 $X=e_{\mu }$，有

$$({\nabla }_{\mu }\omega {)}_v={\partial }_{\mu }{\omega }_v-{\Gamma }_{\mu v}^{\lambda }{\omega }_{\lambda }.\text{\hspace{1em}(7.24)}$$

对于 $\omega =\mathrm{d}{x}^{\nu }$，我们得到（参见 (7.14)）

$${\nabla }_{\mu }\mathrm{d}{x}^{\nu }=-{\Gamma }_{\mu \lambda }^{\nu }\mathrm{d}{x}^{\lambda }.\text{\hspace{1em}(7.25)}$$

这些结果很容易推广为

$$\begin{array}{rl}& {\nabla }_{\nu }{t}_{{\mu }_1\dots {\mu }_q}^{{\lambda }_1\dots {\lambda }_p}={\partial }_{\nu }{t}_{{\mu }_1\dots {\mu }_q}^{{\lambda }_1\dots {\lambda }_p}+{\Gamma }_{\nu \kappa }^{{\lambda }_1}{t}_{{\mu }_1\dots {\mu }_q}^{\kappa {\lambda }_2\dots {\lambda }_p}+\dots \\ & +{\Gamma }_{\nu \kappa }^{{\lambda }_p}{t}_{{\mu }_1\dots {\mu }_q}^{{\lambda }_1\dots {\lambda }_{p-1}\kappa }-{\Gamma }_{\nu {\mu }_1}^{\kappa }{t}_{\kappa {\mu }_2\dots {\mu }_q}^{{\lambda }_1\dots {\lambda }_p}-\dots \\ & -{\Gamma }_{v{\mu }_q}^{\kappa }{t}_{{\mu }_1\dots {\mu }_{q-1}\kappa }^{{\lambda }_1\dots {\lambda }_p}.\end{array}\text{\hspace{1em}(7.26)}$$

练习 7.4

设 $g$ 为度量张量，验证

$$({\nabla }_{v}g{)}_{\lambda \mu }={\partial }_v{g}_{\lambda \mu }-{\Gamma }_{v\lambda }^{\kappa }{g}_{\kappa \mu }-{\Gamma }_{v\mu }^{\kappa }{g}_{\lambda \kappa }.\text{\hspace{1em}(7.27)}$$

7.2.5 联络系数的变换性质

再引入另一个坐标卡 $(V,\psi )$，使得 $U\cap V\ne \varnothing$，其坐标为 $y=\psi (p)$。设 $\{e_{\mu }\}=\{\partial /\partial x^{\mu }\}$ 与 $\{f_{\alpha }\}=\{\partial /\partial y^{\alpha }\}$ 分别为相应坐标的基。将关于 $y$ 坐标的联络系数记为 ${\tilde{\Gamma }}_{\beta \gamma }^{\alpha }$。则基向量 $f_{\alpha }$ 满足

$${\nabla }_{f_{\alpha }}{f}_{\beta }={\tilde{\Gamma }}_{\alpha \beta }^{\gamma }{f}_{\gamma }.\text{\hspace{1em}(7.28)}$$

若写出 $f_{\alpha }=(\partial x^{\mu }/\partial y^{\alpha })e_{\mu }$，则左端成为

$$\begin{array}{rl}{\nabla }_{f_{\alpha }}{f}_{\beta }& ={\nabla }_{f_{\alpha }}\left(\frac{\partial x^{\mu }}{\partial y^{\beta }}{e}_{\mu }\right)=\frac{{\partial }^2{x}^{\mu }}{\partial y^{\alpha }\partial y^{\beta }}{e}_{\mu }+\frac{\partial x^{\lambda }}{\partial y^{\alpha }}\frac{\partial x^{\mu }}{\partial y^{\beta }}{\nabla }_{e_{\lambda }}{e}_{\mu }\\ & =\left(\frac{{\partial }^2{x}^{\nu }}{\partial y^{\alpha }\partial y^{\beta }}+\frac{\partial x^{\lambda }}{\partial y^{\alpha }}\frac{\partial x^{\mu }}{\partial y^{\beta }}{\Gamma }_{\lambda \mu }^{\nu }\right)e_{\nu }.\end{array}$$

由于(7.28)的右端等于 ${\tilde{\Gamma }}_{\alpha \beta }^{\gamma }(\partial x^{\nu }/\partial y^{\gamma })e_{\nu }$，联络系数必定按如下方式变换：

$${\tilde{\Gamma }}_{\alpha \beta }^{\gamma }=\frac{\partial x^{\lambda }}{\partial y^{\alpha }}\frac{\partial x^{\mu }}{\partial y^{\beta }}\frac{\partial y^{\gamma }}{\partial x^{\nu }}{\Gamma }_{\lambda \mu }^{\nu }+\frac{{\partial }^2{x}^{\nu }}{\partial y^{\alpha }\partial y^{\beta }}\frac{\partial y^{\gamma }}{\partial x^{\nu }}.\text{\hspace{1em}(7.29)}$$

读者应当验证：这一变换规则确实使 ${\nabla }_{X}Y$ 成为向量，即

$${\tilde{X}}^{\alpha }\left({\tilde{\partial }}_{\alpha }{\tilde{Y}}^{\gamma }+{\tilde{\Gamma }}_{\alpha \beta }^{\gamma }{\tilde{Y}}^{\beta }\right)f_{\gamma }=X^{\lambda }\left({\partial }_{\lambda }{Y}^{\nu }+{\Gamma }_{\lambda \mu }^{\nu }{Y}^{\nu }\right)e_{\nu }.$$

在文献中，联络系数常常被定义为按(7.29)变换的对象。然而，从我们的观点看，它们必须按(7.29)变换，才能使 ${\nabla }_{X}Y$ 与所选的坐标无关。

练习 7.5

设 $\Gamma$ 为任意一个联络系数。证明：只要 $t_{\mu \nu }^{\lambda }$ 是张量场，则 ${\Gamma }_{\mu \nu }^{\lambda }+t_{\mu \nu }^{\lambda }$ 也是另一个联络系数。反之，设 ${\Gamma }_{\mu \nu }^{\lambda }$ 与 ${\bar{\Gamma }}_{\mu \nu }^{\lambda }$ 都是联络系数，证明 ${\Gamma }_{\mu \nu }^{\lambda }-{\bar{\Gamma }}_{\mu \nu }^{\lambda }$ 是某个 (1, 2) 型张量的分量。

7.2.6 度量联络

至此，我们一直让 $\Gamma$ 保持任意。既然现在流形上已配有度量，我们就可以对联络可能取的形式施加合理的限制。我们要求度量 $g_{\mu \nu }$ 是协变常数的，也就是说，若两个向量 $X$ 与 $Y$ 沿任意曲线作平行移动，则它们之间的内积在平行移动下保持不变。[在例 7.1中，我们已经假定了这一合理条件。]设 $V$ 为任意一条曲线上的切向量，而向量正是沿这条曲线作平行移动的。于是有

$$\begin{array}{rl}0& ={\nabla }_V[g(X,Y)]=V^K[({\nabla }_{\kappa }g)(X,Y)+g({\nabla }_{\kappa }X,Y)+g(X,{\nabla }_{\kappa }Y)]\\ & =V^{\kappa }{X}^{\mu }{Y}^{\nu }({\nabla }_{\kappa }g{)}_{\mu \nu }\end{array}$$

这里我们已注意到 ${\nabla }_{\kappa }X={\nabla }_{\kappa }Y=0$。由于这对任意曲线和任意向量都成立，所以必有

$$({\nabla }_{\kappa }g{)}_{\mu \nu }=0\text{\hspace{1em}(7.30a)}$$

或者，由练习 7.4可得，

$${\partial }_{\lambda }{g}_{\mu \nu }-{\Gamma }_{\lambda \mu }^{\kappa }{g}_{\kappa \nu }-{\Gamma }_{\lambda \nu }^{\kappa }{g}_{\kappa \mu }=0.\text{\hspace{1em}(7.30b)}$$

若 (7.30a) 得到满足，则称仿射联络 $\nabla$ 是度量相容的，或简称为度量联络(metric connection)。我们只讨论度量联络。对 $(\lambda ,\mu ,\nu )$ 作循环置换可得

$$\begin{array}{rl}& {\partial }_{\mu }{g}_{v\lambda }-{\Gamma }_{\mu v}^{\kappa }{g}_{\kappa \lambda }-{\Gamma }_{\mu \lambda }^{\kappa }{g}_{\kappa v}=0(7.30c)\\ & {\partial }_{\nu }{g}_{\lambda \mu }-{\Gamma }_{v\lambda }^{\kappa }{g}_{\kappa \mu }-{\Gamma }_{v\mu }^{\kappa }{g}_{\kappa \lambda }=0.(7.30d)\end{array}$$

将 $-(7.30\mathrm{b})+(7.30\mathrm{c})+(7.30\mathrm{d})$ 组合起来，可得

$$-{\partial }_{\lambda }{g}_{\mu v}+{\partial }_{\mu }{g}_{\nu \lambda }+{\partial }_v{g}_{\lambda \mu }+T_{\lambda \mu }^{\kappa }{g}_{\kappa v}+T_{\lambda v}^{\kappa }{g}_{\kappa \mu }-2{\Gamma }_{(\mu v)g_{\kappa \lambda }}^{\kappa }=0\text{\hspace{1em}(7.31)}$$

其中 $T_{\lambda \mu }^{\kappa }\equiv 2{\Gamma }_{[\lambda \mu ]}^{\kappa }\equiv {\Gamma }_{\lambda \mu }^{\kappa }-{\Gamma }_{\mu \lambda }^{\kappa }$，而 ${\Gamma }_{(\mu \nu )}^{\kappa }\equiv \frac{1}{2}({\Gamma }_{\nu \mu }^{\kappa }+{\Gamma }_{\mu \nu }^{\kappa })$。张量 $T_{\lambda \mu }^{\kappa }$ 关于下指标反对称，即 $T_{\lambda \mu }^{\kappa }=-T_{\mu \lambda }^{\kappa }$，称为挠率张量(torsion tensor)，见练习 7.6。挠率张量将在下一节中详细研究。由式 (7.31)解出 ${\Gamma }_{(\mu \nu )}^{\kappa }$，可得

$${\Gamma }_{(\mu \nu )}^{\kappa }=\left\{\begin{array}{l}\kappa \\ \mu \nu \end{array}\right\}+\frac{1}{2}\left(T_{\nu }{}^{\kappa }{}_{\mu }+T_{\mu }{}^{\kappa }{}_{\nu }\right)\text{\hspace{1em}(7.32)}$$

其中 $\{{\kappa }_{\mu \nu }\}$ 是由下式定义的克里斯托费尔符号

$$\left\{\begin{array}{c}\kappa \\ \mu v\end{array}\right\}=\frac{1}{2}{g}^{\kappa \lambda }\left({\partial }_{\mu }{g}_{v\lambda }+{\partial }_v{g}_{\mu \lambda }-{\partial }_{\lambda }{g}_{\mu v}\right).\text{\hspace{1em}(7.33)}$$

最后，联络系数 $\Gamma$ 由下式给出

$$\begin{array}{rl}{\Gamma }_{\mu \nu }^{\kappa }& ={\Gamma }_{(\mu \nu )}^{\kappa }+{\Gamma }_{[\mu \nu ]}^{\kappa }\\ & =\left\{\begin{array}{l}\kappa \\ \mu v\end{array}\right\}+\frac{1}{2}\left(T_v{}^{\kappa }{}_{\mu }+T_{\mu }{}^{\kappa }{}_v+T_{\mu v}^{\kappa }\right).\end{array}\text{\hspace{1em}(7.34)}$$

(7.34) 最后一个表达式中的第二项称为余挠张量(contorsion tensor)，记作 $K_{\mu \nu }^{\kappa }$：

$$K_{\mu \nu }^{\kappa }\equiv \frac{1}{2}\left(T_{\mu \nu }^{\kappa }+T_{\mu \nu }^{\kappa }+T_{\nu \mu }^{\kappa }\right).\text{\hspace{1em}(7.35)}$$

若流形 $M$ 上的挠率张量为零，则度量联络 $\nabla$ 称为列维-奇维塔联络。列维-奇维塔联络是经典曲面几何中所定义的联络的自然推广，见7.4 节。

练习 7.6

证明 $T_{\mu \nu }^{\kappa }$ 满足张量变换律。[提示：利用 (7.29)。] 再证明 $K_{[\mu \nu ]}^{\kappa }=\frac{1}{2}{T}_{\mu \nu }^{\kappa }$ 以及 $K_{\kappa \mu \nu }=-K_{\nu \mu \kappa }$，其中 $K_{\kappa \mu \nu }=g_{\kappa \lambda }{K}_{\mu \nu }^{\lambda }$。

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