9.4 电动力学

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四维张量场

一个类型为 $(r,s)$ 的四维张量场由一个映射 $T:M{V}^{(r,s)}$ 组成。我们可以将其视为在时空的每一点处赋予的一个四维张量。四维张量场的分量是时空坐标的函数

$$T_{\rho \sigma \dots }^{\mu \nu \dots }=T_{\rho \sigma \dots }^{\mu \nu \dots }(x^{\alpha }).$$

定义四维张量场 $T$ 的梯度为类型 $(r,s+1)$ 的四维张量场，其分量为

$$T_{\rho \sigma \dots ,\tau }^{\mu \nu \dots }=\frac{\partial }{\partial x^{\tau }}{T}_{\rho \sigma \dots }^{\mu \nu \dots }.$$

这是一个四维张量场，因为庞加莱变换式（9.7）诱导出变换

$$\begin{array}{rl}& T_{{\rho }^{\prime },\dots ,{\tau }^{\prime }}^{{\mu }^{\prime }\dots }=\frac{\partial }{\partial x^{\prime {\tau }^{\prime }}}(T_{\beta \dots }^{\alpha \dots }{L}_{\alpha }^{{\mu }^{\prime }}\dots L_{{\rho }^{\prime }}^{\prime \beta }\dots )\\ & =\frac{\partial x^{\gamma }}{\partial x^{\prime {\tau }^{\prime }}}\frac{\partial }{\partial x^{\gamma }}(T_{\beta \dots }^{\alpha \dots }{L}_{\alpha }^{{\mu }^{\prime }}\dots L_{{\rho }^{\prime }}^{\prime \beta }\dots )\\ & =T_{\beta ,\dots ,\gamma }^{\alpha \dots }{L}_{{\tau }^{\prime }}^{\prime \gamma }{L}_{\alpha }^{{\mu }^{\prime }}\dots L_{{\rho }^{\prime }}^{\prime \beta }\dots \end{array}$$

例如，如果$f:M\to \mathbb{R}$是一个标量场，那么它的梯度就是一个四维余向量场，

$$f_{,\mu }=\frac{\partial f(x^{\alpha })}{\partial x^{\mu }}.$$

例 9.3

一个4-向量场，$J=J^{\mu }(x^{\alpha })e_{\mu },$，若满足以下条件则称为无散度的：

$$J_{,\mu }^{\mu }=0.$$

设定 $j_i=J^i(i=1,2,3)$ 和 $\rho =\frac{1}{c}{J}^4$，无散度条件可表示为

$$\frac{\partial \rho }{\partial t}+\nabla \cdot \mathbf{j}=0,\text{\hspace{1em}(9.36)}$$

在流体力学和电磁学中均称为连续性方程。将$\rho$解释为电荷密度或单位体积电荷，$j$为电流密度。单位时间内穿过垂直于单位向量$n$的单位面积的电荷由$jn$给出。方程（9.36）意味着电荷守恒——体积内电荷的增加率等于通过边界面进入的电荷通量：

$$\frac{\mathrm{d}q}{\mathrm{d}t}={\int }_{\mathcal{V}}\frac{\partial \rho }{\partial t}\mathrm{d}V=-{\int }_{\mathcal{V}}\nabla \cdot \mathbf{j}\mathrm{d}V=-{\int }_{\mathcal{S}}\mathbf{j}\cdot \mathrm{d}\mathbf{S}.$$

电磁学

如同例 9.3 中那样，设闵可夫斯基时空中存在连续的电荷分布，其电荷密度为 $\rho (\mathbf{r},t)$，电荷通量密度或电流密度为 $\mathbf{j}=\rho \mathbf{v},$，其中 $\mathbf{v}(\mathbf{r},t)$ 是流体的速度场。系统的总电荷是标量——否则未电离气体一般不会电中性。在流体于任一事件 $p$ 处的局部瞬时静止系中，电荷密度记为 ${\rho }_0(p)$，称为 固有电荷密度(proper charge density)。可以假定它是标量，因为它是相对于 $p.$ 处的特定惯性系定义的。另一方面，电荷密度 $\rho$ 由下式给出

$$\rho =\underset{\Delta V\to 0}{\lim }\frac{\Delta q}{\Delta V}$$

其中，根据长度—体积缩并效应式 (9.18)，

$$\Delta V=\frac{1}{\gamma }\Delta V_0.$$

由于电荷是标量，$\Delta q=\Delta q_0$，电荷密度与固有电荷密度之间的关系为

$$\rho =\underset{\Delta V_0\to 0}{\lim }\frac{\Delta q_0}{V_0/\gamma }=\gamma {\rho }_0.$$

若带电流体具有四维速度场 $V=V^{\mu }(x^{\alpha })e_{\mu }$，则定义 四维电流(4-current) $J$ 为具有分量的四维向量场

$$J^{\mu }={\rho }_0{V}^{\mu }.$$

由$Eq.$。将9.24式与上述内容结合，我们有

$$J^{\mu }=(\mathbf{j},\rho c),$$

而由例9.3，电荷守恒等价于要求四维电流无散度，

$$J_{,\mu }^{\mu }=0⟺\nabla \cdot \mathbf{j}+\frac{\partial \rho }{\partial t}=0.$$

在电动力学中，给定一个四维电流场 $J=J^{\mu }{e}_{\mu }$，表示所存在电荷的电荷密度与电流，也称为源场；并给定一个反对称四维张量场 $\mathcal{F}=F_{\mu \nu }(x^{\alpha }){\epsilon }^{\mu }\otimes {\epsilon }^{\nu }$，使得 $F_{\mu \nu }=-F_{\nu \mu }$，称为 电磁场(electromagnetic field)，满足麦克斯韦方程组：

$$F_{\mu \nu ,\rho }+F_{\nu \rho ,\mu }+F_{\rho \mu ,\nu }=0,\text{\hspace{1em}(9.37)}$$

$$F_{,\nu }^{\mu \nu }=\frac{4\pi }{c}{J}^{\mu },\text{\hspace{1em}(9.38)}$$

其中 $F^{\mu \nu }=g^{\mu \alpha }{g}^{\nu \beta }{F}_{\alpha \beta }$ 。此处采用的单位是高斯单位制，它便于对该主题进行形式化表述。

第一组方程 式 (9.37) 称为无源麦克斯韦方程组，而第二组方程 式 (9.38) 则将电磁场与源联系起来。通常会给电磁场张量的分量赋予显式的符号

$$F_{\mu \nu }=\left(\begin{array}{cccc}0& B_3& -B_2& E_1\\ -B_3& 0& B_1& E_2\\ B_2& -B_1& 0& E_3\\ -E_1& -E_2& -E_3& 0\end{array}\right),\text{ i.e. set }{F}_{12}=B_3,\text{ etc. }\text{\hspace{1em}(9.39)}$$

3-向量场$\mathbf{E}=(E_1,E_2,E_3)$和$\mathbf{B}=(B_1,B_2,B_3)$分别称为电场和磁场。无源麦克斯韦方程组式(9.37)仅当三个指标$\mu ,\nu$和$\rho$均不相等时才给出非平凡方程，从而给出四个独立方程

$$(\mu ,\nu ,\rho )=(1,2,3)⟹\nabla .\mathbf{B}=0,\text{\hspace{1em}(9.40)}$$

$$(\mu ,\nu ,\rho )=(2,3,4),\text{ etc. }⟹\nabla \times \mathbf{E}+\frac{1}{c}\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}=0.\text{\hspace{1em}(9.41)}$$

第二组麦克斯韦方程组，即式 (9.38)，蕴含电荷守恒，因为对易偏导数并利用 $F^{\mu \nu }$ 的反对称性，我们有

$$J_{,\mu }^{\mu }=\frac{c}{4\pi }{F}_{,\nu \mu }^{\mu \nu }=\frac{c}{8\pi }(F^{\mu \nu }-F^{\nu \mu }{)}_{,\mu \nu }=0.$$

利用$F_{i4}=-F_{4i}=E_i$和$F_{ij}={ϵ}_{ijk}{B}_k$，方程式 (9.38)化为麦克斯韦方程的向量形式

$$\nabla \cdot \mathbf{E}=4\pi \rho ,\text{\hspace{1em}(9.42)}$$

$$-\frac{1}{c}\frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}+\nabla \times \mathbf{B}=\frac{4\pi }{c}\mathbf{j}.\text{\hspace{1em}(9.43)}$$

随文练习

展示式 (9.42) 和式 (9.43)。

本质上，可以从一个电磁场构造出两个独立的不变量，

$$F_{\mu \nu }{F}^{\mu \nu }\text{ and }\ast F_{\mu \nu }{F}^{\mu \nu }$$

其中对偶电磁张量 $F_{\mu \nu }$ 在例 8.8 中给出。代入电场和磁场的分量，我们得到

$$F_{\mu \nu }{F}^{\mu \nu }=2({\mathbf{B}}^2-{\mathbf{E}}^2)\mathrm{and}\ast F_{\mu \nu }{F}^{\mu \nu }=-4\mathbf{E}\cdot \mathbf{B}.\text{\hspace{1em}(9.44)}$$

随文练习

证明无源麦克斯韦方程组式 (9.37) 可以写成对偶形式

$$\ast F_{,\nu }^{\mu \nu }=0.$$

带电粒子的运动方程，电荷为$q_{:}$，由洛伦兹力方程给出

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\tau }{P}_{\mu }=\frac{q}{c}{F}_{\mu \nu }{V}^{\nu }=F_{\mu }\text{\hspace{1em}(9.45)}$$

其中四维动量 $P_{\mu }$ 的分量为 $(\mathbf{p},\nabla -\mathcal{E}/c)$。这里将能量写作 $\mathcal{E}$，以免与电场量值发生混淆。利用式 (9.34) 求四维力 $F_{\mu }$ 的分量，我们得到

$$\mathbf{f}=\frac{\mathrm{d}\mathbf{p}}{\mathrm{d}t}=q\left(\mathbf{E}+\frac{1}{c}\mathbf{v}\times \mathbf{B}\right)\text{\hspace{1em}(9.46)}$$

并对该方程取 $v$，便得到能量方程（见习题 9.16）

$$\frac{\mathrm{d}\mathcal{E}}{\mathrm{d}t}=\mathbf{f}\cdot \mathbf{v}=q\mathbf{E}\cdot \mathbf{v}.$$

势与规范变换

无源方程 式 (9.37) 成立，当且仅当在任一事件的邻域内存在一个四维余向量场 $A_{\mu }(x^{\alpha })$，称为 四维势(4-potential)，使得

$$F_{\mu \nu }=A_{\nu ,\mu }-A_{\mu ,\nu }.\text{\hspace{1em}(9.47)}$$

本陈述中的“如果”部分很简单，因为方程 (9.47) 在偏导数可交换的条件下意味着，

$$F_{\mu \nu ,\rho }+F_{\nu \rho ,\mu }+F_{\rho \mu ,\nu }=A_{\nu ,\mu \rho }-A_{\mu ,\nu \rho }+A_{\rho ,\nu \mu }-A_{\nu ,\rho \mu }+A_{\mu ,\rho \nu }-A_{\rho ,\mu \nu }=0.$$

其逆命题将推迟到第17章定理17.5。

随文练习

令 $A_{\mu }=(A_1,A_2,A_3,-\varphi )=(\mathbf{A},-\varphi )$，证明式 (9.47) 可表示为

$$\mathbf{B}=\nabla \times \mathbf{A},\mathbf{E}=-\nabla \varphi -\frac{1}{c}\frac{\partial \mathbf{A}}{\partial t}.\text{\hspace{1em}(9.48)}$$

$A$ 称为 矢势(vector potential)，而 $\varphi$ 称为 标势(scalar potential)。

若电磁场的四维矢势通过加上一个标量场$\psi$的梯度而改变

$${\tilde{A}}_{\mu }=A_{\mu }+{\psi }_{,\mu }\text{\hspace{1em}(9.49)}$$

于是电磁张量$F_{\mu \nu }$保持不变

$${\tilde{F}}_{\mu \nu }={\tilde{A}}_{\nu ,\mu }-{\tilde{A}}_{\mu ,\nu }=A_{\nu ,\mu }+{\psi }_{,\nu \mu }-A_{\mu ,\nu }-{\psi }_{,\mu \nu }=F_{\mu \nu }.$$

对电磁场没有影响的变换式(9.49)称为规范变换(gauge transformation)。

随文练习

将规范变换式 (9.49) 用向量势和标势表示，

$$\tilde{\mathbf{A}}=\mathbf{A}+\nabla \psi ,\tilde{\varphi }=\varphi -\frac{1}{c}\frac{\partial \psi }{\partial t},$$

并验证由式（9.48）给出的$E$和$B$在这些变换下保持不变。

在规范变换下，$A^{\mu }$ 的散度变换为

$${\tilde{A}}_{,\mu }^{\mu }=A_{,\mu }^{\mu }+\square \psi$$

其中

$$\square \psi ={\psi }_{\mu }^{,\mu }=g^{\mu \nu }{\psi }_{,\mu \nu }={\nabla }^2\psi -\frac{1}{c^2}\frac{{\partial }^2\psi }{\partial t^2}.$$

算符$\square$称为波算子(wave operator)或达朗贝尔算子(d’Alembertian)。若我们选取$\psi$为非齐次波动方程的任意解

$$\square \psi =-A_{,\mu }^{\mu }\text{\hspace{1em}(9.50)}$$

于是 ${\tilde{\mathbf{A}}}^{\mu }{}_{,\mu }=0$。忽略 $A$ 上的波浪号，任何满足下式的四维势 $A^{\mu }$ 的选择

$$A_{,\mu }^{\mu }=\nabla \cdot \mathbf{A}+\frac{1}{c}\frac{\partial \varphi }{\partial t}=0\text{\hspace{1em}(9.51)}$$

称为洛伦兹规范(Lorentz gauge)。由于非齐次波动方程式 (9.50)的解总是局部存在的，因此若愿意，我们总可以采用洛伦兹规范。然而应当指出，四维势$A_{\mu }$并不由洛伦兹规范条件式 (9.51)唯一确定，因为仍然可以再加上一个梯度${\bar{\mathbf{\psi }}}_{,\mu }$，只要$\hat{\psi }$是波动方程$\begin{array}{r}⨆\bar{\psi }=0\end{array}$的解。这被称为洛伦兹规范中可用的规范自由度。

用四维势表示时，麦克斯韦方程组中无源部分，即式 (9.37)，自动得到满足，而与源相关的部分，即式 (9.38)，则表示为

$$F_{,\nu }^{\mu \nu }=A_{,\nu }^{\nu ,\mu }-A_{,\nu }^{\mu ,\nu }=\frac{4\pi }{c}{J}^{\mu }.$$

若 $A^{\mu }$ 处于洛伦兹规范式 (9.51) 中，则中心表达式中的第一项消失，麦克斯韦方程组简化为非齐次波动方程，

$$\square A^{\mu }=-\frac{4\pi }{c}{J}^{\mu },A_{,\mu }^{\mu }=0,\text{\hspace{1em}(9.52)}$$

或用向量势和标势表示

$$\square \mathbf{A}=-\frac{4\pi }{c}\mathbf{j},\square \varphi =-4\pi \rho ,\nabla \cdot \mathbf{A}+\frac{1}{c}\frac{\partial \varphi }{\partial t}=0.\text{\hspace{1em}(9.53)}$$

在真空情形下，$\rho =0\mathrm{and}\mathbf{j}=0$，麦克斯韦方程组为

$$\square \mathbf{A}=0,\square \varphi =0.$$

习题

习题 9.17

证明：相对于旋转，式 (9.8) 中的电场和磁场 $E$ 与 $B$ 按 3-向量变换，

$$E_i^{\prime }=a_{ij}{E}_j,B_i^{\prime }=a_{ij}{B}_j.$$

习题 9.18

在推动变换式 (9.13) 下，证明 $F_{\mu \nu }$ 或 $F^{\mu \nu }$ 的四维张量变换律给出

$$\begin{array}{l}{E}_1^{\prime }=F_{14}^{\prime }=E_1,E_2^{\prime }=\gamma (E_2-\frac{v}{c}{B}_3),E_3^{\prime }=\gamma (E_2+\frac{v}{c}{B}_2),\\ B_1^{\prime }=F_{23}^{\prime }=B_1,B_2^{\prime }=\gamma (B_2+\frac{v}{c}{E}_3),B_3^{\prime }=\gamma (B_2-\frac{v}{c}{E}_2).\end{array}$$

将$E$和$B$分解为平行于和垂直于$\mathbf{v}=(v,0,0)$的分量，证明这些变换可以表示为向量形式：

$${\mathbf{E}}_{\parallel }^{\prime }={\mathbf{E}}_{\parallel },{\mathbf{E}}_{\perp }^{\prime }=\gamma ({\mathbf{E}}_{\perp }+\frac{1}{c}\mathbf{v}\times \mathbf{B}),$$ $${\mathbf{B}}_{\parallel }^{\prime }={\mathbf{B}}_{\parallel },{\mathbf{B}}_{\perp }^{\prime }=\gamma ({\mathbf{B}}_{\perp }-\frac{1}{c}\mathbf{v}\times \mathbf{E}).$$

习题 9.19

可以利用$E$和$B$在推动变换下的变换来求匀速运动电荷的域。考虑一个以速度$v$运动的电荷$q$，不失一般性，可设其沿$x$方向运动。设$\mathbf{R}=(x-vt,y,z)$为连接电荷与场点$\mathbf{r}=(x,y,z)$的向量。在电荷的静止参考系中（用撇号表示），假设域为库仑域

$${\mathbf{E}}^{\prime }=\frac{q{\mathbf{r}}^{\prime }}{r^{\prime 3}},{\mathbf{B}}^{\prime }=0$$

其中

$${\mathbf{r}}^{\prime }=(x^{\prime },y^{\prime },z^{\prime })=\left(\frac{x-vt}{\sqrt{1-v^2/c^2}},y,z\right).$$

应用在问题9.18中导出的$E$和$B$的变换律，以证明

$$\mathbf{E}=\frac{q\mathbf{R}(1-v^2/c^2)}{R^3(1-(v^2/c^2){\sin }^2\theta {)}^{3/2}}\text{ and }\mathbf{B}=\frac{1}{c}\mathbf{v}\times \mathbf{E},$$

其中 $\theta$ 是 $R$ 与 $v$ 之间的夹角。在给定距离 $R$ 处，对于高度相对论性速度 $v\approx c2$，电磁场主要集中在何处

习题 9.20

一个静止质量为$m$、电荷为$q$的粒子在均匀恒定磁场$\mathbf{B}=(0,0,B)$中运动。由洛伦兹力方程证明粒子的能量恒定，且其运动是绕平行于$B$的直线的螺旋线，角频率为

$$\omega =\frac{qcB}{\mathcal{E}}.$$

习题 9.21

设 $E$ 与 $B$ 为相互垂直的恒定电场和磁场，$\mathbf{E}\cdot \mathbf{B}=0.$

(a) 若 $B^2>E^2$，证明可以找到一个到具有速度 $\mathbf{v}=k\mathbf{E}\times \mathbf{B}$ 的参考系 $K^{\prime }$ 的变换，使得 $E$ 消失。

(b) 经过此变换后，$B$ 的量值是多少？

(c) 若 $E^2>B^2$，求一个使 $B$ 消失的变换。

(d) 如果$E^2=B^2?$会发生什么？

(e) 一个电荷为 $q$ 的粒子在交叉的恒定电场和磁场 $\mathbf{E}\cdot \mathbf{B}=0,B^2>E^2$ 中运动。根据习题 9.20 中关于粒子在恒定磁场中的解，描述其运动。

习题 9.22

电磁场 $F_{\mu \nu }$ 称为在事件 $p$ 处为“电型”，如果存在 $p,U_{\alpha }{U}^{\alpha }=-1$ 处的一个单位类时4-向量 $U_{\mu }$，以及一个与 $U^{\mu }$ 正交的类空4-向量场 $E_{\mu }$，使得

$$F_{\mu \nu }=U_{\mu }{E}_{\nu }-U_{\nu }{E}_{\mu },E_{\alpha }{U}^{\alpha }=0.$$

(a) 证明任何纯电场，即具有$\mathbf{B}=0$的场，都是电型的。

(b) 若 $F_{\mu \nu }$ 在 $p,$ 处为电型，则证明存在速度 $v$ 使得

$$\mathbf{B}=\frac{\mathbf{v}}{c}\times \mathbf{E}(|\mathbf{v}|<c).$$

利用习题 9.18 证明，存在一个洛伦兹变换，将电磁场变换为在 $p$ 处为纯电场的场。

(c) 若 $F_{\mu \nu }$ 处处为电型，$U^{\mu }$ 为常向量场，且在真空中满足麦克斯韦方程组 $J^{\mu }=0,$，证明向量场 $E^{\mu }$ 无散度，$E_{\nu }^{\nu }=0$

习题 9.23

利用洛伦兹规范中的规范自由度 $\sqcap \psi =0$ 可以证明，能够令 $\varphi =0$ 和 $\nabla \cdot \mathbf{A}=0$。这称为辐射规范。

(a) 为保持辐射规范，还有哪些规范自由度可用？

(b) 假设在辐射规范中，$A$ 与坐标 $x$ 和 $y$ 无关。证明麦克斯韦方程组具有如下形式的解

$$\mathbf{E}=(E_1(u),E_2(u),0),\mathbf{B}=(-E_2(u),E_1(u),0)$$

其中 $u=ct-z$ 和 $E_i(u)$ 是任意可微函数。

(c) 证明这些解可以解释为向右传播的电磁波。