18.6 黎曼张量及其对称性

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在伪黎曼流形 $(M,g)$ 中，可以下降曲率张量的逆变指标，以形成类型为 (0, 4) 的张量 $\overline{R}$，

$$\overline{R}(W,Z,X,Y)=R(\omega ,Z,X,Y)\text{ where }g(W,A)=⟨\omega ,A⟩.$$

该张量将被称为黎曼曲率张量，或简称为黎曼张量。令 $W={\partial }_{x^i},Z={\partial }_{x^j}$ 等，则 $\omega =g_{ia}\mathrm{d}{x}^a$ ，从而

$${\overline{R}}_{ijkl}=g_{ia}{R}_{jkl}^a.$$

按照标准的指标下降约定，我们将$\overline{R}$的分量记作$R_{ijkl}$

下列对称性适用于黎曼张量：

$$R_{ijkl}=-R_{ijlk},\text{\hspace{1em}(18.49)}$$

$$R_{ijkl}=-R_{jikl},\text{\hspace{1em}(18.50)}$$

$$R_{ijkl}+R_{iklj}+R_{iljk}=0,\text{\hspace{1em}(18.51)}$$

$$R_{ijkl}=R_{klij}.\text{\hspace{1em}(18.52)}$$

证明

第二对指标的反对称性，即式 (18.49)，直接由曲率张量的定义式 (18.23) 得出——它不因将第一个指标降号而改变。类似地，式 (18.51) 直接由式 (18.26) 得出。其余对称性，即式 (18.50) 和式 (18.52)，可以通过在任意给定点 $p$ 采用测地坐标，并使用 ${R^i}_{jkl}$ 的分量的表达式 (18.43) 来证明。

$$R_{ijkl}(p)=\frac{1}{2}(g_{ml,jk}+g_{jk,ml}-g_{mk,jl}-g_{jl,mk}){|}_p.\text{\hspace{1em}(18.53)}$$

方程(18.50)的一个更“不变”的证明是将广义里奇恒等式，即问题18.9，应用于度量张量$g_{:}$，

$$0=g_{ij;kl}-g_{ij;lk}=g_{aj}{R}_{ikl}^a+g_{ia}{R}_{jkl}^a=R_{jikl}+R_{ijkl}.$$

对称性式 (18.52) 实际上是前三个对称性的推论，这可以通过对式 (18.51) 的全部四个指标进行循环置换来证明：

$$R_{jkli}+R_{jlik}+R_{jikl}=0,\text{\hspace{1em}(18.51a)}$$ $$R_{klij}+R_{kijl}+R_{kjli}=0,\text{\hspace{1em}(18.51b)}$$ $$R_{lijk}+R_{ljki}+R_{lkij}=0.\text{\hspace{1em}(18.51c)}$$

组合式 (18.51) (18.51$a$) (18.51$b$) (18.51$c$) 在利用对称性 (18.49) 和 (18.50) 进行若干次相消之后，给出

$$2R_{ijkl}-2R_{klij}=0.$$

这显然等价于$Eq.$。式(18.52)。

随文练习

由这些对称性证明，循环对称性对任意三个指标也成立；例如

$$R_{ijkl}+R_{jkil}+R_{kijl}=0.$$

这些对称性使我们能够计算黎曼张量的独立分量数目。由于一个 $n$ 维向量空间上的 (0, 2) 型反对称张量有 $\frac{1}{2}n(n-1)$ 个独立分量，一个满足对称性式 (18.49) 和式 (18.50) 的 (0, 4) 型张量将有 $\frac{1}{4}{n}^2(n-1{)}^2$ 个独立分量。对于固定的 $i=1,2,\dots ,n$，在对称性式 (18.52) 中只需考虑互不相等的三元组 $j\ne k\ne l$，因为若某一对相等，则由循环恒等式不会增加新的内容：例如，$i$ $k=l=1$ 时，$R_{ij11}+R_{i11j}+R_{i1j1}=0$ 仅仅重复了第二对指标上的反对称性，$R_{i11j}=-R_{i1j1}$。对于每个三元组 $j\ne k\ne l$，由式 (18.52) 生成的、独立于式 (18.49) 和式 (18.50) 的关系总数因此就是这种数 $j\ne k\ne l$ 在 1, … , $n$ 范围内的三元组的数目，即 $n$ $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{3}\right)=n^2(n-1)(n-2)/6.$。根据上述证明，我们无需考虑对称性式 (18.52)，而黎曼张量的独立分量总数为

$$\begin{array}{l}N=\frac{n^2(n-1{)}^2}{4}-\frac{n^2(n-1)(n-2)}{6}\\ =\frac{n^2(n^2-1)}{12}.\end{array}\text{\hspace{1em}(18.54)}$$

对于低维数，黎曼张量的独立分量数目是

$$\begin{array}{ll}n=1\text{:}& N=0,\\ n=2\text{:}& N=1,\\ n=3\text{:}& N=6,\\ n=4\text{:}& N=20.\end{array}$$

广义相对论中一个非常重要的张量是由下式定义的里奇张量(Ricci tensor)：

$$\mathrm{Ric}=C_2^{1}R.$$

在任意图卡 $(U;x^i)$ 中，通常将 $\mathrm{Ric}({\partial }_{x^i},{\partial }_{x^j})$ 的分量记作 $R_{ij}$：

$$R_{ij}=R_{iaj}^a=g^{ab}{R}_{aibj}.\text{\hspace{1em}(18.55)}$$

该张量是对称的，因为根据对称性式（18.52），

$$R_{ij}=g^{ab}{R}_{aibj}=g^{ab}{R}_{bjai}=R_{jai}^a=R_{ji}.$$

再次缩并得到称为里奇标量(Ricci scalar)的量，

$$R=R_i^i=g^{ij}{R}_{ij}.\text{\hspace{1em}(18.56)}$$

比安基恒等式

对于无挠的联络，在习题 18.10 的式 (18.32) 中令 $T_{km}^p=0$，我们得到 第二比安基恒等式(second Bianchi identity)

$$R_{jkl;m}^i+R_{jlm;k}^i+R_{jmk;l}^i=0.\text{\hspace{1em}(18.57)}$$

这些通常简称为比安基恒等式。另一种证明方法是，在任意点 $p\in M$ 处使用正规坐标，使得 ${\Gamma }_{jk}^i(p)=0$ 。利用式 式 (18.14) 和 式 (18.25)，我们有

$$\begin{array}{rl}& R_{jkl;m}^i(p)=R_{jkl,m}^i(p)+({\Gamma }_{am}^i{R}_{jkl}^a-{\Gamma }_{jm}^a{R}_{akl}^i-{\Gamma }_{km}^a{R}_{jal}^i-{\Gamma }_{lm}^a{R}_{jka}^i)(p)\\ & =R_{jkl,m}^i(p)\\ & ={\Gamma }_{jl,km}^i(p)-{\Gamma }_{jk,lm}^i(p)+{\Gamma }_{jl,m}^a{\Gamma }_{ak}^i(p)+{\Gamma }_{jl}^a(p){\Gamma }_{ak,m}^i-{\Gamma }_{jk,m}^a{\Gamma }_{al}^i(p)\\ & -{\Gamma }_{jk}^a(p){\Gamma }_{al,m}^i\\ & ={\Gamma }_{jl,km}^i(p)-{\Gamma }_{jk,lm}^i(p).\end{array}$$

若我们将此表达式代入式 (18.57) 的左端并使用 ${\Gamma }_{jk}^i={\Gamma }_{kj}^i$，则所有项均相消。

将式（18.57）对$i$和$m$缩并，得到

$$R_{jkl;i}^i-R_{jl;k}+R_{jk;l}=0.\text{\hspace{1em}(18.58)}$$

将式(18.58)再次缩并，即两边乘以$g^{jl}$，并利用式(18.41)，我们得到

$$R_{k;i}^i-R_{;k}+R_{k;j}^j=0,$$

或者等价地，缩并比安基恒等式(contracted Bianchi identities)

$$R_{k;j}^j-\frac{1}{2}{R}_{,k}=0.\text{\hspace{1em}(18.59)}$$

将式（18.59）写成一种有用的形式是

$$G_{k;j}^j=0,\text{\hspace{1em}(18.60)}$$

其中 $G^i{}_j$ 是 爱因斯坦张量(Einstein tensor)，

$$G_j^i=R_j^i-\frac{1}{2}R{\delta }_j^i.\text{\hspace{1em}(18.61)}$$

当该张量的指标下降时，它是对称的，

$$G_{ij}=g_{ia}{G}_j^a=R_{ij}-\frac{1}{2}R{g}_{ij}=G_{ji}.\text{\hspace{1em}(18.62)}$$