9.2 相对论运动学

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特殊的洛伦兹变换

我们不时会用到特定类型的洛伦兹变换。以下两个例子给出了最常用的类型。

例 9.1

保时洛伦兹变换满足$t^{\prime }=t$，或等价地满足$x^{\prime 4}=x^4$。此类变换有$L_4^4=1,L_i^4=0\mathrm{for}i=1,2,3$，并且在式（9.4）中代入$\rho =\sigma =4$得到

$$\sum _{i^{\prime }=1}^3{\left(L_4^{i^{\prime }}\right)}^2-{\left(L_4^4\right)}^2=-1⟹\sum _{i^{\prime }=1}^3(L_4^{i^{\prime }}{)}^2=0.$$

这只能当 $L_4^{i^{\prime }}=0$ 对 $i^{\prime }=1$、2、3 成立时才成立。因此

$$\mathsf{L}=[L_{\nu }^{{\mu }^{\prime }}]=\left(\begin{array}{cccc}& & & 0\\ & [a_{ij}]& & 0\\ & & & 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right)(i,j,\cdots =1,2,3)\text{\hspace{1em}(9.8)}$$

其中 $\mathsf{A}=[a_{ij}]$ 是一个正交 $3\times 3$ 矩阵，${\mathsf{A}}^T\mathsf{A}=\mathsf{I}$，这由将 $L$ 代入方程 (9.5) 得到。如果 $\det$ $\mathsf{L}=\det \mathsf{A}=+1$，这些变换是空间旋转；而如果 $\det$ $\mathsf{A}=$ 1，它们则是空间反射。

例 9.2

使$y$和$z$坐标保持不变的洛伦兹变换具有以下形式

$$\mathsf{L}=[L_{\nu }^{{\mu }^{\prime }}]=\left(\begin{array}{cccc}{L}_1^1& 0& 0& L_4^1\\ 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0\\ L_1^4& 0& 0& L_4^4\end{array}\right).$$

代入式（9.4）得

$$L_1^1{L}_1^1-L_1^4{L}_1^4=g_{11}=1,\text{\hspace{1em}(9.9)}$$

$$L_1^1{L}_4^1-L_1^4{L}_4^4=g_{14}=g_{41}=0,\text{\hspace{1em}(9.10)}$$

$$L_4^1{L}_4^1-L_4^4{L}_4^4=g_{44}=-1.\text{\hspace{1em}(9.11)}$$

由式 (9.11)，我们有 $\begin{array}{r}(L_4^4{)}^2=1+{\sum }_{i=1}^3(L_4^i{)}^2\ge 1\end{array}$，并且假设 $L_4^4\ge 1$，则可以对某个实数 $\alpha .$ 设 $L_4^4=\cosh \alpha$。于是，选取具有适当符号的 $\alpha$ 时，$L_4^1=\pm \sqrt{{\cosh }^2\alpha -1}=$ $\sinh$ $\alpha$。类似地，式 (9.9) 蕴含 $L_1^1=\cosh \beta ,L_1^4=\sinh \beta$，而式 (9.10) 给出

$$0=\sinh \alpha \cosh \beta -\cosh \alpha \sinh \beta =\sinh (\alpha -\beta )⟹\alpha =\beta .$$

设 $v$ 为由下式定义的唯一实数

$$\tanh \alpha =-\frac{v}{c},$$

于是三角恒等式给出 $|v|<c$ 以及

$$\cosh \alpha =\gamma ,\sinh \alpha =-\gamma \frac{v}{c}$$

其中

$$\gamma =\frac{1}{\sqrt{1-v^2/c^2}}.\text{\hspace{1em}(9.12)}$$

所得的洛伦兹变换具有形式

$$\mathsf{L}=[L_v^{{\mu }^{\prime }}]=\left(\begin{array}{cccc}\gamma & 0& 0& -\gamma \frac{v}{c}\\ 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0\\ -\gamma \frac{v}{c}& 0& 0& \gamma \end{array}\right),\text{\hspace{1em}(9.13)}$$

并称为沿$x$方向以速度$v$进行的推动变换(boost)。在$x$、$y$、$z$、$t$坐标中明确写出，它们为

$$x^{\prime }=\gamma (x-vt),y^{\prime }=y,z^{\prime }=z,t^{\prime }=\gamma \left(t-\frac{v}{c^2}x\right).\text{\hspace{1em}(9.14)}$$

通过将 $v$ 替换为 $v$，得到逆变换

$$x=\gamma (x^{\prime }+v{t}^{\prime }),y=y^{\prime },z=z^{\prime },t=\gamma \left(t^{\prime }+\frac{v}{c^2}{x}^{\prime }\right).\text{\hspace{1em}(9.15)}$$

参数 $v$ 起着两个参考系之间相对速度的作用，因为带撇参考系中的空间原点 $(x^{\prime }=0,y^{\prime }=0,z^{\prime }=0)$ 在无撇参考系中满足方程 $x=vt$。由于相对速度 $v$ 必须始终小于 $c$，我们得到第一个迹象：根据相对论，光速 $c$ 是实物粒子的极限速度。

随文练习

验证依次进行两个速度分别为 $v_1$ 和 $v_2$、沿 $x-$ 方向的洛伦兹变换，等价于一个速度为

$$v=\frac{v_1+v_2}{1+v_1{v}_2/c^2}.$$

时间、长度和速度的相对性

两个事件 $p=(x_1,y_1,z_1,c{t}_1)$ 与 $q=(x_2,y_2,z_2,c{t}_2)$ 称为相对于惯性系 $K$ 同时，如果 $\Delta t=t_2-t_1=0$ 。考虑第二个参考系 $K^{\prime }$ 通过推动变换与 $K$ 相联系，即式 (9.14)。这些方程是线性的，因此适用于坐标差，

$$\Delta x^{\prime }=\gamma (\Delta x-v\Delta t),\Delta t^{\prime }=\gamma (\Delta t-\frac{v}{c^2}\Delta x).$$

因此，

$$\Delta t=0⟹\Delta t^{\prime }=-\gamma \frac{v}{c^2}\Delta x\ne 0\text{ if }{x}_1\ne x_2,$$

演示了被称为同时性的相对性(relativity of simultaneity)的效应：空间上分离的点之间的同时性并非绝对概念。

现在考虑一个在$K^{\prime }$中静止的时钟，它在事件$(x^{\prime },y^{\prime },z^{\prime },c{t}_1^{\prime })$和$(x^{\prime },y^{\prime },z^{\prime },c{t}_2^{\prime })$处依次标记出相继的“滴答”。根据$K$，时间差由式(9.15)给出，

$$\Delta t=\gamma \left(\Delta t^{\prime }+\frac{v}{c^2}\Delta x^{\prime }\right)=\gamma \Delta t^{\prime }\text{ if }\Delta x^{\prime }=0.$$

也就是说，

$$\Delta t=\frac{\Delta t^{\prime }}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}\ge \Delta t^{\prime },\text{\hspace{1em}(9.16)}$$

一种被称为时间膨胀(time dilatation)的效应——运动的时钟似乎变慢了。等价地，根据运动的观察者$K^{\prime }$，$K$中的静止时钟似乎走慢了。

现在考虑一根在 $K$ 中静止的长度为 $\ell =\Delta x$ 的杆。再次使用逆推动变换式 (9.15)，我们有

$$\ell =\Delta x=\gamma (\Delta x^{\prime }+v\Delta t^{\prime })=\gamma \Delta x^{\prime }\mathrm{if}\Delta t^{\prime }=0.$$

杆相对于 $K^{\prime }$ 的长度通过考虑端点处的同时时刻 $t_1^{\prime }=t_2^{\prime }$ 来确定，

$${\ell }^{\prime }=\Delta x^{\prime }=\frac{\ell }{\gamma }=\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}\ell \le \ell .\text{\hspace{1em}(9.17)}$$

对这一结果的通常解释是：当由运动观察者观察时，杆的长度会发生收缩，这一效应称为洛伦兹–菲茨杰拉德收缩(Lorentz–Fitzgerald contraction)。通过交换$K$与$K^{\prime }$的角色，同样可以发现，运动的杆在其运动方向上发生收缩。这一效应的关键在于，根据同时性的相对性，杆两端历史中相对于$K^{\prime }$同时的事件对，与参考系$K.$中的同时事件对不同。由于在垂直于运动的方向上没有收缩，运动的体积$V$将发生收缩

$$V^{\prime }=\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}V.\text{\hspace{1em}(9.18)}$$

这是洛伦兹–菲茨杰拉德收缩最有用的应用。

随文练习

给出上述论证的逆论证；即相对于运动观察者，静止的钟走得慢，以及运动的杆显得收缩。

设一粒子相对于$K$的速度为$\mathbf{u}=(u_x,u_y,u_z)$，相对于$K^{\prime }$的速度为${\mathbf{u}}^{\prime }=(u_x^{\prime },u_y^{\prime },u_z^{\prime })$。设定

$$u_x=\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t},u_x^{\prime }=\frac{\mathrm{d}{x}^{\prime }}{\mathrm{d}{t}^{\prime }},u_y=\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t},\text{ etc. }$$

并利用洛伦兹变换式（9.14），我们有

$$u_x^{\prime }=\frac{u_x-v}{1-u_{x}v/c^2},u_y^{\prime }=\frac{u_y}{\gamma (1-u_{x}v/c^2)},u_z^{\prime }=\frac{u_z}{\gamma (1-u_{x}v/c^2)}.\text{\hspace{1em}(9.19)}$$

与本章开头的牛顿力学讨论相比较，自然可以将其称为速度的相对论变换定律。类似地，在使用

由逆洛伦兹变换式 (9.15)，我们得到相对论速度相加定律：

$$u_x=\frac{u_x^{\prime }+v}{1+u_x^{\prime }v/c^2},u_y=\frac{u_y^{\prime }}{\gamma (1+u_x^{\prime }v/c^2)},u_z=\frac{u_z^{\prime }}{\gamma (1+u_x^{\prime }v/c^2)}.\text{\hspace{1em}(9.20)}$$

由式 (9.19) 将 $v$ 替换为 $v$ 并交换带撇与不带撇的速度，也可得到相同结果。

对于在 $x-y$ 平面内运动的粒子，设 $u_x=u$ $\cos$ $\theta$，$u_y=u$ $\sin$ $\theta ,u_z=0$ 以及 $u_x^{\prime }=u^{\prime }$ $\cos$ ${\theta }^{\prime },u_{\nu }^{\prime }=u^{\prime }$ $\sin$ $\theta$，$u_z^{\prime }=0$。若 $u^{\prime }=c$，则由式 (9.20) 可得 $u=c,$，并且光速与观察者的运动无关，正如爱因斯坦相对性原理所要求的那样。式 (9.20) 的第二个方程给出了 $\theta$ 与 ${\theta }^{\prime }$ 之间的关系，即光束分别与 $x$ 方向和 $x^{\prime }.$ 方向所张的角：

$$\sin \theta =\frac{\sin {\theta }^{\prime }}{1+(v/c)\cos {\theta }^{\prime }}\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}.\text{\hspace{1em}(9.21)}$$

该公式称为相对论光行差(relativistic aberration of light)。若$\frac{v}{c}\ll 1$，则

$$\delta \theta =\theta -{\theta }^{\prime }\approx -\frac{v}{c}\sin {\theta }^{\prime },$$

一个关于光行差的牛顿公式，它直接由速度的三角形加法定律得出，并在近300年前被天文学家布拉德利用来估计光速。

习题

习题 9.5

由速度变换定律，式（9.19），证明光在任意方向上的速度在推动变换下不变。

习题 9.6

若两条相交光束在某一参考系 $K$ 中似乎成非零角 $\varphi$，证明总存在一个参考系 $K^{\prime }$，其相对于 $K$ 的运动位于两光束所在平面内，使得这两条光束似乎沿相反方向传播。

习题 9.7

一个光源在其自身静止系中向各个方向均匀地发射光子。

(a) 若源相对于惯性系 $K,$ 以速度 $v$ 运动，证明“前灯效应”：似乎有一半光子被发射在一个前向锥内，其余半角由 $\cos$ $\theta =v/c$ 给出

(b) 在《星球大战》类型的影片中，当火箭加速接近光速时，通常可以看到星场向后掠过火箭。这样的火箭驾驶员在他速度 $vc?$ 时实际会看到什么？

习题 9.8

若两个独立事件在某个惯性系 $S,$ 中同时发生，证明：在其余参照系中，赋予这些事件的时间间隔没有极限，但它们的空间间隔从无穷大变化到一个在 $S$ 中测得的最小值。观察者必须以多大速度运动，才能使在 $a$ 10 米房间两端同时发生的两个事件在时间上相差 100 年？

习题 9.9

观测到仙女座星系上的一颗超新星爆发，当时它位于西方地平线上。观测者$A$和$B$正彼此走过，$A$以5 $\mathrm{km}$/$h$向东行走，$B$以5 $\mathrm{km}$/$h$向西行走。已知仙女座距离约为一百万光年，计算$A$和$B$赋予该超新星事件的时间差。谁说它发生得更早？

习题 9.10

地球上的双胞胎$A$与以速度$\frac{1}{2}c$乘火箭远离他的双胞胎$B$，在他们共同的生日正午分开。他们决定在$B$离开整整四年后各自吹灭蜡烛。

(a) $B$ 的时间中，哪个时刻对应于由 $A$ 吹灭蜡烛所构成的事件 $P$？又 $A$ 的时间中，哪个时刻对应于由 $B$ 吹灭蜡烛所构成的事件 $\varrho$？

(b) 根据发生较早的 $A$，是 $P$ 还是 $Q$？而根据 $B$ 呢？

(c) $A$ 要等多久才能看到他双胞胎姐妹吹灭她的蜡烛？