9.1 闵可夫斯基时空

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在牛顿力学中，惯性系是物理事件与${\mathbb{R}}^4$的点之间的一一对应，每个事件被赋予坐标$(x,y,z,t)$，使得任何自由粒子的运动都由直线路径$\mathbf{r}=\mathbf{u}t+{\mathbf{r}}_0$表示。这就是牛顿第一运动定律。坐标变换$(x,y,z,t)(x^{\prime },y^{\prime },z^{\prime },t^{\prime })$

惯性系之间的变换称为伽利略变换(Galilean transformation)，如例2.29所示，其形式为

$$t^{\prime }=t+a,{\mathbf{r}}^{\prime }=\mathbf{Ar}-\mathbf{v}t+\mathbf{b}\text{\hspace{1em}(9.1)}$$

其中 $a$ 是实常数，$v$ 和 $b$ 是常向量，而 $A$ 是一个 $3\times 3$ 正交矩阵，${\mathsf{A}}^T\mathsf{A}=\mathsf{I}.$

若无旋转，即式（9.1）中的 $A=I$，则直线运动 $\mathbf{r}=\mathbf{u}t+{\mathbf{r}}_0$ 被变换为

$${\mathbf{r}}^{\prime }={\mathbf{u}}^{\prime }{t}^{\prime }+{\mathbf{r}}_0^{\prime }$$

其中 ${\mathbf{r}}_0^{\prime }={\mathbf{r}}_0+\mathbf{b}-a(\mathbf{u}-\mathbf{v})$ 且

$${\mathbf{u}}^{\prime }=\mathbf{u}-\mathbf{v}.$$

这被称为速度变换定律及其逆形式，

$$\mathbf{u}={\mathbf{u}}^{\prime }+\mathbf{v}$$

称为牛顿速度加法定律。

1888年，著名的迈克尔逊–莫雷实验利用在地球轨道不同点上反向传播的光束，未能探测到地球相对于一个被假定为电磁波传播的绝对静止参考系的“以太”的任何运动。在相对运动的惯性系之间的变换下，光速恒定的表面解释显然与牛顿的速度加法定律相矛盾。最终，这个问题的解决以爱因斯坦的相对性原理（1905）的形式出现。这本质上是对伽利略和牛顿关于力学不变性思想的延拓，使其包括电磁场（光是其一种特殊表现）。由赫尔曼·闵可夫斯基（1908）给出的几何解释是我们将在本章讨论的版本。

庞加莱变换与洛伦兹变换

在经典力学中，我们假设事件$(x,y,z,t)$构成伽利略时空，如例2.29所述。在相对论中，结构有所不同。取代分离的空间间隔和时间间隔的是定义在事件对之间的单一间隔，记作

$$\Delta s^2=\Delta x^2+\Delta y^2+\Delta z^2-c^2\Delta t^2$$

其中 $c$ 是光速 $(c\approx 3\times 10^8\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-1})$。这将由光信号连接的事件单独选出，使其满足 $\Delta s^2=0$。令 $(x^1=x,x^2=y,x^3=z,x^4=ct)$，则间隔读作

$$\Delta s^2=g_{\mu \nu }\Delta x^{\mu }\Delta x^{\nu },\text{\hspace{1em}(9.2)}$$

其中

$$\mathsf{G}=[g_{\mu \nu }]=\left(\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& -1\end{array}\right).$$

在本章中，希腊指标 $\mu$、$\nu$ 等的取值范围为 1 到 4，而指标 $i,j,k\dots$ 的取值范围为 1 到 3。具有这种区间结构的集合 ${\mathbb{R}}^4$ 称为闵可夫斯基时空，或简称为闵可夫斯基空间。相对性原理的几何表述为：事件集合构成一个闵可夫斯基时空。此处给出的闵可夫斯基空间定义并不完全令人满意。我们将直接借助仿射空间给出一个更精确的定义。

时空间隔具有式 (9.2) 形式的限制性坐标系类将称为惯性系。我们将像牛顿力学中那样假设，自由粒子在闵可夫斯基时空中的惯性系里具有直线路径。如例 2.30 所示，保持式 (9.2) 的变换具有以下形式

$$x^{\prime {\mu }^{\prime }}=L_{\nu }^{{\mu }^{\prime }}{x}^{\nu }+a^{{\mu }^{\prime }}\text{\hspace{1em}(9.3)}$$

其中系数$L_{\nu }^{{\mu }^{\prime }}$满足

$$g_{\rho \sigma }=g_{{\mu }^{\prime }{\nu }^{\prime }}{L}_{\rho }^{{\mu }^{\prime }}{L}_{\sigma }^{{\nu }^{\prime }}.\text{\hspace{1em}(9.4)}$$

方程 (9.3) 称为 庞加莱变换(Poincaré transformation)，而在设定 $a^{{\mu }^{\prime }}=0$ 时出现的线性变换 $x^{\prime {\mu }^{\prime }}=L_{\rho }^{{\mu }^{\prime }}{x}^{\rho }$ 称为 洛伦兹变换(Lorentz transformation)。

我们定义在事件$p=(x,y,z,t)$处的光锥(light cone) $C_p$为通过光信号与$p$相连的点的集合，

$$C_p=\{p^{\prime }=(x^{\prime },y^{\prime },z^{\prime },c{t}^{\prime })|\Delta x^2+\Delta y^2+\Delta z^2-c^2\Delta t^2=0\}$$

其中 $\Delta x=x^{\prime }-x,\Delta y=y^{\prime }-y$ 等。$C_p$ 上的事件 $p^{\prime }$ 既可以视为来自 $p,$ 的光信号的接收者，也可以视为到达 $p.$ 的信号的发射者。庞加莱变换显然保持任意事件 $p$ 处的光锥 $C_p$。

至于式 (5.9)，式 (9.4) 的矩阵版本为（另见例 2.30）

$$\mathsf{G}={\mathsf{L}}^T\mathsf{GL},\text{\hspace{1em}(9.5)}$$

其中 $\mathsf{G}=[g_{\mu \nu }]$ 和 $\mathsf{L}=[L_{\nu }^{{\mu }^{\prime }}]$。取行列式，得到 $\det \mathsf{L}=\pm 1$。还可以进一步将洛伦兹变换细分为具有 $L_4^{4^{\prime }}\ge 1$ 的变换和具有 $L_4^{4^{\prime }}\le -1$ 的变换（见习题 9.2）。同时满足 $\det \mathsf{L}=+1$ 和 $L_4^{4^{\prime }}\ge 1$ 的洛伦兹变换称为 正洛伦兹变换(proper Lorentz transformation)。它们类似于欧几里得空间中绕原点的旋转。所有其他洛伦兹变换称为非正常洛伦兹变换。

仿射几何

在闵可夫斯基空间与 5.1 节所定义的闵可夫斯基向量空间之间，必须作出一个重要区分。最重要的是，闵可夫斯基空间不是向量空间，因为事件并不以任何自然的方式线性组合。例如，考虑两个事件 $q$ 和 $p,$，它们相对于某个惯性系具有坐标 $q^{\mu }$ 和 $p^{\mu }$。如果线性组合 $q+bp$ 以显然的方式定义为具有坐标 $(q+bp{)}^{\mu }=q^{\mu }+b{p}^{\mu }$ 的事件，那么在庞加莱变换式 (9.3) 下

$$q^{\prime {\mu }^{\prime }}+b{p}^{\prime {\mu }^{\prime }}=L_{\nu }^{{\mu }^{\prime }}(q^{\nu }+b{p}^{\nu })+(1+b)a^{{\mu }^{\prime }}\ne L_{\nu }^{{\mu }^{\prime }}(q+bp{)}^{\nu }+a^{{\mu }^{\prime }}.$$

特别地，闵可夫斯基空间的原点 $q^{\mu }=0$ 没有不变意义，因为在一般庞加莱变换下它被变换为一个非零的点。然而，任意一对点之差 $q^{\mu }-p^{\mu }$ 却总是经历一个线性变换

$$q^{\prime {\mu }^{\prime }}-p^{\prime {\mu }^{\prime }}=L_{\nu }^{{\mu }^{\prime }}(q^{\nu }-p^{\nu })$$

并且可以使其构成一个真正的向量空间。粗略地说，一个在其中定义了点的差并且这些差构成向量空间的结构称为仿射空间。

更确切地说，我们将 仿射空间(affine space) 定义为一个对 ($M$, $V$)，它由一个集合 $M$ 和一个向量空间 $V,$ 组成，使得 $V$ 作为变换的阿贝尔群自由且遍历地作用在 $M$ 上。$V$ 对 $M$ 的运算记作 $+:M\times VM$，并且要求满足

$$p+(u+v)=(p+u)+v,p+0=p$$

对于所有 $p\in M$。于是，书写诸如 $p+u+v$ 这样的表达式时不存在歧义。回忆第 2.6 节，自由作用量意味着若 $p+u=p(p\in M)$，则 $u=0;$；而若对任意一对点 $p,q\in M$，都存在向量 $u\in V$ 使得 $q=p+u$，则该作用量是遍历的。此方程中的向量 $u$ 必然唯一，因为若 $q=p+u=p+u^{\prime }$，则 $p+u-u^{\prime }=p$，且由于该作用量是自由的，由此可得 $u=u^{\prime }$

设 $p_0$ 为 $M$ 的一个固定点。对任意点 $p\in M\mathrm{let}x(p)\in V$，令其为满足 $p=p_0+x(p)$ 的唯一向量。这在仿射空间的底层集合 $M$ 与作用于其上的向量空间 $V$ 之间建立了一一对应。若 $e_i$ 是 $V$ 的任意一组基，则由该基 $e_i$ 和原点 $p_0$ 所确定的实函数 $p\mapsto x^i(p)$，其中 $x(p)=x^i(p)e_i$，称为 $M$ 上的坐标。

如上文所预期，在仿射空间中总是可以定义任意一对点 $q-p$ 的差。给定一个固定点 $p_0\in M$，设 $x(p)$ 和 $x(q)$ 是 $V$ 中唯一的向量，使得 $p=p_0+x(p)$ 和 $q=p_0+x(q)$，并将 $M$ 中两个点的差定义为向量 $q-p=x(q)-x(p)\in V$。此定义不依赖于固定点 $p_0$ 的选择，因为若 $p_0^{\prime }$ 是第二个固定点，使得 $p_0=p_0^{\prime }+v$，则

$$p=p_0^{\prime }+v+x(p)=p_0^{\prime }+x^{\prime }(p),$$ $$q=p_0^{\prime }+v+x(q)=p_0^{\prime }+x^{\prime }(q),$$

和

$$x^{\prime }(q)-x^{\prime }(p)=v+x(q)-v-x(p)=x(q)-x(p)=q-p.$$

闵可夫斯基空间与四维张量

闵可夫斯基空间(Minkowski space) 现在可以定义为一个仿射空间 $(M,V)$，其中 $V$ 是一个四维闵可夫斯基向量空间，具有度量张量 $g,$，自由且遍历地作用于集合 $M$。$\mathrm{If}\left\{e_1,e_2,e_3,e_4\right\}$ 是 $V$ 的一个正交标准基，使得

$$g_{\mu \nu }=g(e_{\mu },e_{\nu })=\{\begin{array}{cl}1& \text{ if }\mu =\nu <4\\ -1& \text{ if }\mu =\nu =4\\ 0& \text{ if }\mu \ne \nu \end{array}$$

我们说 惯性系(inertial frame) 是固定点 $p_0\in M,$ 的一个选择，称为原点，连同由下式定义的 $M$ 上的坐标 $x^{\mu }(p)$

$$p=p_0+x^{\mu }(p)e_{\mu }(p\in M).$$

$M$ 中任意两个事件 $q$ 与 $p$ 之间的间隔定义为

$$\Delta s^2=g(p-q,p-q).$$

这独立于固定点 $p_0$ 或正交标架 $e_{\mu }:$ 的选择，因为它仅依赖于 $p$ 与 $q$ 之间的向量差以及度量张量 $g.$。在惯性系中，间隔可以用坐标表示

$$\Delta s^2=g_{\mu \nu }\Delta x^{\mu }\Delta x^{\nu }\text{ where }\Delta x^{\mu }=x^{\mu }(q)-x^{\mu }(p)=x^{\mu }(q-p).\text{\hspace{1em}(9.6)}$$

在洛伦兹变换$e_{\nu }=L_{\nu }^{{\mu }^{\prime }}{e}_{\mu }^{\prime }$和原点变更$p_0=p_0^{\prime }+a^{{\mu }^{\prime }}{e}_{{\mu }^{\prime }}^{\prime }$下，对于任意点$p$，我们有

$$\begin{array}{rl}& p=p_0+x^{\nu }(p)e_{\nu }\\ & =p_0^{\prime }+a^{{\mu }^{\prime }}{e}_{{\mu }^{\prime }}^{\prime }+x^{\nu }(q)L_{\nu }^{{\mu }^{\prime }}{e}_{{\mu }^{\prime }}^{\prime }\\ & =p_0^{\prime }+x^{\prime {\mu }^{\prime }}(p)e_{{\mu }^{\prime }}^{\prime }\end{array}$$

其中 $x^{\prime {\mu }^{\prime }}(p)$ 由庞加莱变换给出

$$x^{\prime {\mu }^{\prime }}(p)=L_{\nu }^{{\mu }^{\prime }}{x}^{\nu }(p)+a^{{\mu }^{\prime }}.\text{\hspace{1em}(9.7)}$$

验证坐标表达式式 (9.6) 所给出的 $\Delta s^2$ 关于庞加莱变换式 (9.7) 的不变性是一件简单的事情。

$V$ 的元素 $v=v^{\mu }{e}_{\mu }$ 将被称为 4-向量。相对于庞加莱变换式 (9.7)，分量 $v^{\mu }$ 的变换为

$$v^{\prime {\mu }^{\prime }}=L_{\nu }^{{\mu }^{\prime }}{v}^{\nu },$$

其中 $L_{\nu }^{{\mu }^{\prime }}$ 满足式 (9.4)。逆变换为

$$v^{\nu }=L_{{\rho }^{\prime }}^{\prime \nu }{v}^{\prime {\rho }^{\prime }}\text{ where }{L}_{{\rho }^{\prime }}^{\prime \nu }{L}_{\mu }^{{\rho }^{\prime }}={\delta }_{\mu }^{\nu }.$$

在第 7 章中定义的 $V(r,s)$ 的元素，称为类型 $(r,s)$ 的 四维张量(4-tensor)。由于我们仅关注 $V$ 的正交归一基，四维张量的分量 $T^{\sigma \tau ...}{}_{\mu \nu ..}$ 只需相对于洛伦兹变换按张量方式变换，

$$T_{{\mu }^{\prime }{\nu }^{\prime }\dots }^{\prime {\sigma }^{\prime }{\rho }^{\prime }\dots }=T_{\mu \nu \dots }^{\sigma \rho \dots }{L}_{\sigma }^{\prime {\sigma }^{\prime }}{L}_{\rho }^{\prime {\rho }^{\prime }}\dots L_{{\mu }^{\prime }}^{\mu }{L}_{{\nu }^{\prime }}^{\nu }\dots$$

类型为 (0, 1) 的四维张量称为 四维余向量(4-covector)，而类型为 (0, 0) 的四维张量将被称为 四维标量(4-scalar)，或简称为标量。关于四维张量，与一般张量一样，重要之处在于：如果一个四维张量方程能够被证明在某一特定参考系中成立，那么它在所有参考系中都成立。这是分量齐次变换律的直接推论。

由式（9.4），$g$ 是一个二阶协变四维张量，因为其分量 $g_{\mu \nu }$ 的变换方式为

$$g_{{\mu }^{\prime }{\nu }^{\prime }}^{\prime }=g_{\mu \nu }{L}_{{\mu }^{\prime }}^{\prime \mu }{L}_{{\nu }^{\prime }}^{\prime \nu }$$

其中 $g_{{\mu }^{\prime }{\nu }^{\prime }}^{\prime }=g_{{\mu }^{\prime }{\nu }^{\prime }}$ 。逆度量 $g^{\mu \nu }$ ，由下式定义

$$g^{\mu \rho }{g}_{\rho \nu }={\delta }_{\nu }^{\mu },$$

与$g_{\mu \nu }$具有相同的分量，并且是一个二阶逆变张量，

$$g^{\prime {\mu }^{\prime }{\nu }^{\prime }}=g^{\mu \nu }{L}_{\mu }^{{\mu }^{\prime }}{L}_{\nu }^{{\nu }^{\prime }},g^{\mu \nu }=g^{\prime {\mu }^{\prime }{\nu }^{\prime }}{L}_{{\mu }^{\prime }}^{\prime \mu }{L}_{{\nu }^{\prime }}^{\prime \nu }.$$

我们将使用 $g^{\mu \nu }$ 和 $g_{\mu \nu }$ 来升降四维张量的指标；例如，

$$U^{\mu }=g^{\mu \nu }{U}_{\nu },W_{\mu }=g_{\mu \nu }{W}^{\nu },T_{\mu \nu }^{\rho }=g_{\mu \alpha }{g}^{\rho \beta }{T}_{\nu \beta }^{\alpha }.$$

给定两个4-向量$A=A^{\mu }{e}_{\mu },B=B^{\nu }{e}_{\nu }$，定义它们的内积为标量

$$g(A,B)=A^{\mu }{B}_{\mu }=g_{\mu \nu }{A}^{\mu }{B}^{\nu }=A_{\mu }{B}^{\mu }=g^{\mu \nu }{A}_{\mu }{B}_{\nu }.$$

若 $A^{\mu }{B}_{\mu }=0$ ，则称这些向量正交。四维向量 $A^{\mu }$ 的量值定义为 $g(A,A)=A^{\mu }{A}_{\mu }.$ 。非零四维向量 $A^{\mu }$ 称为

类空的，如果$g(A,A)=A^{\mu }{A}_{\mu }>0$

类时，如果 $g(A,A)=A^{\mu }{A}_{\mu }<0.$

若 $g(A,A)=A^{\mu }{A}_{\mu }=0.$，则为零

所有零模 4-向量的集合称为 零锥(null cone)。它是 4-向量构成的向量空间 $V$ 的一个子集。在 $p\in M.$ 处的光锥概念定义于 2.30 节，它是 $M$ 中与 $p$ 由零模向量相连的点的集合，$C_p=\{q|g(q-p,q-p)=0\}\subset M.$ 图 9.1 展示了零锥如何将 4-向量划分为各类。位于零锥上半部之内或之上的类时向量或零模向量称为 指向未来的(future-pointing)，而位于下半部的则称为 指向过去的(past-pointing)。

然而，类空向量位于零锥之外，并构成 $V$ 的一个连续连通区域，因此不可能不变地定义指向未来的或指向过去的类空向量这一概念——见习题 9.2。

图 9.1 闵可夫斯基空间中的零锥

习题

习题 9.1

证明

$$\left[L_{\nu }^{{\mu }^{\prime }}\right]=\left(\begin{array}{cccc}1& 0& -\alpha & \alpha \\ 0& 1& -\beta & \beta \\ \alpha & \beta & 1-\gamma & \gamma \\ \alpha & \beta & -\gamma & 1+\gamma \end{array}\right)\text{ where }\gamma =\frac{1}{2}({\alpha }^2+{\beta }^2)$$

对所有 $\alpha$ 和 $\beta .$ 的值，都是一个洛伦兹变换。求那些分量在此形式的所有洛伦兹变换下均保持不变的4-向量 $V^{\mu }$。

习题 9.2

证明对于任意洛伦兹变换 $L_{\nu }^{{\mu }^{\prime }}$，必须有

$$L_4^4\ge 1\text{ or }{L}_4^4\le -1.$$

(a) 证明那些具有 $L_4^4\ge 1$ 的变换具有如下性质：它们通过表明其保持 $\Delta x^4$ 的符号，从而对类时分离事件保持“前”与“后”的概念。

(b) 具有$L_4^4\le -1$的洛伦兹变换有什么效应？

(c) 对于类空分离的事件，‘之前’和‘之后’的概念是否存在独立于惯性系的含义？

习题 9.3

证明：(i) 若 $T^{\alpha }$ 是类时 4-向量，则总可以找到洛伦兹变换，使得 $T^{\prime {\alpha }^{\prime }}$ 具有分量 $(0,0,0,a)$；(ii) 若 $N^{\alpha }$ 是零模向量，则总可以找到洛伦兹变换，使得 $N^{\prime {\alpha }^{\prime }}$ 具有分量 $(0,0,1,1)$。

设 $U^{\alpha }$ 和 $V^{\alpha }$ 为4-向量。证明以下结论：

(a) 若 $U^{\alpha }{V}_{\alpha }=0$ 且 $U^{\alpha }$ 为类时，则 $V^{\alpha }$ 为类空。

(b) 若 $U^{\alpha }{V}_{\alpha }=0$ 且 $U^{\alpha }$ 与 $V^{\alpha }$ 均为零模向量，则它们彼此成比例。

(c) 若 $\mathrm{If}{U}^{\alpha }$ 与 $V^{\alpha }$ 均为指向未来的类时矢量，则 $U_{\alpha }{V}^{\alpha }<0$ 且 $U^{\alpha }+V^{\alpha }$ 为类时。

(d) 当 $U^{\alpha }$ 与 $V^{\alpha }$ 取为类光、指向未来的类光、类时且指向未来、类空等各种组合时，找出与前述断言类似的其他命题。

习题 9.4

如果四维向量方程 $A^4=B^4$ 的第四分量被证明在所有惯性系中成立，证明所有分量在所有惯性系中都相等，$A^{\mu }=B^{\mu }$