9.3 粒子动力学

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世界线与固有时

设 $I=[a,b]$ 为实直线 $R$ 的任意闭区间。连续映射 $\sigma :IM$ 称为闵可夫斯基空间 $(M,V)$ 中的参数曲线。在由 $V$ 的基 $e_{\mu }$ 生成的惯性系中，这样的曲线可写成四个实函数 $x^{\mu }\circ \sigma :I\mathbb{R}$ 。我们常将这些函数写作 $x^{\mu }(\lambda )(a\le \lambda \le b)$ 以代替 $x^{\mu }(\sigma (\lambda ))$ ，并且通常假定它们可微。

若参数曲线 $\sigma$ 经过坐标为 $p^{\mu }$ 的事件 $p$，从而对某个 ${\lambda }_0\in I,$ 有 $p^{\mu }=x^{\mu }({\lambda }_0)\equiv x^{\mu }(\sigma ({\lambda }_0))$，则定义曲线在 $p$ 处的切 4-向量为如下给出的 4-向量 $U$：

$$U=U^{\mu }{e}_{\mu }\in V\text{ where }{U}^{\mu }=\frac{\mathrm{d}{x}^{\mu }}{\mathrm{d}\lambda }{|}_{\lambda ={\lambda }_0}.$$

该定义与 $V$ 上正交标准基 $e_{\mu }$ 的选择无关，因为若 $e_{{\mu }^{\prime }}^{\prime }$ 是通过洛伦兹变换 $e_{\nu }=L_{\nu }^{{\mu }^{\prime }}{e}_{{\mu }^{\prime }}^{\prime }$ 相关联的第二个正交标准基，则

$$U^{\prime }=U^{\prime {\mu }^{\prime }}{e}_{{\mu }^{\prime }}^{\prime }=\frac{\mathrm{d}{x}^{\prime {\mu }^{\prime }}(\lambda )}{\mathrm{d}\lambda }{|}_{\lambda ={\lambda }_0}{L}_{{\mu }^{\prime }}^{\mu }{e}_{\mu }=\frac{\mathrm{d}{x}^{\mu }}{\mathrm{d}\lambda }{|}_{\lambda ={\lambda }_0}{e}_{\mu }=U.$$

参数曲线$\sigma$在$p$处称为类时、类空或类光，如果其在$p$处的切4-向量分别为类时、类空或类光。假设物质粒子的路径在其经过的所有事件处均为类时，并且常被称为该粒子的世界线(world-line)（见图9.2）。这一假设等价于要求粒子的速度始终小于$c$，因为

$$0>g(U(\lambda ),U(\lambda ))=g_{\mu \nu }\frac{\mathrm{d}{x}^{\mu }(\lambda )}{\mathrm{d}\lambda }\frac{\mathrm{d}{x}^{\nu }(\lambda )}{\mathrm{d}\lambda }={\left(\frac{\mathrm{d}t}{\mathrm{d}\lambda }\right)}^2\left(\sum _{i=1}^3{\left(\frac{\mathrm{d}{x}^i(t)}{\mathrm{d}t}\right)}^2-c^2\right),$$

图 9.2 实物粒子的世界线

在设定$t=x^4/c=t(\lambda )$时。因此

$$v^2=\sum _{i=1}^3{\left(\frac{\mathrm{d}{x}^i}{\mathrm{d}t}\right)}^2<c^2.$$

对于世界线上两个相邻事件，$x^{\mu }(\lambda )$ 与 $x^{\mu }(\lambda +\Delta \lambda )$，令

$$\Delta {\tau }^2=-\frac{1}{c^2}\Delta s^2=-\frac{1}{c^2}{g}_{\mu \nu }\Delta x^{\mu }\Delta x^{\nu }>0,$$

其中

$$\Delta x^{\mu }=x^{\mu }(\lambda +\Delta \lambda )-x^{\mu }(\lambda ).$$

在极限 $\Delta \lambda 0$ 下

$$\Delta {\tau }^2\to -\frac{1}{c^2}{g}_{\mu \nu }\frac{\mathrm{d}{x}^{\mu }(\lambda )}{\mathrm{d}\lambda }\frac{\mathrm{d}{x}^{\nu }(\lambda )}{\mathrm{d}\lambda }(\Delta \lambda {)}^2=-\frac{1}{c^2}(v^2-c^2){\left(\frac{\mathrm{d}t}{\mathrm{d}\lambda }\right)}^2\Delta {\lambda }^2.$$

因此

$$\Delta \tau \to \sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}\Delta t=\frac{1}{\gamma }\Delta t.\text{\hspace{1em}(9.22)}$$

由于粒子的速度处处小于 $c,$，可利用速度的相对论变换律，即式 (9.19)，求出旋转与推动变换的组合，即式 (9.8) 和式 (9.14)，它在粒子路径上任意给定点 $p=\sigma ({\lambda }_0)$ 处将粒子的速度变换为零。任何这样的、使粒子瞬时静止的惯性系称为在 $p.$ 处的 瞬时静止系(instantaneous rest frame)，或 i.r.f.。当然，除非沿世界线速度恒定，i.r.f. 将随世界线上点的不同而变化。由于在 i.r.f. 中 $\mathbf{v}=0$，由式 (9.22) 可得 $\Delta \tau /\Delta t\to 1\mathrm{as}\Delta t\to 0$。因此，$\Delta \tau$ 量度的是与粒子瞬时共动的惯性钟所记录的时空间隔。它通常被解释为粒子所携带的钟从 $x^{\mu }$ 到 $x^{\mu }+\Delta x^{\mu }$ 所测得的时间。

式 (9.22) 中的因子 $1/\gamma$ 表示式 (9.16) 中由于该时钟相对于外部惯性系的运动而产生的时间膨胀效应。粒子携带的时钟从事件 $p$ 到事件 $q$ 所测得的总时间为

$${\tau }_{pq}={\int }_p^q\mathrm{d}\tau ={\int }_{t_p}^{t_q}\frac{\mathrm{d}t}{\gamma },$$

并称为从 $p$ 到 $q$ 的 固有时(proper time)。若固定事件 $p$ 并让 $q$ 沿曲线变化，则固有时可用作沿曲线的参数，

$$\tau ={\int }_{t_p}^t\frac{\mathrm{d}t}{\gamma }=\tau (t).\text{\hspace{1em}(9.23)}$$

相对于这一特殊参数计算得到的切四维向量$V=V^{\mu }{e}_{\mu }$称为粒子的四维速度(4-velocity)，

$$V^{\mu }=\frac{\mathrm{d}{x}^{\mu }}{\mathrm{d}\tau }=\gamma \frac{\mathrm{d}{x}^{\mu }}{\mathrm{d}t}=\gamma (\mathbf{v},c).\text{\hspace{1em}(9.24)}$$

与坐标时 $t$ 不同，固有时 $\tau$ 是独立于惯性系的真正标量参数；因此四维速度 $V^{\mu }$ 的分量按逆变四维向量变换。

$$V^{\prime {\mu }^{\prime }}=L_{\nu }^{{\mu }^{\prime }}{V}^{\nu }.$$

由式 (9.24) 可知，四维速度的量值始终具有常量量值 $-c^2$

$$g(V,V)=V^{\mu }{V}_{\mu }=(v^2-c^2){\gamma }^2=-c^2.\text{\hspace{1em}(9.25)}$$

粒子的四维加速度(4-acceleration)定义为具有分量的逆变四维矢量$A=A^{\mu }{e}_{\mu }$

$$A^{\mu }=\frac{\mathrm{d}{V}^{\mu }}{\mathrm{d}\tau }=\frac{{\mathrm{d}}^2{x}^{\mu }(\tau )}{\mathrm{d}{\tau }^2}.\text{\hspace{1em}(9.26)}$$

将这些分量用坐标时间参数$t$表示，得到

$$A^{\mu }=\gamma \left(\frac{\mathrm{d}\gamma }{\mathrm{d}t}\mathbf{v}+\gamma \frac{\mathrm{d}\mathbf{v}}{\mathrm{d}t},c\frac{\mathrm{d}\gamma }{\mathrm{d}t}\right).\text{\hspace{1em}(9.27)}$$

4-向量 $A$ 与 $V$ 彼此正交，因为

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\tau }(g(V,V))=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\tau }(-c^2)=0,$$

展开左边得到 $g(A,V)+g(V,A)=2g(A,V)$，因此

$$g(A,V)=A^{\mu }{V}_{\mu }=0.\text{\hspace{1em}(9.28)}$$

随文练习

证明在惯性参考系中，四维速度和四维加速度的分量由下式给出

$$V^{\mu }=(0,c),A^{\mu }=(\mathbf{a},0)\text{ where }\mathbf{a}=\frac{\mathrm{d}\mathbf{v}}{\mathrm{d}t},$$

并验证四维向量 $A$ 与 $V$ 彼此正交。

相对论性粒子动力学

我们假定每个粒子都附有一个常标量 $m$，称为其 静止质量(rest mass)。这可以看作是该粒子在瞬时静止系中的牛顿质量，在该系中对于任意施加的力 $F$ 都满足牛顿第二定律 $\mathbf{F}=m\mathbf{a}$。粒子的 四维动量(4-momentum) 定义为具有分量 $P^{\mu }=m{V}^{\mu }$ 的四维向量，其中 $V=V^{\mu }{e}_{\mu }$ 是该粒子的四维速度，

$$P^{\mu }=\left(\mathbf{p},\frac{E}{c}\right)\text{\hspace{1em}(9.29)}$$

其中

$$\mathbf{p}=m\gamma \mathbf{v}=\frac{m\mathbf{v}}{\sqrt{1-v^2/c^2}}=\text{ momentum },\text{\hspace{1em}(9.30)}$$

$$E=m\gamma c^2=\frac{m{c}^2}{\sqrt{1-v^2/c^2}}=\mathrm{energy}.\text{\hspace{1em}(9.31)}$$

对于 $v\ll c$，动量约化为牛顿公式 $\mathbf{p}=m\mathbf{v}$，能量可写为 $\begin{array}{r}E\approx m{c}^2+\frac{1}{2}m{v}^2+...\end{array}$。能量贡献 $E=m{c}^2$ 即使在粒子静止时也会出现，称为粒子的 静止能量(rest-energy)。

随文练习

证明下列恒等式：

$$g(P,P)=P^{\mu }{P}_{\mu }=-m^2{c}^2,E=\sqrt{p^2{c}^2+m^2{c}^2},\mathbf{p}=\frac{E\mathbf{v}}{c^2}.\text{\hspace{1em}(9.32)}$$

关系式 9.32 即使在极限 $vc$ 下也有意义，只要粒子具有零静止质量，$m=0$。这类粒子将被称为光子，并满足这些关系

$$E=pc,\mathbf{p}=\frac{E}{c}\mathbf{n}\text{ where }\mathbf{n}\cdot \mathbf{n}=1.\text{\hspace{1em}(9.33)}$$

这里 $n$ 称为光子的传播方向。光子的四维动量具有形式

$$P^{\mu }=\left(\mathbf{p},\frac{E}{c}\right)=\frac{E}{c}(\mathbf{n},1),$$

并且显然是零模向量，$P^{\mu }{P}_{\mu }=0$

与牛顿定律$\mathbf{F}=m\mathbf{a}.$类似，有时定义具有分量的四维力(4-force) $F=F^{\mu }{e}_{\mu }$是有用的

$$F^{\mu }=\frac{\mathrm{d}{P}^{\mu }}{\mathrm{d}\tau }=m{A}^{\mu }.\text{\hspace{1em}(9.34)}$$

由式 (9.28)，四维力总是与四维速度正交。按通常方式定义三维力 $f$ 为

$$\mathbf{f}=\frac{\mathrm{d}\mathbf{p}}{\mathrm{d}t}$$

并利用 $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\tau }=\gamma \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}$，我们得到

$$F^{\mu }=\gamma \left(\mathbf{f},\frac{1}{c}\frac{\mathrm{d}E}{\mathrm{d}t}\right).\text{\hspace{1em}(9.35)}$$

习题

习题 9.11

利用四维速度 $V^{\mu }=\gamma (u)(u_x,u_y,u_z,c)$ 按四维向量变换这一事实，由 $V^{\prime 4}$ 的变换方程证明，在推动变换下 $u$ 的变换为

$$\frac{\gamma (u^{\prime })}{\gamma (u)}=\gamma (v)\left(1-\frac{v{u}_x}{c^2}\right).$$

由 $V^{\prime }{}^{i^{\prime }}$ 的其余变换方程推导速度变换定律，即式 (9.19)。

习题 9.12

设 $K^{\prime }$ 为相对于 $K$ 沿 $x$ 方向以速度 $v$ 运动的参考系。

(a) 证明对于相对于 $K^{\prime },$ 具有沿 $x^{\prime }.$ 方向的速度 $u^{\prime },$、加速度 $a^{\prime }$ 的粒子，其在 $K$ 中的加速度为

$$a=\frac{a^{\prime }}{[\gamma (1+v{u}^{\prime }/c^2){]}^3}.$$

(b) 一名火箭驾驶员在 $t=0$ 离开地球，在每一时刻相对于他的瞬时静止系具有恒定加速度 $g$。证明他相对于地球的运动由下式给出

$$x=\frac{c^2}{g}\left(\sqrt{1+\frac{g^2}{c^2}{t}^2}-1\right).$$

(c) 用他自己的固有时$\tau$来证明

$$x=\frac{c^2}{g}\left(\cosh \frac{g}{c}\tau -1\right).$$

(d) 若他在生命中继续行进10年，随后以$g=9.80\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-2}$减速再经过10年直至静止，并以同样方式返回，总共耗时40年，那么在他返回时地球上的人们将衰老多少？他将离开地球多少光年？

习题 9.13

一个粒子沿世界线作双曲运动，该世界线的方程由下式给出

$$x^2-c^2{t}^2=a^2,y=z=0.$$

证明

$$\gamma =\frac{\sqrt{a^2+c^2{t}^2}}{a}$$

并且从 $t=0$ 开始沿该路径的固有时由下式给出

$$\tau =\frac{a}{c}{\cosh }^{-1}\frac{ct}{a}.$$

计算粒子的四维速度 $V^{\mu }$ 和四维加速度 $A^{\mu }$。证明 $A^{\mu }$ 具有常量量值。

习题 9.14

对于粒子系统，通常假定总4-动量守恒在任何局域相互作用中成立，

$$\sum _a{P}_{(a)}^{\mu }=\sum _b{Q}_{(b)}^{\mu }.$$

利用习题9.4证明：对于给定系统，只要能量守恒定律在所有惯性系中成立，四维动量守恒定律便成立。并证明，动量守恒定律在所有参考系中成立足以保证四维动量守恒。

习题 9.15

一个粒子在参考系$K$中具有动量$p$和能量$E$。

(a) 若 $K^{\prime }$ 是相对于 $K,$ 具有速度 $v$ 的惯性系，则利用动量四维矢量 $P^{\mu }=\left(\mathbf{p},\frac{\bar{E}}{c}\right)$ 的变换律证明

$$E^{\prime }=\gamma (E-\mathbf{v}\cdot \mathbf{p}),{\mathbf{p}}_{\perp }^{\prime }={\mathbf{p}}_{\perp }\text{ and }{\mathbf{p}}_{\parallel }^{\prime }=\gamma \left({\mathbf{p}}_{\parallel }-\frac{E}{c^2}\mathbf{v}\right),$$

其中${\mathbf{p}}_{\perp }$和${\mathbf{p}}_{\parallel }$分别是$p$垂直于和平行于$v$的分量。

(b) 若粒子为光子，则利用这些变换推导光行差公式

$$\cos {\theta }^{\prime }=\frac{\cos \theta -v/c}{1-\cos \theta (v/c)}$$

其中$\theta$是$p$与$v$之间的夹角。

习题 9.16

使用$F^{\mu }{V}_{\mu }=0$来证明

$$\mathbf{f}\cdot \mathbf{v}=\frac{\mathrm{d}E}{\mathrm{d}t}.$$

另请直接由 $p$、$E$ 的定义式 (9.30) 和式 (9.31) 证明这一点。